Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di Analisi

Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
Outline
Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Corso di Analisi Matematica
TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Lucio Demeio
Dipartimento di Ingegneria Industriale
e delle Scienze Matematiche
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
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Estremi locali ed il teorema di Fermat
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
I teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Derivate e monotonia
Il teorema di de l’Hôpital
Teorema di Fermat
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
Estremi locali
Outline
Richiamiamo la nozione di estremo locale:
Sia f : D → R e x0 ∈ D. Il punto x0 si dice punto di
minimo locale (o relativo) ed f (x0 ) si dice minimo
locale (o relativo) se esiste un intorno U(x0 ) tale che
f (x) ≥ f (x0 )
∀x ∈ U(x0 ) ∩ D
Sia f : D → R e x0 ∈ D. Il punto x0 si dice punto di
massimo locale (o relativo) ed f (x0 ) si dice massimo
locale (o relativo) se esiste un intorno U(x0 ) tale che
f (x) ≤ f (x0 )
∀x ∈ U(x0 ) ∩ D
I punti di massimo e minimo locale vengono detti punti di
estremo locale per f .
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Teorema di Fermat
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Punti stazionari
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Sia I un intervallo e sia f : I → R; sia x0 ∈ I e sia f derivabile in x0 .
Il punto x0 si dice punto critico o stazionario se f ′ (x0 ) = 0.
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
Teorema di Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Sia I un intervallo e sia f : I → R; sia x0 ∈ I e sia f derivabile in x0 .
Se x0 è un punto di estremo locale per f , allora x0 è un punto critico.
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Dimostrazione
Supponiamo che x0 sia un punto di massimo. Per un punto di
minimo si procede in modo analogo, con le disuguaglianze rovesciate.
Siccome f (x) ≤ f (x0 ) definitivamente per x → x0 , abbiamo
f (x0 + h) − f (x0 )
≥0
h
f (x0 + h) − f (x0 )
′
f+
(x0 ) = lim
≤0
h→0+
h
′
f−
(x0 ) = lim
h→0−
′
′
Per la derivabilità di f in x0 deve essere f−
(x0 ) = f+
(x0 ), che è
′
′
′
possibile se e solo se f− (x0 ) = f+ (x0 ) = f (x0 ) = 0.
Significato geometrico
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La retta tangente al grafico della funzione in un punto di
massimo (o minimo) locale è orizzontale, cioè m = 0.
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
1
0.5
0
0
Π
4
Π
2
x
3Π
4
Π
Attenzione !!
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
Il teorema di Fermat non vale nell’altra direzione:
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
2
Derivate e
monotonia
0
Il teorema di de
l’Hôpital
1
1
0
1
x
2
0
0
0.5
x
1
In un punto stazionario la funzione può non avere un estremo.
Corollario del teorema di Fermat
Natura degli estremi locali
Sia f : I → R; sia x0 ∈ I e sia x0 un punto di estremo locale per f ;
allora:
x0 è un punto critico interno ad I;
x0 è un estremo dell’intervallo, cioè se I = [a, b], allora x0 = a o
x0 = b;
f non è derivabile in x0 .
Esempi
f : (−∞, +∞) → R, f (x) = x4 − 5x2 + 4 ha un
pmassimo
localep
in x0 = 0 e due minimi locali in x1 = − 5/2 e
x2 = 5/2, che sono punti stazionari (verificare!);
f : [−1, 1] → R, f (x) = e−x ha un massimo locale in
x = −1 ed un minimo locale in x = 1, che sono agli estremi
dell’intervallo;
f : [−1, 1] → R, f (x) = e−|x| ha un massimo locale in
x = 0, ma non è ivi derivabile
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Grafici
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4
2
f (x) = x − 5x + 4
f (x) = e
−x
10
3
Outline
5
2
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
0
1
Derivate e
monotonia
-5
-3
-2
-1
0
x
1
0
2
0
x
-1
f (x) = e−|x|
1
0
-1
0
x
1
1
Il teorema di de
l’Hôpital
Teorema di Lagrange (o del valor medio)
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Significato geometrico
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
2
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
1
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
0
-1
-2
-3
-1
0
1
x
2
Teorema di Lagrange
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Teorema di Lagrange
Outline
Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora
esiste un punto c ∈ (a, b) tale che
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
f (b) − f (a)
f ′ (c) =
b−a
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Dimostrazione
La grandezza (f (b) − f (a))/(b − a) è il coefficiente angolare della
corda che unisce i punti agli estremi del grafico della funzione.
L’equazione della corda è y(x) = f (a) + [(f (b) − f (a))/(b − a)] (x − a)
e coincide con i valori della funzione agli estremi, cioè y(a) = f (a) e
y(b) = f (b). Introduciamo allora la funzione g(x) = f (x) − y(x), vale
a dire la differenza tra la funzione f e la corda y nell’intervallo [a, b].
La funzione g è continua su un intervallo chiuso e limitato quindi,
per il teorema di Weierstrass, ammette massimo e minimo. Inoltre,
g(a) = g(b) = 0 ed abbiamo g ′ (x) = f ′ (x) − (f (b) − f (a))/(b − a). Il
teorema è dimostrato se esiste un punto c ∈ (a, b) dove g ′ (c) = 0.
Teorema di Lagrange
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Dimostrazione (cont.)
Siano x1 ed x2 i punti dove la funzione g(x) assume il minimo ed il
massimo; se entrambi dovessero cadere agli estremi, dove g vale zero,
la funzione dovrebbe essere costante con g(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], quindi
g ′ (x) = 0 su tutto [a, b] e quindi f ′ (x) = (f (b) − f (a))/(b − a)
∀x ∈ (a, b). Se invece almeno uno dei punti x1 o x2 cade all’interno
dell’intervallo (a, b), poniamo x1 , allora per il teorema di Fermat
esso è un punto critico ed abbiamo g ′ (x1 ) = 0, quindi c = x1 è il
punto cercato.
Il teorema di Rolle
Nel caso particolare in cui f (a) = f (b) il teorema di Lagrange
afferma che esiste un punto c ∈ (a, b) tale che f ′ (c) = 0, che è il
teorema di Rolle.
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Teorema di Lagrange
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Esempi e controesempi
Determinare in punto c del teorema di Lagrange per la
funzione f : [−1, 2] → R, f (x) = 2x − x2
Determinare in punto c del teorema di Lagrange per la
funzione f : [−1, 1] → R, f (x) = |x|
Determinare il punto c del teorema di Lagrange per la
funzione
1 + x2 x ≤ 0
f (x) =
1 + 2x x > 0
Determinare in punto c del teorema di Lagrange per la
funzione f : [0, 2] → R, f (x) = e−x
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Teorema di Cauchy
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
Teorema di Cauchy
Siano f, g : [a, b] → R continue in [a, b] e derivabili in (a, b).
Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che
′
′
(f (b) − f (a)) g (c) = (g(b) − g(a)) f (c)
Dimostrazione
Introduciamo ora la funzione
h(x) = (f (b) − f (a)) g(x) − (g(b) − g(a)) f (x). La funzione h è
continua su [a, b] e derivabile su (a, b). Inoltre, h(a) = h(b) perciò,
per il teorema di Rolle, esiste un punto c ∈ (a, b) dove h′ (c) = 0, che
equivale alla tesi.
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Derivate e monotonia
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
Comportamento della tangente
Funzione decrescente: tangente a pendenza negativa
Funzione crescente: tangente a pendenza positiva
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
4
Il teorema di de
l’Hôpital
2
0
-2
-1
0
x
1
2
Derivate e monotonia
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Teorema
Outline
Sia f : (a, b) → R derivabile in (a, b). Allora:
(i) f ′ (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b)
⇔
f
crescente in
(a, b)
(ii) f ′ (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b) ⇔ f decrescente in (a, b)
(iii) f ′ (x) > 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f strett. cresc. in (a, b)
(iv) f ′ (x) < 0 ∀x ∈ (a, b)
⇒
f
strett. decr. in (a, b)
Dimostrazione
È sufficiente dimostrare (i) e (iii) (negli altri due casi basta cambiare
f con −f ).
(i) (⇒) Sia f ′ (x) ≥ 0. Scelti comunque due punti x1 < x2 ∈ (a, b),
per il teorema di Lagrange esiste c ∈ (x1 , x2 ) con
(f (x2 ) − f (x1 ))/(x2 − x1 ) = f ′ (c) ≥ 0, cioè f (x2 ) ≥ f (x1 ) ed f è
crescente in (a, b). Viceversa, se f è crescente in (a, b), per il
rapporto incrementale abbiamo (f (y) − f (x))/(y − x) ≥ 0, pertanto
f ′ (x) = limy→x (f (y) − f (x))/(y − x) ≥ 0.
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Derivate e monotonia
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Dimostrazione (cont.)
(iii) Si procede come per la parte (i), solo che in questo caso
f ′ (c) > 0 e quindi f (x2 ) > f (x1 )
Precisazione
Nelle parti (iii) e (iv) l’implicazione nel verso opposto non vale. Si
consideri, ad esempio, f (x) = x3 , crescente su tutto R, ma f ′ (0) = 0.
Segno della derivata
Un punto stazionario è candidato ad essere un estremo per la
funzione. Lo studio del segno della derivata permette di ottenere
informazioni sulla monotonia della funzione. Ecco alcuni esempi.
f (x) = x3 − 3x; f ′ (x) = 3x2 − 3; f ′ (x) = 0 per x = ±1; ma
3x2 − 3 > 0 per valori esterni all’intervallo delle radici, dunque
f ′ (x) > 0 per x < −1 e x > 1 e f ′ (x) < 0 per −1 < x < 1. La
funzione è quindi crescente per x < −1 e x > 1 e decrescente
per −1 < x < 1. Il punto x = −1 è pertanto un punto di
massimo e x = 1 è un punto di minimo.
Outline
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Derivate e monotonia
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Esempi
Determinare le regioni di crescenza e decrescenza delle funzioni:
f (x) = x ex ,
f (x) = sin2 x
4
√
2
x e−x ,
sin x cos x
3
f (x) = 3 x + 8 x − 18 x
2
x e−
√
x
x sin x
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Il teorema di de l’Hôpital
Forme indeterminate
Il calcolo differenziale può essere usato per risolvere alcuni tipi di
forme indeterminate della teoria dei limiti. Siano, ad esempio,
f, g : [a, b) → R due funzioni derivabili in (a, b) e sia f (a) = g(a) = 0.
Allora il limite
f (x)
lim
x→a+ g(x)
è una forma indeterminata del tipo 0/0.
Notiamo però che si può scrivere
f (a) + f ′ (a)(x − a) + o(x − a)
g(a) + g ′ (a)(x − a) + o(x − a)
f ′ (a)
f ′ (a)(x − a) + o(x − a)
= lim ′
= lim ′
x→a+ g (a)
x→a+ g (a)(x − a) + o(x − a)
lim
x→a+
Questo è però un ragionamento semplificato, abbiamo bisogno di un
risultato più generale. Ce lo dà il seguente teorema.
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Il teorema di de l’Hôpital
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Il teorema di de l’Hôpital
Sia I = (a, b) e siano f, g : I → R due funzioni derivabili in I,
con g ′ (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Sia
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a+
x→a+
oppure
±∞
(quindi f (x)/g(x) è una forma indeterminata per x → a+ ) e
lim+
x→a
f ′ (x)
= l ∈ R∗
g ′ (x)
Abbiamo allora g(x) 6= 0 definitivamente per x → a+ ed anche
lim
x→a+
f (x)
=l
g(x)
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Il teorema di de l’Hôpital
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Esempi
Outline
lim
x→0
lim
x→1
sin x
cos x
0
= = lim
=1
x→0
x
0
1
2x
0
x2 − 1
= = lim
=2
x→1 1
x−1
0
4x3 − 3x2 + 2
x4 − x3 + 2x + 1
+∞
=
=
lim
x→+∞ 2x4 + 2x3 − x2 − 1
+∞ x→+∞ 8x3 + 6x2 − 2x
2
24x − 6
24
12x − 6x
1
= lim
= lim
=
= lim
x→+∞ 48x + 12
x→+∞ 48
x→+∞ 24x2 + 12x − 2
2
lim
Attenzione:
lim
x→2
x2 − 1
2x
3
= 6= lim
=4
x→2 1
x
2
Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Il teorema di de l’Hôpital
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Dimostrazione
Dimostramo il teorema nel caso in cui
lim f (x) = lim g(x) = 0.
x→a+
x→a+
Prolunghiamo per continuità f e g in x = a cosı̀ che f (a) = g(a) = 0.
Consideriamo una qualunque successione {xn } tale che
limn→+∞ xn = a+ ed introduciamo la funzione
hn (x) = f (x)g(xn) − f (xn )g(x). Abbiamo hn (a) = hn (xn ) = 0 e
quindi, per il teorema di Rolle, esiste ξn ∈ (a, xn ) tale che
h′ (ξn ) = 0, cioè f ′ (ξn )g(xn ) − f (xn )g ′ (ξn ) = 0, ovvero
f (xn )
f ′ (ξn )
= ′
g(xn )
g (ξn )
Ovviamente, essendo a < ξn < xn , limn→+∞ ξn = a e pertanto
f ′ (ξn )
f (xn )
= lim
n→+∞ g ′ (ξn )
n→+∞ g(xn )
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
lim
x→a+ g (x)
x→a+ g(x)
lim
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Derivate e
monotonia
Il teorema di de
l’Hôpital
Il teorema di de l’Hôpital
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Estremi locali ed
il teorema di
Fermat
I teoremi di
Rolle, Cauchy e
Lagrange
Ulteriori sempi
lim
x→+∞
1 − cos x
,
x2
lim
x→0
sin2 2x
,
x2
lim
x→+∞
e
x2
lim
x→+∞
e
,
ln x
Derivate e
monotonia
x
x
lim
x→0
1 − cos2 x
,
x2
Il teorema di de
l’Hôpital