DOPPI BIPOLI
Si definisce doppio bipolo una rete di resistori, comunque
complessa, accessibile da due coppie di morsetti.
Se per ogni coppia di morsetti si verifica che la corrente
entrante da un morsetto è uguale a quella uscente
dall’altro, il circuito è un bi-porta.
Le porte, infatti, sono caratterizzate dal fatto che la
corrente entrante in un polo è uguale e contraria a quella
uscente dall’altro.
Indipendentemente dal tipo di rete, il doppio bipolo può
essere descritto da relazioni che legano le grandezze U1 e
U2 ed I1 e I2, ossia le tensioni e le correnti nei nodi
sopraindicati.
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Esistono diverse possibilità di legare fra loro le quattro
grandezze, relazionandole in modo che due di esse,
variabili dipendenti, siano espresse in funzione delle
altre due, variabili indipendenti.
1. Matrice descrittiva del doppio bipolo: matrice R
Se si vogliono relazionare le tensioni in funzione delle
correnti, si utilizza la matrice descrittiva del doppio bipolo
o matrice R.
U1 e U2 sono le variabili dipendenti
I1 e I2 sono le variabili indipendenti
⎧U 1 = f 1 ( I 1 ; I 2 )
⎨
⎩U 2 = f 2 ( I 1 ; I 2 )
⎧U 1 = R11 I 1 + R12 I 2
⎨
⎩U 2 = R21 I 1 + R22 I 2
In forma matriciale
U1
R
= 11
U2
R21
R12
R22
I1
I2
Le Rij hanno le dimensioni di una resistenza e la matrice R
è detta matrice delle resistenze: ogni suo parametro assume
un significato ben preciso.
9 Gli elementi che stanno sulla diagonale della matrice
(Rii) sono chiamate resistenze proprie o autoresistenze
9 Gli elementi che non stanno sulla diagonale della
matrice (Rij) sono chiamate resistenze mutue.
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Dalle relazioni che esprimono il modello analitico del
doppio bipolo si ottiene che:
R11 =
U1
I1
R12 =
I2=0
U1
I2
R21 =
I1=0
U2
I1
R22 =
I2=0
U2
I2
I1=0
Le Rij hanno le dimensioni di una resistenza [Ω].
Per risalire ai valori delle Rij occorre annullare le correnti,
ossia eseguire le prove a vuoto.
Ad esempio, per determinare R11 e R21 occorre aprire i
morsetti 2 e 2’ (per avere I2 = 0) ed alimentare i morsetti 1 e
1’ con un generatore di corrente che eroghi la corrente I1.
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Invece, per determinare R12 e R22 occorre aprire i morsetti
1 e 1’ (per avere I1 = 0) ed alimentare i morsetti 2 e 2’ con
un generatore di corrente che eroghi la corrente I2.
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Esempio: matrice R per doppio bipolo a T
⎧U 1 = R11 I 1 + R12 I 2
⎨
⎩U 2 = R21 I 1 + R22 I 2
Si avrà:
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R11 =
U1
= Ra + Rc
I1
R21 =
U2
I1
I2=0
R12 =
U1
I2
= Rc
I1=0
= Rc
I2=0
R22 =
U2
I2
= Rb + Rc
I1=0
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2. Matrice descrittiva del doppio bipolo: matrice G
Se si vogliono relazionare le correnti in funzione delle
tensioni, si utilizza la matrice descrittiva del doppio bipolo
detta matrice G.
U1 e U2 sono le variabili indipendenti
I1 e I2 sono le variabili dipendenti
⎧ I 1 = g 1 ( U 1 ;U 2 )
⎨
⎩ I 2 = g 2 ( U 1 ;U 2 )
⎧ I 1 = G11U 1 + G12U 2
⎨
⎩ I 2 = G 21U 1 + G 22U 2
In forma matriciale
I1
G11
=
I2
G21
G12
G22
U1
U2
Le Gij hanno le dimensioni di una conduttanza [Siemens] e
la matrice G è detta matrice delle conduttanze: ogni suo
parametro assume un significato ben preciso.
9 Gli elementi che stanno sulla diagonale della matrice
(Gii) sono chiamate conduttanze proprie o
autoconduttanze
9 Gli elementi che non stanno sulla diagonale della
matrice (Gij) sono chiamate conduttanze mutue.
Dalle relazioni che esprimono il modello analitico del
doppio bipolo si ottiene che:
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G11 =
I1
U1
U2=0
G12 =
I1
U2
G21 =
U1=0
I2
U1
G22 =
U2=0
I2
U2
U1=0
Le Gij hanno le dimensioni di una conduttanza [S].
Per risalire ai valori delle Gij occorre annullare le tensioni,
ossia eseguire le prove in corto circuito.
Ad esempio, per
determinare G11 e G21 occorre
cortocircuitare i morsetti 2 e 2’ (per avere U2 = 0) ed
alimentare i morsetti 1 e 1’ con un generatore di tensione,
che eroghi la tensione U1.
Invece, per determinare G12 e G22 occorre cortocircuitare i
morsetti 1 e 1’ (per avere U1 = 0) ed alimentare i morsetti 2
e 2’ con un generatore di tensione che eroghi la tensione U2.
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Esempio: matrice G per doppio bipolo a Π
⎧ I 1 = G11U 1 + G12U 2
⎨
⎩ I 2 = G 21U 1 + G 22U 2
Si avrà:
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I1
G11 =
= Ga + Gc
U1
U2=0
I1
G12 =
U2
= -Gc
U1=0
I2
G21 =
U1
= -Gc
U2=0
I2
G22 =
U2
= Gc + Gb
U1=0
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Gli schemi appena visti si possono semplificare nei
seguenti modi:
9 Alimento con la tensione U1; U2=0, quindi Rb risulta
cortocircuitata
U 1 = Rc I c = − Rc I 2 = Ra ( I 1 − I 2 )
9 Alimento con la tensione U2; U1=0, quindi Rc risulta
cortocircuitata
U 2 = Rc I c = − Rc I 1
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3. Matrice descrittiva del doppio bipolo: matrice T
Se si vogliono relazionare le grandezze di ingresso U1; I1 in
funzione delle grandezze di uscita U2; I2 si utilizza la
matrice T o matrice di trasmissione dove:
U1 e I1 sono le variabili dipendenti
U2 e I2 sono le variabili indipendenti
⎧U 1 = h1 ( U 2 ; I 2 )
⎨
⎩ I 1 = h1 ( U 2 ; I 2 )
⎧U 1 = AU 2 + BI 2
⎨
⎩ I 1 = CU 2 + DI 2
In forma matriciale
U1
A B
=
I1
C D
A=
U1
U2
U2
I2
B=
I2=0
U1
I2
C=
U2=0
I1
U2
D=
I2=0
I1
I2
U2=0
Le dimensioni di questi parametri sono tutte diverse:
• A e D sono chiaramente adimensionali,
• B ha come unità di misura l’ Ohm, quindi di una
resistenza, mentre
• C ha come unità di misura il Siemens, quindi di una
conduttanza.
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Le espressioni dei parametri suggeriscono di utilizzare il
nullore per effettuare le prove tali che alimentando da
entrambi i lati con generatori di tensione U1 e U2 sia
comunque nulla la corrente I2=0 e, alimentando il primario
e cortocircuitando il secondario, I1 e I2 siano diversi da
zero, mentre U2=0.
Risulta che:
• D è il guadagno di corrente
• A è il guadagno di tensione
• B è la transresistenza diretta
• C è la transconduttanza diretta
Questa matrice descrittiva del quadripolo é utilizzata
quando si hanno più bipoli in cascata, poiché è facilmente
dimostrabile che essi equivalgono ad un quadripolo
equivalente definito con una matrice di trasmissione Teq:
n
Teq = ∏ Ti con n = Numero di blocchi in cascata
i =1
Inoltre è possibile relazionare le grandezze di uscita U2; I2
(variabili dipendenti) con le grandezze in ingresso U1; I1
(variabili indipendenti) mediante la matrice di
trasmissione inversa Ti=T-1.
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⎧U 2 = i 1 ( U 1 ; I 1 )
⎨
⎩I 2 = i2 ( U 1 ; I 1 )
essendo: ⎧ D' = D / T
⎨
⎩− C' = −C / T
D −C
T −1
⎧U 2 = D' U 1 − B' I 1
⎨
⎩ I 2 = −C' U 1 + A' I 1
- B' = − B / T
A' = A / T
TA = −B A
DA − CB
=
=
AD − BC AD − BC
T
T-1 è la matrice inversa di T, ossia la matrice dei complementi algebrici di T divisa
per il determinante della matrice T.
Potenza assorbita da un doppio bipolo resistivo
⎧U 1 = R11 I 1 + R12 I 2
⎨
⎩U 2 = R 21 I 1 + R 22 I 2
(♦)
La potenza totale assorbita da un doppio bipolo è:
P = P1 + P2 = U 1 I 1 + U 2 I 2 = R11 I 1 + 2 R12 I 1 I 2 + R22 I 2
2
2
Dalla prima relazione delle (♦) si ottiene:
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⎛ U 1 R12
⎞
U 1 R12
I1 =
I2 ←
I 2 ⎟⎟ + R22 I 2
−
⎯→U 2 = ⎜⎜ R21
−
R11 R11
R11 R11 ⎠
⎝
2
Sostituendo nell’espressione della potenza si ha:
P = P1 + P2 = U 1 I 1 + U 2 I 2 =
⎛ U
U
R
R
2 ⎞
2
= 1 − 12 U 1 I 2 + ⎜⎜ R21 1 I 2 − 12 I 2 ⎟⎟ + R22 I 2
R11 R11
R11
R11
⎠
⎝
2
2
U1
R12 2 U 1 ⎛
R
2
I2 =
=
+ R22 I 2 −
+ ⎜⎜ R22 − 12
R11
R11
R11 ⎝
R11
2
2
2
2
⎞ 2
⎟⎟ I 2
⎠
dove
⎛
R
⎜⎜ R22 − 12
R11
⎝
2
⎞ R22 R11 − R12 U 2
⎟⎟ =
=
R11
I2
⎠
2
= R22 =
U 1 =0
1
G22
è la resistenza vista dai morsetti 2 e 2’ quando la
R22
porta 1 è cortocircuitata, da cui:
2
2
U
I
P = 1 + 2 = P0 + Pcc
R11 G22
Infatti:
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2
U
P0 = 1 = P I =0 è la potenza assorbita dalla porta 1-1’
R11
quando la porta 2-2’ è aperta (I2=0)
2
2
I
Pcc = 2 = P U =0 è la potenza dissipata dalla conduttanza
G22
G22 quando la porta 1-1’ è cortocircuitata
(U1=0)
1
Rete bi-porta attiva
La rete bi-porta può essere attiva e ciò si può verificare
eseguendo misure di tensione a vuoto con voltmetri o
misure di corrente fra i morsetti 1-1’ e 2-2’.
Se tali misure risultano diverse da zero, ciò significa che nel
bi-porta é presente almeno un generatore di corrente o di
tensione.
Per risolvere problemi inerenti i bi-porta attivi si applica il
teorema di Thevenin generalizzato, per il quale:
Un circuito accessibile a 2 porte può essere caratterizzato
mediante due gruppi di parametri:
1. i parametri che rappresentano la rete due porte
ottenuta dal circuito disattivandole eccitazioni, cioè
rendendo passivo il circuito
2. le tensioni che si manifestano ai morsetti delle 2
porte quando sono lasciati aperti (a vuoto)
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Partendo dal bi-porta attivo, il circuito equivalente sarà:
I due circuiti risultano equivalenti, essendo:
⎧U 1 = U 1' +U 10
⎨
⎩U 2 = U 2' +U 20
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U10 e U20 sono le tensioni che si stabiliscono tra i morsetti
1-1’ e 2-2’ nel funzionamento a vuoto del bipolo attivo.
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