Sistemi di coordinate
Servono a descrivere la posizione di una punto nello spazio. Un sistema
di coordinate consiste in
• Un punto fisso di riferimento chiamato origine
• Degli assi specifici con scale ed etichette
• Istruzioni su come individuare un punto rispetto all’origine e agli assi
Sistema di coordinate cartesiane
• Chiamato anche sistema
cordinate rettangolari.
di
• Per il caso a due dimensioni
(l’esempio qui accanto):
– Gli assi x e y si incrociano
nell’origine
– I punti sono individuati da
(x, y)
In tre dimensioni, 3 coordinate (x, y, z) sono sufficienti per definire la
posizione di una particella nello spazio
Sistema di coordinate polari
• Esempio bidimensionale (qui
accanto): prendiamo un’origine
e una linea di riferimento
• Il punto è a distanza r dall’origine
nella direzione dell’angolo θ,
definito in senso antiorario dalla
linea di riferimento
• I punti sono definiti come (r, θ)
Si estende a tre dimensioni introducendo due angoli θ e φ.
Trasformazioni di coordinate
• Da coordinate polari a cartesiane:
Formiamo un triangolo retto con
reθ:
x = r cos θ
y = r sin θ
• Da coordinate cartesiane a polari:
r è l’ipotenusa e θ un angolo
y
tan θ =
x
p
r =
x2 + y 2
Grandezze scalari e vettoriali
• Grandezze scalari: sono completamente specificate da un numero in
unità appropriate.
— Volume, massa, intervalli di tempo, etc., sono scalari.
• Grandezze vettoriali: sono specificate da modulo (o intensità),
direzione, verso.
— Spostamento, velocità, forze, etc., sono vettori.
Esempio: vettore spostamento di un
punto materiale da A a B. Il modulo
è la distanza fra A e B (differisce
dalla distanza percorsa!)
Vettori
~ o anche A o A
• Notazione: A
~ o semplicemente A
• Modulo: |A|
(sempre positivo!)
• I vettori possono essere ”applicati” ad
un punto
• Tutti i vettori sovrapponibili con una
traslazione sono equivalenti allo stesso
vettore ”libero”
Nota: i vettori hanno le stesse unità di misura della grandezza che rappresentano: un
vettore spostamento è in metri, un vettore velocità in metri al secondo etc.
Somma di Vettori
Regola del parallelogramma per la somma di vettori
Attenzione: somma vettoriale 6= somma dei moduli!
~ + (B
~ + C)
~ = (A
~ + B)
~ + C:
~
Vale la proprietà associativa A
Somma di Vettori 2
Vettori con segno negativo:
Somma di 4 vettori:
In generale, se a è un numero,
~ = |a|A.
|aA|
Vettori in coordinate cartesiane
~=A
~x + A
~ y ≡ (Ax, Ay ),
A
Notare che Ax = A cos θ, Ay = A sin θ
A2 = A2x + A2y
Somma di vettori in coordinate cartesiane
~+B
~ ≡ (Ax + Bx, Ay + By )
A
Versori (vettori di modulo unitario)
Fra i versori, cioè vettori di modulo unitario, sono particolarmente
importanti e utili i versori î, ĵ, k̂ lungo i tre assi cartesiani:
~ = (Ax, Ay , Az ) ≡ Axî + Ay ĵ + Az k̂
A
Prodotto Scalare
~ eB
~ si indica come A
~·B
~ ed è dato
Il prodotto scalare di due vettori A
~ e B.
~ E’ il
~·B
~ = AB cos θ, dove θ è l’angolo fra i due vettori A
da A
prodotto del modulo del primo vettore (A) per la proiezione del secondo
vettore sul primo (B cos θ), o viceversa. Proprietà:
~ B
~ =B
~ · A;
~ (aA)·(b
~
~ = (ab)(B
~ · A);
~
~ B
~ + C)
~ = A·
~ B
~ + A·
~ C
~
• A·
B)
A·(
• Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale al modulo del
~·A
~ = A2
vettore al quadrato: A
• Sfruttiamo A = Axî + Ay ĵ + Az k̂ e B = Bxî + By ĵ + Bz k̂: troviamo
~·B
~ = AxBx + Ay By + Az Bz
A
perché î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1; î · ĵ = î · k̂ = ĵ · k̂ = 0
Prodotto Vettore
Come
Il
possiamo
prodotto
formare
vettore:
un
vettore da altri
~ =A
~×B
~
C
è definito
due
come
vettori?
segue:
~ = AB sin θ, dove θ è l’angolo
• |C|
compreso fra i due vettori;
~ è un vettore perpendicolare al
• C
~ e B;
~
piano formato da A
~ è determinato dalla
• il verso di C
regola della mano destra
~ ×A
~ = −A
~ × B,
~ e che A
~×A
~ = 0. In generale, il
Da notare che B
prodotto vettore di due vettori paralleli è nullo. Il modulo del prodotto
~ e B.
~
vettore è uguale alla superficie del parallelogramma formato da A
Prodotto Vettore in coordinate cartesiane
Sfruttiamo la decomposizione dei vettori come somma sui versori:
~ = Axî + Ay ĵ + Az k̂,
A
~ = Bxî + By ĵ + Bz k̂
B
Troviamo
~×B
~ =
A
Axî + Ay ĵ + Az k̂ × Bxî + By ĵ + Bz k̂
= î(Ay Bz − Az By ) + ĵ(Az Bx − AxBz ) + k̂(AxBy − Ay Bx)
perché
î × î = 0,
ĵ × ĵ = 0,
k̂ · k̂ = 0
î × ĵ = k̂,
ĵ × k̂ = î,
k̂ × î = ĵ
Nota curiosa: mentre il prodotto scalare è ben definito in qualunque spazio vettoriale,
il prodotto vettore è definito solo in 3 o 7 dimensioni
Prodotto Vettore come determinante
Un modo semplice per ricordarsi l’espressione del prodotto vettore è
usare le regole per il calcolo del determinante di una matrice:
î
ĵ
k̂ ~×B
~ = Ax Ay Az A
Bx By Bz = î(Ay Bz − Az By ) − ĵ(AxBz − Az Bx) + k̂(AxBy − Ay Bx)
Vettore in sistema di coordinate ruotato
Le coordinate di un vettore dipendono
dal sistema di coordinate: se ruotiamo
o trasliamo il sistema di riferimento,
le coordinate di tutti i vettori
cambiano seguendo una stessa legge
di trasformazione.
Relazione fra le componenti (Ax, Ay ) e (A0x, A0y ) nel sistema originario e ruotato di α:
A0x = Ax cos α + Ay sin α
A0y
= −Ax sin α + Ay cos α
in forma matriciale:
A0x
A0y
=
sin α cos α
− sin α cos α
Ax
Ay
Scalari, Vettori, leggi fisiche, sistemi di coordinate
• Le leggi fisiche non possono dipendere dal sistema di coordinate!
• Il prodotto scalare di due vettori non dipende dal sistema di coordinate:
è invariante rispetto a rotazioni del sistema di coordinate.
• Una legge fisica espressa come relazione tra quantità vettoriali è
covariante: per esempio, nella legge di Newton F~ = m~a, entrambe i
membri si trasformano allo stesso modo
Spesso avremo a che fare con funzioni vettoriali: ad esempio, ~r(t),
posizioni di un punto al tempo t, equivalente a una terna di funzioni:
~r(t) = (x(t), y(t), z(t))
Esercizi
1. Dato il vettore (0,2,-1), determinare il vettore parallelo a (1,2,3) tale
che la somma dei due sia (1,4,2).
~ = (1.0m)ĵ − (4.0m)k̂ e
2. Consideriamo due vettori spostamento A
~ = −(3.0m)ĵ + (2.0m)k̂. Calcolare:
B
• il vettore spostamento totale;
• il vettore differenza;
• il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei due vettori.
3. Trovare l’area della superficie del triangolo di vertici A(1, 0, 0),
B(0, 2, 0), C(0, 0, 3).
√
√
4. Determinare l’angolo tra i due vettori (−2, −2 3, 0) e (2, −2 3, 0).
5. Individuare il versore della direzione nello spazio che forma angoli
uguali con gli assi coordinati.
Soluzioni
1. Il vettore generico parallelo a (1, 2, 3) è λ(1, 2, 3) = (λ, 2λ, 3λ). Imponiamo
(0, 2, −1) + λ(1, 2, 3) = (1, 4, 2). Troviamo tre equazioni: λ = 1; 2 + 2λ = 4;
−1 + 3λ = 2, che hanno soluzione per λ = 1. Il vettore cercato è quindi (1, 2, 3).
~ B
~ = −(2.0m)ĵ−(2.0m)k̂. Vettore differenza: A−
~
2. Vettore spostamento totale: A+
~ = (4.0m)ĵ−(6.0m)k̂. Prodotto scalare: A·
~ B
~ = −(3.0m2)−(8.0m2) = −11m2.
B
√
√
2
2
Questo è anche
uguale a |A||B|√cos θ. Dato che |A| = 1.0m + 16.0m√= √
17m
√
e |B| = 9.0m2 + 4.0m2 = 13m, ne consegue che cos θ = −11/ 13/ 17,
ovvero θ = 137.73◦.
~×B
~ = (2.0m2)ĵ × k̂ + (12.0m2)k̂ × ĵ = −10m2î. |A
~ × B|
~ =
Prodotto vettore: A
√
√
10m2 è anche uguale a |A||B| sin θ. Dato che sin θ = 0.6726725 = 10/ 13/ 17,
il valore di θ è consistente con il caso precedente.
3. Si sfrutta una proprietà del prodotto vettore: il suo modulo è uguale all’area del
parallelogramma formato dai due vettori, ovvero il doppio dell’area del triangolo
~ =B
~ −A
~ e Y
~ =C
~ − A:
~ l’area
formato dai due vettori. Considerate i vettori X
~ ×Y
~ |/2. Dato che X
~ = (−1, 2, 0),
della superficie del triangolo ABC è data da |X
~ = (−1, 0, 3), abbiamo X
~ ×Y
~ = (6, 3, 2) il cui modulo vale
Y
da cui il risultato: area del triangolo = 3.5.
√
62 + 32 + 22 = 7,
√
√
−2 3, 0) = −4 + 4 · 3 = 8.
4. I due vettori hanno prodotto scalare (−2,√
−2 3, 0) · (2,√
Quest’ultimo è anche uguale a |(−2,
3, 0)||(2, −2 3, 0)| cos θ. Il modulo dei
√ −2 p
due vettori è lo stesso: |(±2, −2 3, 0)| = (±2)2 + 22 · 3 = 4 da cui cos θ = 1/2
e θ = 60◦.
q
5. Scriviamo il generico versore come n̂ = (nx, ny , nz ), con n2x + n2y + n2z = 1. Il
prodotto scalare con i versori degli assi dà î · n̂ = nx = cos α, ĵ · n̂ = ny = cos β,
k̂ · n̂ = nz = cos γ, dove α, β, γ sono i tre angoli formati con i tre assi (secondo
la notazione tradizionale).
Dato che si richiede cos α = cos β = cos γ, si ha
√
nx = ny = nz = 1/ 3, corrispondente ad angoli α = β = γ = 54.73◦.
Cinematica in due o più dimensioni
• Le grandezze cinematiche fondamentali:
– posizione,
– velocità,
– accelerazione,
sono dei vettori nello spazio a due o tre dimensioni, dotati di modulo,
direzione, verso.
In realtà anche nel moto rettilineo tali grandezze sono dei vettori, ma ... in una
dimensione! Hanno un segno e un modulo ma la direzione è fissata.
• Il corpo percorre una traiettoria nello spazio
Posizione e spostamento
• Vettore posizione: ~r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂
• Spostamento: ∆~r = ~r2 − ~r1 = (x2 − x1)î + (y2 − y1)ĵ + (z2 − z1)k̂
Velocità
∆~r
~
Velocità media: v =
∆t
Velocità istantanea:
∆~r d~r
=
~v (t) = lim
∆t→0 ∆t
dt
La velocità istantanea:
~v (t) = vx(t)î + vy (t)ĵ + vz (t)k̂
dy
dz
dx
=
î + ĵ + k̂
dt
dt
dt
è sempre tangente alla traiettoria
Accelerazione
∆~v
~
Accelerazione media: a =
∆t
Accelerazione istantanea:
∆~v d~v d2~r
~a(t) = lim
=
= 2
∆t→0 ∆t
dt
dt
In componenti cartesiane:
dvx
dvy
dvz
~a(t) = ax(t)î + ay (t)ĵ + az (t)k̂ =
î +
ĵ +
k̂
dt
dt
dt
d2x
d2y
d2z
=
î + 2 ĵ + 2 k̂
2
dt
dt
dt
Accelerazione (2)
• In generale, in un moto curvilineo, la
velocità cambia sia in modulo che in
direzione: l’accelerazione può essere
non nulla anche se il modulo della
velocità non cambia.
• L’accelerazione è un vettore nella
direzione della variazione della velocità.
Poiché la velocità cambia nella
direzione in cui la traiettoria s’incurva,
l’accelerazione è sempre diretta verso
la concavità della traiettoria
Accelerazione (3)
• Scomponiamo l’accelerazione in parte
tangenziale (lungo la tangente) e parte
radiale (lungo la normale alla curva):
~a = aT ûT + aN ûN .
Dato che la velocità è solo tangenziale:
~v = vT ûT , vN = 0, e che ûT dipende
dal tempo:
dûT
d~v dvT
=
ûT + vT
.
~a =
dt
dt
dt
• Da qui si vede che aT è legata alla variazione del modulo, vT , di ~v ;
aN alla variazione della direzione di ~v .
Moto circolare e circolare uniforme
Moto caratterizzato da ~v ⊥
R costante. Introduciamo la
percorsa lungo la circonferenza,
~ con
R,
distanza
s = Rθ:
ds
dθ
v=
=R
dt
dt
dθ
è detta velocità
La grandezza ω =
dt
angolare, si misura in radianti/s o in s−1.
Moto circolare uniforme: caratterizzato da velocità angolare ω costante.
2π
Periodo: T = , tempo necessario per fare un giro completo.
ω
1
ω
Frequenza: ν = = , numero di giri per unità di tempo.
T
2π
Velocità angolare come vettore
La velocità angolare può essere definita
come un vettore di modulo ω, direzione
perpendicolare al piano del moto, verso
secondo la regola della mano destra.
Con queste convenzioni:
~v = ω
~ × ~r
Velocità e accelerazione nel moto circolare uniforme
• Dal disegno sopra si vede che ∆~v = ~vf − ~vi tende ad un vettore di
modulo v∆θ = vω∆t = (v 2/r)∆t, diretto verso il centro
v2
• l’accelerazione è quindi centripeta e di modulo aC =
= ω 2r .
r
Esempio
Determinare la velocità angolare della terra attorno al proprio asse.
Attenzione: non è semplicemente ω = 2π/T , dove T = 86400 s è la
lunghezza del giorno solare medio! Il periodo T 0 di rotazione della terra,
o giorno sidereo, vale T 0 = 86160 s, perché la terra deve ancora ruotare
di un angolo γ ' 1◦ affinchè il sole torni nella stessa posizione.
Da qui:
2π
ω = 0 = 7.292 × 10−3rad s−1.
T
La differenza t = T − T 0 = 240 s
può essere stimata come t = γ/ω.
Usando γ ' 2π/360 rad si trova
t = 239 s.
