Dispensa parte esercizi (prof. Daniele Desideri) RETI DI BIPOLI

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Dispensa parte esercizi
(prof. Daniele Desideri)
RETI DI BIPOLI RESISTORI IDEALI
Calcoli di resistenza equivalente
Relazioni.
n
1
i =1
n 1
∑
i =1 Gi
Serie di n resistori: Req = ∑ Ri ; Geq =
Parallelo di n resistori: Req =
1
n 1
∑
i =1 Ri
n
; Geq = ∑ Gi .
i =1
Casi particolari.
1) Serie di una resistenza (R1) con un circuito aperto (cioè un resistore di conduttanza G2=0):
1
Geq =
= 0 . Il resistore equivalente è un circuito aperto.
1
1
+
G1 G2
2) Parallelo di una resistenza (R1) con un cortocircuito (cioè un resistore di resistenza R2=0):
1
Req =
= 0 . Il resistore equivalente è un cortocircuito.
1
1
+
R1 R2
2
Esercizio 1
2
2
A
3
4
B
8
In figura sono indicati i valori delle singole resistenze in ohm. Calcolare la resistenza
equivalente tra i morsetti A e B.
Risultato: la resistenza equivalente è di 3 Ω.
Soluzione
Osservando la rete si vede che le due resistenze da 2 Ω sono in parallelo e quindi si calcola la
2*2
resistenza equivalente, pari a
= 1Ω, che poggia sulla stessa coppia di nodi su cui
2+2
poggiavano le due resistenze da 2 Ω.
Si ottiene la seguente rete:
1
A
3
B
4
8
Sono in serie le resistenze da 4 Ω e da 8 Ω, per una resistenza equivalente serie da 4+8= 12 Ω,
come sono in serie le resistenze da 3 Ω e da 1 Ω, per una resistenza equivalente serie da 3+1=
4 Ω. Si ottiene la seguente rete:
4
A
B
12
Le due resistenze da 4 Ω e da 12 Ω poggiano sulla stessa coppia di nodi (A e B): sono in
4 * 12
parallelo. Risulta la resistenza equivalente fra A e B di valore
= 3 Ω.
4 + 12
3
Esercizio 2
2
2
3
A
4
B
8
6
In figura sono indicati i valori delle singole resistenze in ohm. Calcolare la resistenza
equivalente tra i morsetti A e B.
Risultato: la resistenza equivalente è di 3 Ω.
Soluzione
Osservando la rete si vede a destra che è presente una resistenza da 6 Ω che è su un lato
aperto, cioè collegata in serie con un circuito aperto e quindi la serie equivale ad un circuito
aperto. Si ottiene la seguente rete:
2
2
3
A
B
4
8
La rete adesso è uguale a quella dell’esercizio 1 e quindi si procede nella soluzione nel modo
già mostrato.
4
Esercizio 3
A
3
2
4
B
8
In figura sono indicati i valori delle singole resistenze in ohm. Calcolare la resistenza
equivalente tra i morsetti A e B.
Risultato: la resistenza equivalente è di 2.4 Ω.
Soluzione
Osservando la rete si vede a sinistra è presente una resistenza da 2 Ω che è in parallelo ad un
cortocircuito: il parallelo equivale ad un cortocircuito. Si ottiene la seguente rete:
3
A
B
4
8
Sono in serie le resistenze da 4 Ω e da 8 Ω, per una resistenza equivalente serie da 4+8= 12 Ω.
Si hanno infine due resistenze (una da 3 Ω e una da 12 Ω) che sono in parallelo e poggiano
entrambe sui morsetti A e B. Si ottiene:
Req =
3 * 12 12
=
= 2.4 Ω.
3 + 12 5
5
Esercizio 4
A
4
3
2
8
B
In figura sono indicati i valori delle singole resistenze in ohm. Calcolare la resistenza
equivalente tra i morsetti A e B.
Risultato: la resistenza equivalente è di
56
Ω.
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Soluzione
La resistenza da 2 Ω è in parallelo ad un cortocircuito: il parallelo equivale ad un
cortocircuito. Si ottiene la seguente rete:
A
3
4
8
B
Sono in serie le resistenze da 3 Ω e da 4 Ω, per una resistenza equivalente serie da 3+4= 7 Ω.
Si hanno infine due resistenze (una da 7 Ω e una da 8 Ω) che sono in parallelo e poggiano
entrambe sui morsetti A e B. Si ottiene:
Req =
7 * 8 56
=
Ω.
7 + 8 15
6
Esercizio 5
6
6
3
A
B
18
5
3
In figura sono indicati i valori delle singole resistenze in ohm. Calcolare la resistenza
equivalente tra i morsetti A e B.
Risultato: la resistenza equivalente è di 6 Ω.
Soluzione
Per la parte di sinistra, si ha il parallelo di due resistenze da 6 Ω. Si ottiene una resistenza
6*6
equivalente da
= 3 Ω. A destra è presente una resistenza da 5 Ω che è su un lato aperto.
6+6
Si ottiene la seguente rete:
3
3
A
B
18
3
Sono in serie le tre resistenze da 3 Ω, per una resistenza equivalente serie da 3+3+3= 9 Ω.
Si hanno infine due resistenze (una da 9 Ω e una da 18 Ω) che sono in parallelo e poggiano
entrambe sui morsetti A e B. Si ottiene:
Req =
9 * 18
= 6 Ω.
9 + 18
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RETI IN REGIME STAZIONARIO
Esercizio 1
– A +
R2
R1
J
R3
Data la rete di figura, con J = 6 A, R1 = 5 Ω, R2 = 5 Ω, R3 = 5 Ω. Calcolare il valore (IA)
misurato dall’amperometro ideale.
Risultato: IA = - 2 A.
Soluzione
L’amperometro ideale equivale ad un cortocircuito e misura la corrente con il riferimento dal
+ al -.
Si ottiene la seguente rete:
R2
R1
J
IA
R3
Le resistenze R2 ed R3 sono in serie, con resistenza equivalente serie Req = R2+R3 = 10 Ω.
La resistenza R1 è in parallelo a Req = R2+R3 = 10 Ω.
La corrente del parallelo di R1 ed Req è imposta dal generatore ideale di corrente ed è quindi
pari a J = 6 A. Applicando la formula del partitore di corrente resistivo, si ottiene che la
R1
corrente che passa per la Req , cioè per la serie di R2 con R3, è pari a: J
= 2 A, con
R1 + Req
riferimento che è quello connesso alla relazione del partitore di corrente resistivo e quindi in
questo caso è opposto a quello misurato dall’amperometro ideale.
Si ha pertanto che IA = - 2 A.
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Esercizio 2
E
+
–
R1
–
V R2
+
R3
Data la rete di figura, con E = 30 V, R1 = 5 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 20 Ω. Calcolare il valore (VV)
misurato dal voltmetro ideale.
Risultato: VV = - 20 V.
Soluzione
Il voltmetro ideale equivale ad un circuito aperto e misura la tensione con il riferimento dal +
al -.
Si ottiene la seguente rete:
E
+
–
R1
–
VV R2
R3
+
Le resistenze R2 ed R3 sono in parallelo, con resistenza equivalente parallelo Req =
R2 R3
=
R2 + R3
10 Ω.
La resistenza R1 è in serie a Req.
La tensione sulla serie di R1 ed Req è imposta dal generatore ideale di tensione ed è quindi pari
a E = 30 V. Applicando la formula del partitore di tensione resistivo, si ottiene che la tensione
Req
ai capi della Req , che è pari a: E
= 20 V, con riferimento che è quello connesso alla
R1 + Req
relazione del partitore di tensione resistivo e quindi in questo caso è opposto a quello misurato
dal voltmetro ideale.
Si ha pertanto che VV = - 20 V.
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Esercizio 3
E
– +
A
J
R1
R2
B
Data la rete di figura, con J = 4 A, E = 20 V, R1 = 10 Ω, R2 = 10 Ω. Calcolare la tensione VAB.
Risultato: VAB = 10 V.
Soluzione
Uno dei modi possibili per ricavare la soluzione consiste nell’applicare la sovrapposizione
degli effetti.
Facendo agire il solo generatore ideale di corrente ed annullando quindi la tensione impressa
dal generatore ideale di tensione (che diventa quindi un cortocircuito), si ottiene la seguente
rete:
J
R1
A +
VAB’
B
R2
–
Le due resistenze R1 ed R2 sono in parallelo, con resistenza equivalente del parallelo Req =
R1 R2
= 5 Ω. La tensione VAB’ risulta pari a: JReq = 20 V.
R1 + R2
Facendo agire ora il solo generatore ideale di tensione ed annullando quindi la corrente
impressa dal generatore ideale di corrente (che diventa quindi un aperto), si ottiene la seguente
rete:
E
– +
R1
A +
VAB’’
B –
R2
La tensione impressa dal generatore ideale di tensione è impressa sulla serie delle due
resistenze R1 ed R2. Applicando la formula del partitore di tensione resistivo, si ottiene che la
10
R1
= 10 V, con riferimento che è quello connesso alla
R1 + R2
relazione del partitore di tensione resistivo e quindi in questo caso è opposto a VAB’’.
tensione ai capi di R1 è pari a: E
Si ha quindi che VAB’’ = - 10 V.
Si ha quindi che VAB = VAB’ + VAB’’ = 10 V.