Resistenza elettrica

Resistenza elettrica
Resistenza: capacità di un elemento di
opporsi al flusso delle cariche elettriche. Si
misura in ohm (Ω).
Sezione A
Teoria dei Circuiti
l
R=ρ
A
l
Prof. Luca Perregrini
(R ≥ 0)
Materiale con resistività ρ
Leggi fondamentali, pag. 1
Legge di Ohm
La tensione v su un resistore è direttamente
proporzionale alla corrente i che lo attraversa.
La costante di proporzionalità è la resistenza R.
i
R
Teoria dei Circuiti
v = R ⋅i
+
v
(con la convenzione
degli utilizzatori)
–
1 Ω = 1 V/A
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Leggi fondamentali, pag. 2
Corto circuito
i
i
R=0
+
v
+
v=0
–
–
v = R ⋅i = 0
La tensione v è nulla qualunque sia la corrente i
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 3
Circuito aperto
i=0
i
R=∞
+
v
+
v
–
–
v
i = lim = 0
R →∞ R
La corrente i è nulla qualunque sia la tensione v
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 4
Conduttanza
Conduttanza: capacità di un elemento di
condurre la corrente elettrica. Si misura in
siemens (S)
1 i
G= =
R v
(G ≥ 0)
1 S = 1 Ω–1 = 1 A/V
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 5
Potenza dissipata da un resistore
2
i
p = v ⋅ i = (R ⋅ i ) ⋅ i = R ⋅ i =
G
2
2
v v
2
p = v ⋅i = v ⋅ =
= G ⋅v
R R
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 6
Potenza dissipata da un resistore
2
2
i
v
2
p = v ⋅i = R ⋅i =
= v ⋅G =
G
R
2
La potenza è funzione non lineare della corrente
o della tensione.
Ricordando che R ≥ 0 e G ≥ 0 si ha che p ≥ 0 e
quindi un resistore assorbe sempre potenza dal
circuito (elemento passivo).
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Leggi fondamentali, pag. 7
Rami, nodi e maglie
Ramo: singolo elemento a due terminali (bipolo)
incluso nel circuito.
R1
v
Teoria dei Circuiti
+
–
R2
R3
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i
Leggi fondamentali, pag. 8
Rami, nodi e maglie
Nodo: punto di interconnessione di due o più
rami.
a
v
+
–
R1
b
R2
R3
i
c
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Leggi fondamentali, pag. 9
Rami, nodi e maglie
Maglia: percorso chiuso ottenuto passando non
più di una volta attraverso una qualunque
sequenza di nodi.
R1
v
Teoria dei Circuiti
+
–
R2
R3
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i
Leggi fondamentali, pag. 10
Rami, nodi e maglie
Maglia indipendente: maglia che contiene un
ramo che non appartiene a nessun’altra maglia.
Nrami = Nmaglie indipendenti + Nnodi – 1
Maglie indipendenti danno luogo ad equazioni
indipendenti
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 11
Elementi in serie e in parallelo
Due o più elementi sono detti in serie se sono
concatenati (percorsi dalla stessa corrente)
i
Teoria dei Circuiti
i
Prof. Luca Perregrini
i
Leggi fondamentali, pag. 12
Elementi in serie e in parallelo
Due o più elementi sono detti in parallelo se
sono collegati alla stessa coppia di nodi
(stessa tensione ai capi)
+
v
–
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 13
Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL)
La somma algebrica delle correnti che entrano
in un nodo è zero
i2
i1
i3
N
∑i
n =1
n
=0
iN
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 14
Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL)
La somma delle correnti che entrano in un
nodo è uguale alla somma delle correnti che
escono dal nodo
Esempio:
i2
i1
i3
i5
Teoria dei Circuiti
i4
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i2 + i3 + i5 = i1 + i4
Leggi fondamentali, pag. 15
Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL)
Generalizzazione: la somma algebrica delle
correnti che entrano in una superficie chiusa è
zero
i2
i1
i3
N
∑i
n =1
iN
Teoria dei Circuiti
n
=0
i4
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Leggi fondamentali, pag. 16
Generatori di corrente in parallelo
iT
iT
a
i1
i2
i3
a
iS
b
b
iS = i1 – i2 + i3
Il generatore di destra è equivalente al circuito
di sinistra (hanno la stessa relazione i–v ai
terminali ab).
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 17
Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL)
La somma algebrica delle tensioni lungo un
percorso chiuso (maglia) è zero
– v3 + –
v4 +
+
v2
M
∑v
m =1
–
+ v1 –
Teoria dei Circuiti
m
=0
+ vM –
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Leggi fondamentali, pag. 18
Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL)
La somma delle cadute di tensione è uguale
alla somma degli aumenti di tensione
Esempio:
+ v2 – + v3 –
v1
–
+
+
–
–
Teoria dei Circuiti
v4
v2 + v3 + v5 = v1 + v4
v5 +
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Leggi fondamentali, pag. 19
Generatori di tensione in serie
a
v1
v2
+
–
–
+
+
a
+
–
vS
+
vab
–
b
vab
vS = v1 – v2 + v3
v3
+
–
–
b
Teoria dei Circuiti
Il generatore di destra è equivalente
al circuito di sinistra (hanno la stessa
relazione i–v ai terminali ab).
Prof. Luca Perregrini
Leggi fondamentali, pag. 20
Resistori in serie
i
v
a
R1
R2
+ v – + v –
1
2
+
–
KVL:
– v + v1 + v2 = 0
Legge di Ohm:
v1 = R1· i
v2 = R2· i
b
v = (R1 + R2)· i = Req· i
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 21
Resistori in serie
i
v
a
R1
R2
+ v – + v –
1
2
+
–
b
i
v
a
Req
+ v
+
–
–
b
Req = R1 + R2
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 22
Partitore di tensione
i
v
a
Req = R1 + R2
R1
R2
+ v – + v –
1
2
+
–
v
v
i=
=
Req R1 + R2
b
R1
v1 = R1 ⋅ i =
v
R1 + R2
Teoria dei Circuiti
R2
v2 = R2 ⋅ i =
v
R1 + R2
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Leggi fondamentali, pag. 23
Resistori in serie: generalizzazione
i
v
a
+
–
R1
RN
+ v –
1
+ v –
N
b
v
a
Req
+ v
+
–
–
b
N
Req = R1 + R2 + K + RN = ∑ Rn
n =1
Teoria dei Circuiti
i
Prof. Luca Perregrini
Rn
vn =
v
R1 + R2 + K + RN
Leggi fondamentali, pag. 24
Resistori in parallelo
i
v
KCL:
a
i2
i1
+
–
i = i1 + i2
R1
R2
Legge di Ohm:
i1 = v/R1
i2 = v/R2
b
v
v
v
v
i= +
=
=
R1 ⋅ R2
R1 R2
Req
R1 + R2
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 25
Resistori in parallelo
i
v
a
i
i2
i1
+
–
R1
R2
b
v
a
i
+
–
Req
b
R1 ⋅ R2
Req =
R1 + R2
Teoria dei Circuiti
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Leggi fondamentali, pag. 26
Resistori in parallelo
i
v
a
i
i2
i1
+
–
G1
G2
b
i
+
–
Geq
b
i = G1 ⋅ v + G2 ⋅ v = Geq ⋅ v
Teoria dei Circuiti
v
a
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Geq = G1 + G2
Leggi fondamentali, pag. 27
Partitore di corrente
i
v
a
i2
i1
+
–
R1 ⋅ R2
i
v = Req ⋅ i =
R1 + R2
Req = 1/Geq
R1
R2
i
i
v=
=
Geq G1 + G2
b
G1
R2
i1 =
i=
i
R1 + R2
G1 + G2
Teoria dei Circuiti
G2
R1
i2 =
i=
i
R1 + R2
G1 + G2
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Leggi fondamentali, pag. 28
Resistori in parallelo: generalizzazione
i
v
a
i
iN
i1
+
–
G1
GN
b
i
+
–
Geq
b
N
Geq = G1 + G2 + K + GN = ∑ Gn
n =1
Teoria dei Circuiti
v
a
Prof. Luca Perregrini
Gn
in =
i
G1 + G2 + K + GN
Leggi fondamentali, pag. 29
Configurazioni a stella e a triangolo
R1
Configurazione a stella
R2
v
R4
+
–
R5
Teoria dei Circuiti
R3
R6
Prof. Luca Perregrini
Configurazione a triangolo
Leggi fondamentali, pag. 30
Trasformazione stella/triangolo
3
1
Rc
Rb
3
1
R1
R2
Ra
2
R3
4
2
4
triangolo ⇒ stella
R1 =
Ra =
Rb ⋅ Rc
Ra + Rb + Rc
R1 ⋅ R2 + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
R1
Teoria dei Circuiti
R2 =
Rc ⋅ Ra
Ra + Rb + Rc
stella ⇒ triangolo
R ⋅ R + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
Rb = 1 2
R2
Prof. Luca Perregrini
R3 =
Rc =
Ra ⋅ Rb
Ra + Rb + Rc
R1 ⋅ R2 + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R1
R3
Leggi fondamentali, pag. 31