Sistemi Lineari Andrea Galasso 1 Esercizi svolti Teorema 1.1 (Rouché-Capelli). Un sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice ottenuta affiancando ad A il vettore dei termini noti b, in simboli Ax = b è possibile ⇐⇒ rg(A) = rg(A|b) . Teorema 1.2 (Cramer). Il sistema lineare Ax = b, con A matrice quadrata (r × r) e non singolare, ammette la soluzione (x1 , x2 , . . . , xr ) data da: xi = det(Ai ) det(A) (i = 1, 2, . . . , r) dove Ai è la matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna dei termini noti b al posto della i-esima colonna. Esercizio 1.1. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale k, il sistema: kx + y = 1 x + y + (1 − k)z = k 2x + 2z = 2 Svolgimento: La matrici A, x e b sono rispettivamente: k 1 0 x 1 1 1 1 − k , y e k . 2 0 2 z 2 Calcoliamo il determinante di A usando la regola di Laplace per la seconda colonna 1 1 − k k 0 = 0, det(A) = −1 · +1· 2 2 2 2 quindi il rango rg(A) < 3 per ogni valore di k. La sottomatrice 1 1 2 0 ha determinante non nullo, quindi si ha che rg(A) = 2 per ogni k. 1 Occupiamoci ora del rango di A|b. Il determinante della sottomatrice ottenuta da A|b sopprimendo la terza colonna risulta k 1 1 1 1 k = 2 · 1 1 + 2 · k 1 = 4 · (k − 1) , 1 1 1 k 2 0 2 che è diverso da zero se k 6= 1. Se k = 1 le sottomatrici quadrate di ordine 3 di A|b, diverse da A, che si ottengono da A|b sopprimendo la prima e la seconda colonna sono rispettivamente 1 0 1 1 0 1 1 0 1 e 1 0 1 , 0 2 2 2 2 2 che hanno determinanti entrambi nulli, per cui se k = 1 si ha rg(A|b) = 2. Riassumendo • Se k = 1 allora rg(A|b) = 2 = rg(A), e quindi esistono infinite soluzioni. • Se k 6= 1 allora rg(A|b) = 3 6= 2 = rg(A), e quindi il sistema è impossibile. Nel caso k = 1 possiamo trovare le soluzioni del sistema in funzione della variabile y. Il sistema si riscrive ( x+y =1 (1) 2x + 2z = 2 dove abbiamo eliminato la prima equazione perché identica alla seconda. Sostituendo x = 1 − y nella seconda equazione del sistema (1), si ottiene z = y. Oppure è possibile risolvere il sistema utilizzando il Teorema 1.2. Esprimiamo quindi le variabili x e z in funzione di y ( x=1−y 2x + 2z = 2 che si può riscrivere, utilizzando le matrici 1 0 x à = , x̃ = e 2 2 z b̃ = 1−y , 2 come Ãx̃ = b̃. Il determinante di à è uguale a 2, i determinanti delle matrici Ãi per i = 1, 2 sono rispettivamente 1 − y 0 1 = 2 − 2y , det(à ) = 2 2 1 1 − y 2 = 2y . det(à ) = 2 2 2 Quindi le soluzioni sono det Ã1 = 1−y, x= det à det Ã2 = y, z= det à al variare di y ∈ R, che sono le stesse trovate in precedenza. Quindi, per k = 1, le soluzioni sono (1 − y, y, y) per ogni y ∈ R. Esercizio 1.2. Discutere e risolvere, al variare del parametro reale k, il sistema Ax = b essendo: 1 1 k x 2 A = 0 k 6 , x = y e b = 3 . 2 k 8 z 5 Svolgimento: Calcoliamo il determinante di A rispetto alla prima colonna: 1 k k 6 = 2k + 12 − 2k 2 = −2(k − 3)(k + 2) , +2· det(A) = 1 · k 6 k 8 per cui se k 6= −2 e k 6= 3 allora rg(A) = 3. Se k = −2 o k = 3 allora il rg(A) = 2 poichè il determinante della sottomatrice di ordine 2 ottenuta sopprimendo la prima riga e la seconda colonna è sempre non nullo. Studiamo ora il rg(A|b). La sottomatrice ottenuta sopprimendo la seconda colonna ha determinante, sviluppando rispetto alla prima colonna, 1 k 2 0 6 3 = 1 · 6 3 + 2 · k 2 = 6 + 6k − 24 = 6(k − 3) , 6 3 8 5 2 8 5 quindi per k 6= 3 il rg(A|b) = 3. Altrimenti, per k = 3, le sottomatrici quadrate 3 × 3, diverse da A, di A|b, ottenute sopprimendo la terza e la prima colonna sono rispettivamente 1 1 2 1 3 2 0 3 3 e 3 6 3 2 3 5 3 8 5 hanno determinante nullo, quindi rg(A|b) = 2, poichè A è una sottomatrice di A|b e rg(A) = 2. Riassumendo • Se k 6= 3 e k 6= −2 allora rg(A|b) = 3 = rg(A), quindi il sistema ha una soluzione. • Se k = 3 allora rg(A|b) = 2 = rg(A), quindi il sistema ha infinite soluzioni. 3 • Infine se k = −2 allora rg(A|b) = 3 6= 2 = rg(A), quindi il sistema è impossibile. Occupiamoci ora di trovare le soluzioni quando k 6= 3 e k 6= −2, usando il metodo spiegato nel Teorema 1.2. Calcoliamo quindi i determinanti delle matrici Ai per i = 1, 2, 3, 2 1 k det(A1 ) = 3 k 6 = −2k 2 + 4k + 6 = −2(k − 3)(k + 1) , 5 k 8 1 2 k det(A2 ) = 0 3 6 = 24 − 30 + 2(12 − 3k) = −6(k − 3) , 2 5 8 1 1 2 det(A3 ) = 0 k 3 = 5k − 3k + 2(3 − 2k) = −2(k − 3) . 2 k 5 La soluzione è quindi det(A1 ) k+1 = , det(A) k+2 det(A2 ) 3 y= = , det(A) k+2 det(A3 ) 1 z= = . det(A) k+2 x= Nel caso k = 3 il sistema diventa ( y + 2z = 1 2x + 3y + 8z = 5 (2) dove abbiamo eliminato la prima riga. Si può, ad esempio, scrivere y in funzione di z come y = 1 − 2z, sostituirlo nella seconda equazione ed ottenere x = 1 − z. Oppure, usando il Teorema 1.2, si riscrive il sistema (3) esprimendo le variabili x e y in funzione di z, ( y = 1 − 2z (3) 2x + 3y = 5 − 8z che, in termini delle matrici 0 1 à = , 2 3 x̃ = x y e b̃ = 1 − 2z , 5 − 8z diventa Ãx̃ = b̃. Il determinante di à è uguale a −2, i determinanti delle matrici Ãi per i = 1, 2 sono rispettivamente 1 − 2z 1 1 = 3 − 6z − 5 + 8z = 2(z − 1) , det(à ) = 5 − 8z 3 4 0 1 − 2z = 2(2z − 1) . det(Ã2 ) = 2 5 − 8z Quindi le soluzioni sono det Ã1 = 1−z, x= det à det Ã2 = 1 − 2z , y= det à al variare di z ∈ R, che sono le stesse trovate in precedenza. Quindi, per k = 3, le soluzioni sono (1 − z, 1 − 2z, z) per ogni z ∈ R. 5