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Effetto Hall
(e applicazione alla velocità di deriva)
Si tratta di una delle conseguenze della forza che un campo magnetico esercita su una carica in
movimento. Ci riferiamo alla legge di Lorentz.
Sappiamo che una carica q, in modo con velocità V in una regione dello spazio sede di un campo
magnetico B, è soggetta alla forza di Lorentz
F qv B
Fig.1
che tende a deviarla. La forza è perpendicolare alla
direzione della velocità della particella, perciò non altera
il modulo della velocità. Va altresì ricordato che se la
carica entra nella zona del campo magnetico con velocità
parallela alle linee di forza del campo magnetico allora
l’intensità della forza è nulla, quindi la carica procede in
linea retta.
Il Fisico americano Edwin Hall (1855-1938) è riuscito a
dimostrare che nei conduttori metallici le cariche che si
muovono sono gli elettroni. Il risultato è stato ottenuto sfruttando la forza di Lorentz sulle cariche
presenti in un conduttore che presenta una larghezza considerevole ed il risultato è conosciuto come
effetto Hall. Vediamo nei dettagli di cosa si tratta.
Si consideri un nastro conduttore inserito in un circuito, come indicato in Fig.1.
Per la presenza del generatore si origina una corrente e dunque all’interno del nastro conduttore si
muovono delle cariche che mediamente possiamo supporre essere dotate della velocità v. Per
convenzione il verso della corrente è quello delle cariche positive e poiché queste si muovono da
punti a potenziale maggiore a punti a punti a potenziale minore, il verso della corrente è quello
indicato in figura.
Ricordiamo ora che le cariche negative q presenti in una regione dello spazio sede di un
campo elettrico E, per effetto della forza elettrica qE, si muovono da punti a potenziale minore a
punti a potenziale maggiore, “risalgono” le barriere di potenziale. In virtù di questa considerazione,
se nel nastro conduttore fossero le cariche negative a muoversi, la loro velocità dovrebbe avere
verso opposto a quello della corrente. L’intensità della corrente non dipende dal segno delle cariche
in moto.
Con un esperimento il fisico Hall è riuscito a dimostrare nel 1879 che a muoversi sono le cariche
negative, cioè gli elettroni presenti nel metallo. Sono dunque gli elettroni degli strati esterni degli
atomi, che, debolmente legati al rispettivo nucleo, in presenza di deboli campi elettrici esterni sono
strappati all’atomo di appartenenza e vagano nella materia secondo le linee di forza del campo
elettrico dando origine alla corrente.
Descrizione dell’esperimento
Il fisico Hall ha predisposto un circuito come quello indicato in Fig.1 ed ha immerso il conduttore in
una regione dello spazio sede di un campo magnetico uniforme B perpendicolare al piano del
conduttore ed ha sviluppato le seguenti considerazioni.
Primo caso
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Immaginiamo che il nastro conduttore si trovi nel piano del foglio e che le linee di forza del campo
magnetico B siano entranti.
Se a muoversi nel conduttore sono le cariche
positive, allora ciascuna di esse nella fase iniziale
dell’esperimento sarà soggetta alla forza F di Lorentz.
Detta v la velocità di deriva delle particelle,
Fig.2
F qv B
l’espressione vettoriale della forza è
e
la sua intensità è F =q v B. Dalla regola del prodotto
vettoriale si deduce che il verso della forza è verso
l’alto e dunque le cariche in movimento tendono a
salire nella parte alta del nastro conduttore. Ciò
implica che la parte bassa del nastro rimane sguarnita
della presenza delle cariche positive che via via si
trasferiscono verso l’alto e presenterà un eccesso di
cariche negative. La conseguenza sarà che, considerati due punti qualsiasi A e B situati sui due
bordi del nastro, tra di essi si stabilirà una differenza di potenziale rilevabile con un voltmetro
(come indicato in Fig.2).
Secondo caso
Fig.3
Se a muoversi nel conduttore sono le cariche
negative la situazione cambia. Infatti, per quello che
è il verso della corrente, questa volta le cariche
negative si dirigono verso sinistra (per chi osserva il
foglio) ma il vettore qv ha verso opposto alla
velocità perché q<0, pertanto il risultato del
prodotto vettoriale qv B è ancora un vettore
diretto verso l’alto. Le cariche in moto saranno
spinte ancora verso la parte alta del nastro
conduttore. Questo bordo presenterà allora un
eccesso di carica negativa e corrispondentemente il bordo inferiore presenterà un eccesso di carica
positiva. Si potrà allora misurare la differenza di potenziale tra i due bordi come indicato in Fig.3.
Conclusione dell’esperimento
Dalla misura della differenza di potenziale tra i punti A e B si rileva quale dei due è a
potenziale maggiore. Poiché è il punto B a trovarsi a potenziale maggiore si è dedotto
che a muoversi nel metallo sono le cariche negative.
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Determinazione della velocità di deriva delle cariche in un conduttore
(Applicazione dell’effetto Hall)
In relazione al circuito indicato, dopo la chiusura dell’interruttore, in virtù dell’effetto Hall
alcune cariche negative migrano verso la parte alta del nastro conduttore. Ciò comporta che
all’interno del conduttore si origina un campo elettrico EH per la presenza dei due raggruppamenti
di carica sui due bordi. Il campo elettrico è diretto dal bordo positivo al bordo negativo. Questo
campo esercita sulle cariche in moto la forza Fe=qEH che ha verso opposto a quella di Lorentz. Man
mano che cresce l’intensità del campo EH cresce anche l’intensità della forza Fe ed evidentemente
ad un certo punto la sua intensità uguaglierà la forza di Lorentz. In tale situazione cessa il processo
di migrazione delle cariche negative verso la parte alta del nastro. Le cariche nel conduttore si
muoveranno tutte e soltanto nella direzione della corrente (ed essendo negative, nel verso opposto
di questa).
Possiamo determinare il modulo della velocità di deriva delle particelle elementari nel conduttore.
Indicando con d la larghezza del nastro conduttore e con VH la differenza di potenziale tra i bordi
del nastro, l’intensità del campo elettrico EH è espressa da
EH
VH
d
(1)
e quindi l’intensità della forza elettrica esercitata sulla singola carica q in moto da parte di questo
campo è
Fe qE H
qVH
.
d
(2)
Uguagliando l’intensità della forza elettrica all’intensità della forza di Lorentz otteniamo
qVH
qvB
d
v
VH
d B
(3)
L’espressione ottenuta fornisce il valore della velocità di deriva delle particelle in funzione
della larghezza del nastro conduttore, dell’intensità del campo magnetico applicato e della
differenza di potenziale (di Hall) che si stabilisce tra i bordi del nastro stesso.
Osserviamo che la (3), considerata l’espressione dell’intensità del campo elettrico creato
dai raggruppamenti delle cariche presenti ai bordi del nastro, si può anche scrivere nella seguente
forma
v
VH EH
d B
B
(4)
Questa relazione permette di riconoscere che il legame diretto tra campo elettrico, campo
magnetico e velocità di deriva delle cariche nel conduttore.
Nota
L’ordine di grandezza della velocità di deriva è di 10-4m/s
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