Interferometro di Michel0son
INTERFEROMETRO DI MICHELSON
Scopo dell’esperienza: determinare mediante un interferometro le seguenti quantità:
●
lunghezza d’onda di un fascio di luce monocromatica
●
lunghezza dei pacchetti d’onda di una luce non monocromatica
●
separazione tra le due righe del doppietto della luce gialla del Sodio
●
indice di rifrazione dell’aria a pressione atmosferica
Teoria dell’interferenza e descrizione apparato sperimentale: Il fenomeno dell’interferenza si manifesta
ogni qualvolta due o più raggi di luce giungono, lungo cammini ottici diversi, nella stessa regione dello spazio,
provenendo da una stessa sorgente di radiazione coerente.
Il modello corpuscolare della luce non offre alcuna semplice interpretazione di tali fenomeni. Il modello ondulatorio,
invece, suggerisce un’interpretazione più naturale.
Analogamente al caso di onde meccaniche, l’analisi dei fenomeni di interferenza si basa sul "principio di sovrapposizione"
così enunciato: la perturbazione ottica istantanea in un punto dove due o più onde luminose si sovrappongono è la somma
delle perturbazioni luminose che sarebbero prodotte da ciascuna delle onde separatamente. Questo enunciato implica che
la propagazione di un’onda luminosa non sia affetta dalla presenza di altre onde luminose nello stesso mezzo. Nella teoria
elettromagnetica della luce la validità rigorosa del principio di sovrapposizione per le onde luminose è garantita dalla
linearità delle equazioni di Maxwell .
Per osservare i fenomeni di interferenza si introduce al posto della perturbazione ottica E, una nuova grandezza, nota come
Intensità luminosa I, che è direttamente osservabile dall’occhio umano. In un’onda l’intensità luminosa è proporzionale al
flusso medio di energia per unità di tempo, perciò al valore medio quadratico della perturbazione ottica; si conclude che I
ed E sono legati matematicamente dalla forma: I =K(E°)^2 , dove K è una costante di proporzionalità ed (E°)^2 il valore
medio quadratico della perturbazione ottica.
Nel caso che la perturbazione ottica segua un andamento sinusoidale, allora si trova che l’intensità luminosa è
proporzionale al quadrato dell’ampiezza A dell’onda; così si può scrivere: I= KA^2 , dove K è una costante di
proporzionalità.
Nel caso di interferenza tra onde sferiche prodotte da due sorgenti puntiformi di uguale periodo ed ampiezza, applicando il
principio di sovrapposizione alle rispettive perturbazioni ottiche e successivamente legando la perturbazione ottica e
l’intensità luminosa mediante l’equazione sopra citata, si ricava l’intensità segue un andamento periodico del tipo:
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I=I°{cos[π∗(x-y)/λ −( ϕ1−ϕ2)/2]}^2 , dove I° è il valore di massima intensità luminosa, x ed y rispettivamente le
distanze delle due sorgenti dal punti P di interferenza e ϕ1 e ϕ2 le fasi iniziali delle perturbazioni ottiche giungenti in P .
Chiamando l’argomento del coseno H, allora i punti di minima e massima intensità soddisfano alle equazioni:
●
minimi di intensità: H= k + ½
●
massimi di intensità: H= k
dove k è zero o un intero(positivo o negativo).
Le superfici definite delle equazioni precedenti sono iperboloidi di rotazione con i fuochi nelle due sorgenti puntiformi.
Se si pone uno schermo diffusore sul percorso delle onde interferenti, apparirà su di esso una serie di strisce,
alternativamente illuminate e scure. Esse sono chiamate frange di interferenza.
Se il piano dello schermo è perpendicolare alla retta che congiunge le due sorgenti, le frange di interferenza sono circolari,
mentre se il piano dello schermo è parallelo alle sorgenti, esse sono iperboliche.
Si noti che per osservare fenomeni di interferenza è necessario usare sorgenti coerenti di luce, cioè sorgenti la cui
differenza di fase rimanga costante nel tempo. Invece, la luce prodotta da una sorgente incoerente (lampada ad
incandescenza, tubo al Neon, ecc.) ha una differenza di fase che varia rapidamente ed irregolarmente nel tempo. A causa di
ciò, le posizioni delle frange di interferenza cambiano continuamente e poiché, né l’occhio umano né dispositivi ottici
possono risolvere tali fluttuazioni rapidissime di intensità, ciò che si osserva è una illuminazione uniforme dello schermo.
Uno degli strumenti più importanti che fanno uso dei fenomeni di interferenza è l’interferometro di Michelson. Esso è
composto essenzialmente da due specchi piani M ed M’ perpendicolari tra loro , e da due lamine di vetro a facce piane e
parallele N ed N’.
Gli specchi e le lamine dello strumento hanno il compito di dividere il fascio luminoso della sorgente in due raggi separati
che viaggiano lungo cammini ottici nettamente diversi e che si riuniscono per produrre la figura di interferenza.
Questo fatto rende possibile molte applicazioni; come ad esempio, far passare i raggi attraverso sostanze diverse e
determinare così piccole differenze negli indici di diffrazione di queste sostanze.
Un’altra applicazione dell’interferometro consiste nella misura della lunghezza d’onda di una luce monocromatica.
Sperimentalmente si nota che per ogni sorgente di luce, le frange di interferenza scompaiono quando la differenza dei
cammini ottici dei raggi interferenti supera un certo valore.
Per tale fatto esistevano due diverse scuole di pensiero: la prima che affermava che il fenomeno dipende dal fatto che la
luce non è perfettamente monocromatica; invece la seconda sosteneva che la causa è da ricercarsi nel fatto che la sorgente,
invece di emettere un’onda sinusoidale continua, emette vari treni di onde, ciascuno di lunghezza finita.
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Ma grazie al teorema di Fourier, si dimostra che questi due differenti punti di vista sono completamente equivalenti.
Infatti, tale teorema afferma che ogni funzione soddisfacente certe condizioni, può essere considerata come somma di un
numero finito o infinito di funzioni sinusoidali .
Procedura sperimentale: Prima di procedere alla misura delle grandezze cercate, l’apparato richiede una messa a
punto preliminare consistente nella ricerca della condizione di ortogonalità dello specchio fisso (orientabile mediante viti
micrometriche) e dello specchio mobile.
Misura della lunghezza d’onda della luce LASER
Dopo aver prodotto sullo schermo la figura di interferenza con frange circolari, si procede a variare la posizione dello
specchio mobile mediante la vite micrometrica in modo graduale e continuo, contando il numero di frange scure (o
luminose) che attraversano un punto prefissato dello schermo. La traslazione dello specchio deve avvenire sempre in un
verso allo scopo di eliminare i giochi meccanici del sistema di movimento.
Lo spostamento ∆x subito dallo specchio mobile è legato al numero N di frange scure (o luminose) contate, mediante la
semplice relazione di interferenza: 2n∆x =Nλ , dove n rappresenta l’indice di rifrazione dell’aria per le condizioni di
pressione e temperatura del laboratorio.
Misura della lunghezza dei treni d’onda di una sorgente di luce non monocromatica
Si usa una sorgente di luce non monocromatica (lampada ad incandescenza) . La luce emessa è costituita da treni di
lunghezza molto limitata.
E’ ovvio che il fenomeno dell’interferenza cessa non appena la differenza di cammino ottico fra i due raggi diviene
superiore alla lunghezza del treno d’onda, in quanto sullo schermo vengono a sovrapporsi onde elettromagnetiche non più
coerenti.
Pertanto, misurando lo spostamento dello specchio mobile che porta da una condizione di luminosità uniforme
(immediatamente precedente all’apparire di una figura di interferenza) ad una condizione di interferenza netta e quindi di
nuovo ad una condizione di luminosità uniforme, si ottiene la lunghezza L del pacchetto d’onda: L=∆x .
Misura della separazione tra le righe del doppietto del Sodio
Usando come sorgente una lampada al Sodio, si osserva una figura di interferenza molto netta quando le frange luminose
della prima riga si sovrappongono alle frange luminose della seconda riga. Viceversa si osserva illuminazione omogenea
quando le frange luminose della prima riga si sovrappongono alle frange oscure della seconda riga.
Tale alternanza dipende dalla differenza di cammino ottico dovuta allo spostamento dello specchio mobile, incrementata
della quantità: ∆ =λλ’/(2(λ−λ’)) .
Misurando lo spostamento ∆x dello specchio mobile che produce m alternanze, si può ricavare la separazione tra le due
righe del doppietto: λ−λ’ = mλλ’/(4∆x) = m(λ^2)/(4∆x) , essendo λ la media delle lunghezze d’onda del doppietto (
λ=5893 A).
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Per questo tipo di misura non è necessario usare la lente divergente ma bisogna schermare opportunamente il fascio di luce
emergente dalla sorgente per non essere disturbati nell’osservazione dell’immagine sullo schermo.
Misura dell’indice di rifrazione dell’aria
Per la misura dell’indice di rifrazione dell’aria si mette sul cammino della luce una cameretta cilindrica di vetro nella
quale, mediante una pompa rotativa, può essere praticato il vuoto.
Eseguendo mediante una valvola a spillo il rientro graduale dell’aria nella cameretta, si osserva sullo schermo un
succedersi di frange di interferenza dovuto ad un progressivo aumento del cammino ottico compiuto dal fascio di luce
LASER all’interno della cameretta.
Il cammino ottico al termine del rientro dell’aria sarà variato della quantità: ∆s =2(n-1)d , dove d è la lunghezza interna
della cameretta.
Se sullo schermo si sono susseguite N frange (luminose od oscure) vale la relazione: 2(n-1)d=Nλ , che permette di
ricavare n una volta nota la lunghezza d’onda λ della sorgente LASER .
N.B. L’indice di rifrazione cresce dal valore n=1 (vuoto) al valore n (aria a pressione atmosferica nelle condizioni di
temperatura del laboratorio).
Valutazione degli errori sperimentali: In questa esperienza, le fonti principali di errore vanno ricercate nel
possibile errore di conteggio delle frange di interferenza da parte dello sperimentatore. Infatti, la forte illuminazione dello
schermo ed il continuo fissare un punto fisso possono provocare un affaticamento della vista ed un relativo sbaglio di
conteggio. Questo errore si manifesta più frequentemente durante le prove che necessitano di un conto di un elevato
numero di frange. Grosso modo possiamo stimare questo errore attorno a 5-10 frange contate.
Altra fonte d’errore va attribuita alla vite micrometrica che valuta lo spostamento dello specchio mobile. Allo scopo di
eliminare i possibili giochi meccanici del sistema di movimento, la traslazione dello specchio deve sempre avvenire in un
verso predeterminato dallo sperimentatore. Nella valutazione dell’errore sulle quantità da determinare, l’errore su ∆x può
essere stimato a 1µm .
L’errore sull’indice di rifrazione del vuoto e l’errore sulla lunghezza delle sorgenti usate per le prove (esclusa ovviamente
la determinazione della lunghezza d’onda del LASER) possono essere ritenuti del tutto trascurabili.
Infine, durante la misura dell’indice di rifrazione dell’aria bisogna tenere conto dell’errore derivante dalla misura della
lunghezza interna della camera dove verrà praticato il vuoto. La misura viene effettuata mediante un calibro a cui
possiamo attribuire un’imprecisione pari a σ=0.5 mm.
Inoltre, sempre relativamente a questa parte dell’esperienza, si è considerato vuoto assoluto il vuoto prodotto dalla pompa
rotativa. Per questo si è posto l’indice di rifrazione di partenza pari a n=1, quando in verità sarebbe una quantità superiore
all’unità. Comunque tale approssimazione è tranquillamente accettabile dato che la pompa in dotazione crea una
depressione molto spinta prossima alla condizione di vuoto assoluto.
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RISULTATI DELLE MISURE
A.Lunghezza d’onda del fascio LASER
I dati sperimentali raccolti sono i seguenti:
Spost.vite
Spost.specchio
(mm)
(mm)
0.220
0.044
0.185
n° frange
Lungh.d’onda
Errore
(A)
(m)
150
5867
1.33E-08
0.037
120
6166
1.67E-08
0.140
0.028
85
6588
2.35E-08
0.275
0.055
160
6875
1.25E-08
Con la statistica della"media pesata" si ottiene una lunghezza d’onda del LASER λ=6.374E-07 m (siamo nel rosso) ed un
errore pesato σ=7.6E-09 m .
B.Separazione delle righe del doppietto della luce gialla del Sodio
Spost.vite
Spost.specchio
(mm)
(mm)
7.07
1.41
7.55
5.25
Alternanze
Sep.doppietto
Errore
(A)
(m)
10
6.140
7.37E-13
1.51
10
5.750
7.37E-13
1.05
8
6.610
5.89E-13
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Con le "medie pesate" si ottiene una separazione del doppietto S=6.230E-10 m con un errore pesato σ=4.0Ε−13 m .
C.Indice di rifrazione dell’aria
Lungh.camera int.
Lungh.d’onda LASER
(m)
(A)
0.05
6374
n°frange interf.
Ind.rifr.aria
Errore
39
1.00025
0.00002
41
1.00026
0.00002
40
1.00025
0.00002
Si ottiene un indice di rifrazione dell’aria di 1.00025 con un errore relativo pari a 0.00002 .
N.B. Si ricordi che lo spostamento ∆x dello specchio mobile corrisponde ad 1/5 dello spostamento misurato con il
micrometro.
Conclusione
Va ricordato che la parte relativa alla determinazione della lunghezza dei pacchetti d’onda di una sorgente non
monocromatica è fallita, sebbene è stata ripetuta in due differenti momenti. In entrambi i casi, non si è riuscito ad
apprezzare la condizione di interferenza.
La causa potrebbe essere attribuita a un errato allineamento dello strumento e, quindi a una non perpendicolarità tra
specchio fisso e specchio mobile; ma un altro motivo va cercato anche nella estremamente piccola lunghezza del pacchetto
d’onda che provoca difficoltà al momento di ricercare la condizione di massima interferenza.
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