Insegnamento di Complementi di idrologia
Esercitazione n. 1
Si vuole determinare la fascia di allagamento corrispondente a un tempo di ritorno di 500 anni
per un tratto del torrente Scrivia.
Allo scopo occorre stimare la portata al colmo con tempo di ritorno di 500 anni in una sezione
del torrente, per la quale non esistono osservazioni, che sottende un bacino di 295 km2.
Per l'analisi idrologica sono disponibili le osservazioni del massimo annuale della portata al
colmo effettuate in cinque stazioni di misura situate sul torrente Scrivia e sui suoi affluenti
Vobbia e Borbera e quelle effettuate in 14 altre stazioni poste su corsi d'acqua della parte del
versante settentrionale delle Alpi Marittime e degli Appennini compresa tra Stura di Demonte e
Scrivia.
Stimare la portata al colmo richiesta per mezzo di un'analisi regionale, adottando il metodo della
portata indice.
Tanaro a Ponte di Nava (148 km2)
69.7
134.0
123.0
85.4
119.0
140.0
52.0
81.5
750.0
32.0
92.0
82.0
46.0
40.8
320.0
92.0
80.8
190.0
96.0
60.0
27.1
320.0
88.0
540.0
88.0
39.0
152.0
107.0
54.0
196.0
-1.0
Tanaro a Ormea (194 km2)
126.0
102.0
162.0
184.0
122.0
88.1
176.0
135.0
117.0
168.0
394.0
91.9
-1.
Tanaro a Nucetto (375 km2)
297.0
236.0
267.0
306.
571.
268.
168.
290.
980.
214.
248.
172.
540.
276.
1
200.
45.
780.
164.
280.
450.
95.
370.
210.
88.
1150.
161.
151.
453.
-1.
Corsaglia a Presa Centrale Molline (88.5 km2)
18.5
16.6
37.3
21.6
30.6
35.5
29.6
33.9
29.8
29.9
34.0
20.2
24.8
50.8
28.0
133.0
64.6
42.4
22.7
20.0
51.5
34.3
36.0
33.0
43.2
-1.
Tanaro a Clavesana (1496 km2)
292.0
490.0
742.0
782.0
540.0
574.
1920.
700.
518.
762.
1643.
-1.
Tanaro a Farigliano (1522 km2)
650.
1060.
920.
532.
1000.
2
1380.
1000.
326.
746.
472.
653.
607.
445.
710.
887.
870.
262.
1600.
512.
558.
525.
490.
123.
1100.
545.
501.
-1.
Rio Bagni a Bagni di Vinadio (63 km2)
75.0
19.5
28.8
8.33
10.8
13.0
9.9
9.9
10.5
140.0
8.0
58.3
7.9
11.0
10.5
11.0
7.76
10.5
8.6
-1.
Stura di Demonte a Pianche (181 km2)
33.6
24.4
43.6
39.8
37.7
18.6
22.3
26.2
14.0
18.2
13.2
123.0
44.8
37.2
121.0
39.2
15.8
3
37.8
-1.
Stura di Demonte a Gaiola (562.4 km2)
94.0
138.0
96.1
86.5
97.9
59.1
83.6
54.0
60.1
44.3
65.0
165.0
167.0
54.9
65.0
103.0
70.1
87.0
-1.
Gesso della Valletta a San Lorenzo (110 km2)
42.0
66.0
38.5
50.5
77.4
225.0
67.0
46.9
30.0
47.5
40.2
-1.
Gesso di Entracque a Entracque (157 km2)
21.2
64.6
50.5
71.9
136.0
270.0
82.0
104.0
40.0
25.2
44.0
33.5
-1.
Bormida di Mallare a Ferrania (49.5 km2)
34.9
84.4
600.0
73.2
39.2
71.0
41.4
35.2
71.8
66.6
512.0
4
120.0
246.0
227.0
209.0
44.8
108.0
83.0
209.0
191.0
47.0
570.0
-1.
Erro a Sassello (96 km2)
112.0
64.4
153.0
165.0
92.0
51.0
162.0
89.9
66.2
93.5
67.6
132.0
115.0
63.4
103.0
108.0
-1.
Bormida a Cassine (Caranzano) (1483 km2)
763.
790.
675.
1320.
790.
540.
1270.
850.
1240.
1130.
664.
-1.
Vobbia a Vobbietta (51.8 km2)
19.2
84.8
136.0
92.5
40.8
35.2
40.3
137.0
25.7
25.6
53.0
55.4
80.4
-1.
Scrivia a Isola del Cantone (214 km2)
579
135
5
310
365
376
244
311
248
238
390
-1.
Borbera a Pertuso (193 km2)
700.
1020.
193.
642.
-1.
Borbera a Baracche (202 km2)
184.0
460.0
532.0
133.0
118.0
45.7
266.0
690.0
143.0
320.0
103.0
57.4
56.0
137.0
80.5
247.0
236.0
-1.
Scrivia a Serravalle (605 km2)
1100.
325.
866.
1110.
1110.
355.
956.
495.
615.
1970.
507.
471.
282.
254.
1430.
584.
237.
387.
457.
353.
407.
753.
404.
626.
626.
-1.
6
AUTORITA` DI BACINO DEL FIUME PO
PARMA
Progetto di Piano stralcio per l'Assetto Idrogeologico (PAI)
Interventi sulla rete idrografica e sui versanti
Legge 18 maggio 1989, n. 183, art. 17. comma 6-ter
Adottato con deliberazione del Comitato Istituzionale n. 1 in data 11.05.1999
7. Norme di attuazione
Titolo II - Norme per le fasce fluviali
Allegato 3 - Metodo di delimitazione delle fasce fluviali
Metodo di delimitazione delle fasce fluviali
1. Articolazione in fasce degli alvei fluviali
L'alveo fluviale e la parte di territorio limitrofo, costituente nel complesso la regione fluviale,
sono oggetto della seguente articolazione in fasce:
- Fascia di deflusso della piena (Fascia A), costituita dalla porzione di alveo che è
sede prevalente, per la piena di riferimento, del deflusso della corrente, ovvero che è
costituita dall'insieme delle forme fluviali riattivabili durante gli stati di piena;
- Fascia di esondazione (Fascia B), esterna alla precedente, costituita dalla porzione
di alveo interessata da inondazione al verificarsi dell'evento di piena di riferimento. Con
l'accumulo temporaneo in tale fascia di parte del volume di piena si attua la laminazione
dell'onda di piena con riduzione delle portate di colmo.
Il limite della fascia si estende fino al punto in cui le quote naturali del terreno sono
superiori ai livelli idrici corrispondenti alla piena di riferimento ovvero sino alle opere
idrauliche esistenti o programmate di controllo delle inondazioni (argini o altre opere di
contenimento), dimensionate per la stessa portata.
- Area di inondazione per piena catastrofica (Fascia C), costituita dalla porzione
di territorio esterna alla precedente (Fascia B), che può essere interessata da inondazione
al verificarsi di eventi di piena più gravosi di quelli di riferimento.
La delimitazione delle fasce, in particolare A e B, sottende l'assunzione di uno specifico
progetto per l'assetto di un corso d'acqua, comprendente l'individuazione delle caratteristiche e
della localizzazione delle nuove opere idrauliche per il contenimento dei livelli idrici di piena e
per la regimazione dell'alveo. I limiti della fascia A e della fascia B vengono evidenziati nella
cartografia del Piano con la dicitura "di progetto" nei casi in cui esse si identifichino con il
perimetro di nuove opere idrauliche (ad esempio arginature).
2. Assunzioni per la delimitazione delle fasce fluviali
- Fascia di deflusso della piena (Fascia A). Si assume la delimitazione più ampia tra le
seguenti:
- fissato in 200 anni il tempo di ritorno (TR) della piena di riferimento e determinato il
livello idrico corrispondente, si assume come delimitazione convenzionale della fascia la
porzione ove defluisce almeno l'80% di tale portata. All'esterno di tale fascia la velocità
della corrente deve essere minore o uguale a 0.4 m/s (criterio prevalente nei corsi d'acqua
mono o pluricursali);
- limite esterno delle forme fluviali potenzialmente attive per la portata con TR di 200 anni
(criterio prevalente nei corsi d'acqua ramificati);
- Fascia di esondazione (Fascia B). Si assume come portata di riferimento la piena con
TR di 200 anni. Il limite della fascia si estende fino al punto in cui le quote naturali del
terreno sono superiori ai livelli idrici corrispondenti alla piena indicata ovvero sino alle opere
idrauliche esistenti o programmate di controllo delle inondazioni (argini o altre opere di
contenimento), dimensionate per la stessa portata.
La delimitazione sulla base dei livelli idrici va integrata con:
- le aree sede di potenziale riattivazione di forme fluviali relitte non fossili, cioè ancora
correlate, dal punto di vista morfologico, paesaggistico e talvolta ecosistemico alla
dinamica fluviale che le ha generate;
- le aree di elevato pregio naturalistico e ambientale e quelle di interesse storico, artistico,
culturale strettamente collegate all'ambito fluviale.
- Area di inondazione per piena catastrofica (Fascia C). Si assume come portata di
riferimento la massima piena storicamente registrata, se corrispondente a un TR superiore a
200 anni, o in assenza di essa la piena con TR di 500 anni.
Per i corsi d'acqua non arginati la delimitazione dell'area soggetta ad inondazione viene
eseguita con gli stessi criteri adottati per la fascia B, tenendo conto delle aree con presenza di
forme fluviali fossili.
Per i corsi d'acqua arginati l'area è delimitata unicamente nei tratti in cui lo rendano possibile
gli elementi morfologici disponibili; in tali casi la delimitazione è definita in funzione della
più gravosa delle seguenti due ipotesi (se entrambe applicabili) in relazione alle altezze
idriche corrispondenti alla piena:
- altezze idriche corrispondenti alla quota di tracimazione degli argini;
- altezze idriche ottenute calcolando il profilo idrico senza tenere conto degli argini.
(omissis)
Elaborazioni
Portata da stimare
Gli alvei fluviali di competenza dell'Autorità di bacino del Po si articolano in tre fasce:
- fascia di deflusso della piena, delimitata facendo riferimento alla piena con tempo di ritorno di
200 anni (è la zona interessata da almeno l'80% della portata e comprende tutti i punti in cui la
velocità dell'acqua non risulta inferiore a 0,40 ms-1);
- fascia di esondazione, delimitata facendo riferimento alla piena con tempo di ritorno di 200
anni (si estende fino alle quote naturali superiori al livello idrico corrispondente alla portata
oppure fino alle opere di contenimento);
- area di inondazione per piena catastrofica, delimitata facendo riferimento alla portata massima
osservata, se con tempo di ritorno di 200 anni, oppure alla portata con tempo di ritorno di
500 anni, se la portata massima osservata ha un tempo di ritorno inferiore.
La portata da stimare qui è quella di piena catatstrofica, perché ha un tempo di ritorno di 500
anni. La portata di piena catastrofica, che si riferisce a una sezione per cui non esistono
osservazioni, si stima con il metodo della portata indice.
Osservazioni
Le osservazioni disponibili per le elaborazioni si riferiscono a 19 corsi d'acqua del versante
settentrionale delle Alpi Marittime e degli Appennini compresi tra Stura di Demonte e Scrivia:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Tanaro a Ponte di Nava (148 km2)
Tanaro a Ormea (194 km2)
Tanaro a Nucetto (375 km2)
Corsaglia a Presa Centrale Molline (88,5 km2)
Tanaro a Clavesana (1496 km2)
Tanaro a Farigliano (1522 km2)
Rio Bagni a Bagni di Vinadio (63 km2)
Stura di Demonte a Pianche (181 km2)
Stura di Demonte a Gaiola (562,4 km2)
Gesso della Valletta a San Lorenzo (110 km2)
Gesso di Entracque a Entracque (157 km2)
Bormida di Mallare a Ferrania (49,5 km2)
Erro a Sassello (96 km2)
Bormida a Cassine (Caranzano) (1483 km2)
Vobbia a Vobbietta (51,8 km2)
16)
17)
18)
19)
Scrivia a Isola del Cantone (214 km2)
Borbera a Pertuso (193 km2)
Borbera a Baracche (202 km2)
Scrivia a Serravalle (605 km2)
Per la stima della curva di crescita si prendono in considerazione inizialmente le osservazioni
(contenute nel file DATI già preparato) del massimo annuale della portata al colmo di tutti i 19
corsi d'acqua. La scelta è dovuta alla presunzione - che sta alla base del metodo della portata
indice - che le variazioni nella distribuzione di probabilità del massimo annuale della portata al
colmo osservate in una certa stazione siano dovute alla sola variazione della media, e che quindi
le portate di una qualsiasi stazione, una volta rese adimensionali con la divisione per la relativa
media, si possano considerare appartenenti tutte a una stessa distribuzione. La validità della
scelta deve però essere controllata nel corso delle elaborazioni.
Per la stima della portata indice (assunta come di norma uguale alla media del massimo annuale
della portata al colmo Q nella sezione considerata, per la quale però non esistono osservazioni)
si prendono invece in considerazione soltanto le osservazioni effettuate alle cinque stazioni poste
sul torrente Scrivia e sui suoi affluenti Vobbia e Borbera. La scelta è dovuta al desiderio di
assicurare per quanto possibile l'affidabilità della stima della media µ(Q), dalla quale a sua volta
dipende la stima della portata al colmo Q(T) con un tempo di ritorno T assegnato. La stima Q(T)
è costituita infatti, ricordiamo, dal prodotto della media µ (Q) per il valore della variabile
adimensionale x (rapporto tra la portata Q e la portata indice) con lo stesso tempo di ritorno T:
quindi ogni errore nella stima di µ(Q) si trasmette direttamente alla stima di Q(T). Ora, la portata
indice relativa alla sezione considerata (che sottende un bacino di 295 km2) non può essere
stimata a partire da misure dirette di portata, che non esistono, ma deve essere necessariamente
stimata a partire da una relazione che esprima la portata indice µ (Q) in funzione delle
caratteristiche geomorfologiche del bacino, rapppresentate quasi sempre dalla sola area A, il cui
effetto su µ(Q) è ben evidente. Per individuare la relazione appare quindi opportuno restringere
la regione in cui ricadono i bacini utilizzati, così da ridurre il più possibile la variabilità delle altre
caratteristiche geomorfologiche, alcune delle quali (come le caratteristiche geologiche e quelle
della vegetazione) sarebbero del resto molto difficili da quantificare. Si individua dunque la
relazione utilizzando soltanto osservazioni relative a bacini molto vicini tra loro (o addirittura
contenuti l'uno nell'altro).
Determinazione del legame tra la portata indice e le caratteristiche
geomorfologiche del bacino
Come normalmente si fa, a rappresentare le caratteristiche geomorfologiche del bacino si
assume la sola area A, che è senz'altro il parametro più importante agli effetti della
determinazione della portata indice. Come si è già detto, dal momento che la sezione per cui si
deve stimare la portata indice è una sezione dello Scrivia, si considerano solo i bacini dello
Scrivia stesso (a Isola del Cantone e a Serravalle) e dei suoi affluenti Vobbia e Borbera (a
Pertuso e a Baracche). Nella tabella che segue sono riportati i valori dell'area A, del numero di
osservazioni N, della media m(Q) osservata e l'indicazione del periodo di osservazione.
Bacino
Vobbia a Vobbietta
Scrivia a Isola del Cantone
Borbera a Pertuso
Borbera a Baracche
Scrivia a Serravalle
A [km2]
51,8
214
193
202
605
N
13
10
4
17
25
m(Q) [m3s-1]
63,5
319,6
638,8
224,0
667,2
periodo
1956-68
1931-40
1934-37
1938-60
1931-63
Le osservazioni si riferiscono a periodi tra loro diversi, ed è naturale attendersi che la
circostanza influisca sulla dipendenza della media osservata m(Q) dall'area A, rendendola più
disordinata. In effetti, riportando in un grafico i punti corrispondenti ai cinque bacini
considerati, si nota immediatamente il comportamento anomalo del Borbera a Pertuso, che
presenta una media del massimo annuale della portata al colmo Q molto elevata. Verosimilmente
nei pochi anni di funzionamento della stazione di misura di Pertuso (soltanto quattro) sono state
osservate piene molto rilevanti. Il confronto delle osservazioni effettuate sul Borbera a Pertuso
con quelle effettuate negli stessi anni sullo Scrivia a Serravalle (a valle della confluenza del
Borbera) mostra anche che negli anni 1934, 1935 e 1937 le piene dello Scrivia sono state
alimentate principalmente dal Borbera. Si può dunque affermare con certezza che la grande
differenza tra le medie delle osservazioni effettuate sul Borbera alle due stazioni di Pertuso e di
Baracche non è dovuta ad altro che al diverso periodo in cui le osservazioni sono state
effettuate. Poiché le due stazioni poste sul Borbera sottendono bacini di estensione quasi uguale
(in effetti la stazione di Baracche ha sostituito quella di Pertuso, con un piccolo spostamento), è
ragionevole riunire le due serie di osservazioni in una sola. Per tener conto della sia pur piccola
differenza di estensione si moltiplicano comunque le osservazioni della serie di Pertuso per il
rapporto (202/193) tra le aree dei due bacini, dunque maggiorandole. (Non è il caso, dal
momento che la differenza tra le aree è molto piccola, di tener conto del fatto che generalmente le
portate crescono meno che proporzionalmente all'area del bacino.) La media m(Q) della nuova
serie di portate del Borbera a Baracche (composta di 21 valori) è uguale a 308,7 m3s-1.
Dopo l'accorpamento delle osservazioni effettuate alle due stazioni di Pertuso e di Baracche i
quattro punti aventi come ascissa l'area A e come ordinata la media m(Q), stima della media
vera µ(Q) (ovviamente incognita), individuano bene una curva interpolante, che rappresenta la
dipendenza della media µ(Q) dall'area A. La curva, secondo la quale µ(Q) (portata indice)
cresce meno che proporzionalmente al crescere dell'area (come è normale attendersi), si può
rappresentare analiticamente con l'espressione parabolica (dove l'area A è in chilometri quadrati
e la media di Q è in m3s-1)
µ(Q) = -0,001291A2 + 1,939A - 33,31.
E` il caso di rilevare che l'espressione parabolica sopra riportata vale soltanto a interpolare i
quattro punti sperimentali, e non consente estrapolazioni: al di fuori del campo dei valori di A
relativi ai bacini considerati l'espressione perde rapidamente significato (a un certo punto al
crescere dell'area la media fornita dalla formula che rappresenta la curva interpolante comincia
addirittura a decrescere). La curva interpolante fornisce, per l'area di 295 km2, una media del
massimo annuale della portata al colmo µ(Q) (portata indice) uguale a 426,3 m3s-1.
Distribuzioni prese in considerazione per individuare la legge di crescita
Per individuare la legge di crescita è stato utilizzato il programma REGIONE. Le distribuzioni di
probabilità considerate dal programma sono due: la distribuzione asintotica del massimo valore
generalizzata e la distribuzione Wakeby.
La distribuzione asintotica del massimo valore generalizzata, indicata usualmente con la sigla
GEV (dall'inglese Generalized Extreme Value), ha funzione di probabilità
k (x - u) 1/k
P(x) = exp- 1 .
α
La distribuzione GEV è illimitata inferiormente e superiormente (e coincide con la distribuzione
di Gumbel) quando l'esponente k è uguale a zero, è limitata inferiormente e illimitata
superiormente (e coincide con la distribuzione di Fréchet) quando k è minore di zero, è illimitata
inferiormente e limitata superiormente quando k è maggiore di zero. Nella pratica idrologica il
caso di gran lunga più comune è quello in cui il valore dell'esponente k risulta negativo. (Vale la
pena di osservare che la distribuzione GEV viene spesso scritta anche in un'altra forma,
sostituendo al parametro α il suo inverso e al parametro k il suo inverso cambiato di segno.)
La distribuzione Wakeby, introdotta da Houghton (1978), è limitata inferiormente e illimitata
superiormente. E` particolarmente flessibile, a causa della presenza di ben cinque parametri. La
funzione di probabilità P(x) non si può assegnare direttamente. Si assegna invece la funzione
inversa, rappresentata dall'espressione
x = e - a[1 - P(x)]b + c[1 - P(x)]-d.
Il limite inferiore della distribuzione Wakeby è fornito dall'espressione
x 0 = e - a + c.
Utilizzando il limite inferiore, la funzione inversa si può anche riscrivere nella forma
x = x0 + a{1 - [1 - P(x)]b} - c{1 - [1 - P(x)]-d}.
In entrambi i casi il programma REGIONE utilizza per stima dei parametri il metodo dei
momenti pesati in probabilità.
Scelta delle osservazioni da utilizzare per la determinazione della legge di
crescita
Il metodo della portata indice assume che il solo parametro che varia al variare del bacino sia la
media del massimo annuale della portata al colmo. Tutti gli altri parametri (che si possono
esprimere in forma adimensionale) si assumono costanti per tutti i bacini della regione
considerata. Nella realtà le cose vanno diversamente, e vanno in effetti diversamente anche nel
caso dell'insieme di bacini preso in esame qui. Riportando in un grafico i valori del coefficiente
di variazione CV(Q) in funzione dell'altezza media hm e in funzione dell'area A del bacino si
osserva una certa tendenza di CV(Q) a crescere al crescere di hm, e una tendenza abbastanza
chiara di CV(Q) a decrescere al crescere di A. (Le due tendenze concordano tra loro, perché
generalmente i bacini meno estesi si trovano a quote maggiori.) La dipendenza di CV(Q)
dall'area è nota: per bacini molto piccoli CV(Q) mediamente cresce al crescere dell'area, dopo di
che (come appunto qui osservato) mediamente decresce.
Per rendere accettabile l'assunzione della costanza del coefficiente di variazione, che è parte
essenziale del metodo della portata indice, occorre che i bacini raggruppati insieme presentino
almeno valori del coefficiente di variazione non troppo diversi tra loro. Nella letteratura tecnica
si suggerisce di controllare che il coefficiente di variazione del campione costituito dai
coefficienti di variazione CV(Q) calcolati per tutti i bacini della regione non sia superiore a 0,4.
Nel caso dei 19 bacini qui considerati il coefficiente di variazione dei coefficienti di variazione
risulta uguale a 0,406 e quindi superiore al limite. Escludendo, tra i bacini con area minore,
quello che presenta il coefficiente di variazione maggiore (Rio Bagni a Bagni di Vinadio), il
coefficiente di variazione dei coefficienti di variazione scende a 0,354. Le osservazioni relative
ai 18 bacini restanti si utilizzano dunque per individuare la legge di crescita.
La stima dei parametri
Il programma REGIONE stima i parametri delle distribuzioni con il metodo dei momenti pesati
in probabilità.
Il metodo della portata indice in linea di principio comporta che si sostituisca il massimo annuale
della portata al colmo Q osservato in ogni stazione con una nuova variabile adimensionale
(costituita dal rapporto x tra il massimo annuale osservato e la media dei massimi osservati in
quella stazione), che si riuniscano insieme i diversi campioni della variabile adimensionale x a
formarne uno solo, e che infine si individui la distribuzione della variabile adimensionale (legge
di crescita). Il programma REGIONE svolge il calcolo in modo un poco diverso: calcola, per
ogni stazione, le stime dei diversi momenti pesati in probabilità (M 100, M 110, M 120, M 130,
etc.) della variabile originaria Q; rende quindi adimensionali i momenti pesati in probabilità
stimati dividendoli per M100 (media dei valori osservati alla singola stazione); infine assume
come stima di un certo momento pesato in probabilità della variabile adimensionale x la media
pesata delle stime dello stesso momento adimensionale ottenute per le diverse stazioni, calcolata
adoperando come pesi i diversi numeri di osservazioni.
Per ognuna delle due distribuzioni considerate il programma calcola le stime dei parametri (tre
per la distribuzione GEV e cinque per la distribuzione Wakeby) utilizzando le relazioni che
legano tra loro i parametri della distribuzione e i momenti pesati in probabilità.
La scelta della distribuzione
Il programma REGIONE applica alcuni test di adattamento, i cui risultati permettono di scegliere
la distribuzione da adottare come legge di crescita.
I test di adattamento applicati sono:
- il test di Pearson con classi uguali (effettuato adottando la regola dell'equiprobabilità e
scegliendo un numero di classi k uguale alla parte intera del numero ottenuto dividendo per
cinque la dimensione del campione);
- il test di Pearson con classi disuguali (effettuato raggruppando in una sola grande classe le
osservazioni con frequenza di non superamento non superiore a 0,50);
- il test di Kolmogorov.
Il test di Pearson con classi disuguali è adoperato per tener conto del fatto che il buon
adattamento della distribuzione al campione è importante nel campo dei valori grandi, non in
quello dei valori piccoli. La suddivisione del campo di esistenza della variabile in classi
equiprobabili implica che in tutto il campo si dia la stessa importanza al buon adattamento della
distribuzione alle osservazioni. Invece la suddivisione in classi disuguali, effettuata facendo
corrispondere una sola grande classe alla parte del campo di esistenza della variabile che
corrisponde ai valori minori, implica che in quella parte del campo importi non il buon
adattamento "puntuale" ma l'adattamento "globale". (In altri termini, la suddivisione in classi
disuguali implica che ci si lmiti a controllare che nella parte del campo di esistenza a cui la
distribuzione considerata attribuisce la probabilità 0,50 ricada effettivamente circa la metà delle
osservazioni, senza prestare attenzione a come le osservazioni si distribuiscano in quella parte.)
Tutti i test sono effettuati dal programma REGIONE adoperando lo stesso campione che è
utilizzato per la stima dei parametri. La circostanza implica dei problemi. Nel caso del test di
Pearson il criterio del test è distribuito come un χ2 con (k - 1) gradi di libertà quando le stime dei
parametri non dipendono dal campione utilizzato per effettuare il test. Quando il campione è lo
stesso (e i parametri sono stati stimati con un certo metodo) il criterio del test è distribuito con
una distribuzione compresa tra quella del χ 2 con (k - 1) gradi di libertà e quella del χ 2 con
(k - 1 - s) gradi di libertà (essendo s il numero dei parametri). Nel caso del test di Kolmogorov la
distribuzione del criterio del test è nota quando le stime dei parametri non dipendono dal
campione utilizzato. A rigore, quindi, il test di Pearson dovrebbe essere utilizzato solo per
provare l'ipotesi che la distribuzione sia del tipo considerato (il tipo non dipende dal campione,
a differenza dei parametri), e il test di Kolmogorov non dovrebbe essere adoperato. Per di più,
il campione utilizzato è ottenuto tramite una normalizzazione (la divisione per la portata indice).
E di questo non si sa come tener conto, quale che sia il test utilizzato.
Il programma comunque fornisce:
- il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi che il campione provenga
dalla distribuzione considerata, calcolato utilizzando il test di Pearson con classi uguali e
assumendo il criterio distribuito come un χ2 con (k - 1) gradi di libertà;
- l'intervallo in cui è compreso il massimo livello di significatività con cui si può accettare
l'ipotesi che il campione provenga dalla distribuzione considerata, calcolato utilizzando il test
di Pearson con classi uguali e utilizzando le distribuzioni del χ2 con (k - 1) e (k - 1 - s) gradi
di libertà;
- il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi che il campione provenga
dalla distribuzione considerata, calcolato utilizzando il test di Pearson con classi disuguali e
assumendo il criterio distribuito come un χ2 con (k - 1) gradi di libertà;
- l'intervallo in cui è compreso il massimo livello di significatività con cui si può accettare
l'ipotesi che il campione provenga dalla distribuzione considerata, calcolato utilizzando il test
di Pearson con classi disuguali e utilizzando le distribuzioni del χ2 con (k - 1) e (k - 1 - s)
gradi di libertà;
- il massimo livello di significatività con cui si può accettare l'ipotesi che il campione provenga
dalla distribuzione considerata, calcolato utilizzando il test di Kolmogorov.
I livelli di significatività sopra elencati sono viziati da tutte le difficoltà già esposte. In sostanza,
il test di Pearson (effettuato con classi uguali o disuguali, ma comunque nella versione che
fornisce un intervallo del massimo livello di significatività) costituisce ragionevolmente lo
strumento più adatto per un confronto.
I livelli di significatività forniti dal programma REGIONE sono riportati nella tabella che segue.
Test
Pearson classi uguali
f=k-1
f=k-1-s
Pearson classi disuguali
f=k-1
f=k-1-s
Kolmogorov
Massimo livello di significatività α
Distribuzione GEV
Distribuzione Wakeby
0,354
0,258-0,354
0,000
0,000-0,000
0,985
0,958-0,985
0,764
0,580
0,320-0,580
0,033
La tabella mostra chiaramente che l'adattamento della distribuzione GEV è molto migliore di
quello della distribuzione Wakeby. Mostra inoltre (essendo i livelli di significatività del test di
Pearson molto più alti nell'applicazione con classi disuguali che in quella con classi uguali) che
l'adattamento di entrambe le leggi è sicuramente molto migliore nel campo dei valori alti. La
differenza di adattamento nel campo dei valori bassi e in quello dei valori alti si può comunque
rilevare anche riportando in uno stesso grafico le curve che rappresentano le distribuzioni GEV
e Wakeby e i punti che rappresentano le osservazioni.
Si sceglie dunque come legge di crescita la legge GEV, per la quale i valori stimati dei parametri
sono
k = -0,29925
a = 0,33899
u = 0,66371.
Il valore della portata al colmo adimensionale x per il tempo di ritorno di 500 anni è 6,8036.
Quindi la portata al colmo Q con tempo di ritorno di 500 anni nella sezione considerata dello
Scrivia (con bacino di 295 km2) è
Q = 6,8036 × 426,3 = 2900 m3s-1.
Corsi d'acqua della parte del versante settentrionale delle Alpi
Marittime e degli Appennini compresa tra Stura di Demonte e
Scrivia
1) Tanaro a Ponte di Nava (148 km2)
2) Tanaro a Ormea (194 km2)
3) Tanaro a Nucetto (375 km2)
4) Corsaglia a Presa Centrale Molline (88,5 km2)
5) Tanaro a Clavesana (1496 km2)
6) Tanaro a Farigliano (1522 km2)
7) Rio Bagni a Bagni di Vinadio (63 km2)
8) Stura di Demonte a Pianche (181 km2)
9) Stura di Demonte a Gaiola (562,4 km2)
10) Gesso della Valletta a San Lorenzo (110 km2)
11) Gesso di Entracque a Entracque (157 km2)
12) Bormida di Mallare a Ferrania (49,5 km2)
13) Erro a Sassello (96 km2)
14) Bormida a Cassine (Caranzano) (1483 km2)
15) Vobbia a Vobbietta (51,8 km2)
16) Scrivia a Isola del Cantone (214 km2)
17) Borbera a Pertuso (193 km2)
18) Borbera a Baracche (202 km2)
19) Scrivia a Serravalle (605 km2)
Distribuzione generalizzata del massimo valore (GEV)
La distribuzione GEV è rappresentata dall'espressione (con tre
parametri)
1/k
P(x) = exp - 1 - k (x - u)
α
.
Per k tendente a zero la distribuzione GEV tende alla
distribuzione asintotica del massimo valore del I tipo (o
distribuzione di Gumbel, illimitata inferiormente e
superiormente).
Per k minore di zero la distribuzione GEV coincide con la
distribuzione asintotica del massimo valore del II tipo (limitata
inferiormente e illimitata superiormente).
Per k maggiore di zero la distribuzione GEV coincide con la
distribuzione asintotica del massimo valore del III tipo
(illimitata inferiormente e limitata superiormente).
La distribuzione Wakeby
La distribuzione Wakeby può essere data solo in forma inversa
ed è rappresentata dall'espressione (con cinque parametri)
x = e - a[1 - P(x)]b + c[1 - P(x)]-d.
E` limitata inferiormente ed il limite inferiore x 0 è fornito
dall'espressione
x0 = e - a + c.
Sostituendo il limite inferiore x 0 al parametro e si può
rappresentare con l'espressione
x = x0 + a{1 - [1 - P(x)]b} - c{1 - [1 - P(x)]-d}.
Momenti ordinari
Definizione
Il momento di ordine r rispetto all'origine arbitraria x0 della
distribuzione di probabilità della variabile casuale x è definito
dalla relazione
µr'(x) =
+∞
(x - x0)rp(x)dx
∫
-∞
Stima
La stima m r'(x) del momento µ r'(x) di ordine r rispetto
all'origine arbitraria x0 è fornita dall'espressione
N
mr'(x) = 1 ∑ (xi - x0)r
N i=1
Momenti pesati in probabilità
Definizione
Si definiscono usualmente solo per variabili continue e solo
rispetto all'origine.
Momento pesato in probabilità di ordine i rispetto alla variabile
casuale x, di ordine j rispetto alla probabilità di non
superamento P(x) e di ordine k rispetto alla probabilità di
superamento 1 - P(x):
Μ ijk(x) =
+∞
xiP(x)j[1 - P(x)]kp(x)dx
∫
-∞
Uso nelle applicazioni
Nelle applicazioni l'ordine è sempre uno rispetto alla variabile e
zero rispetto a una delle due probabilità (di non superamento o
di superamento):
Μ 1j0 (x) =
+∞
xP(x)jp(x)dx
∫
-∞
oppure
Μ 10k(x) =
+∞
x[1 - P(x)]kp(x)dx
∫
-∞
La stima dei momenti del primo ordine rispetto alla variabile
risulta più affidabile, perchè sempre costituita da una funzione
lineare delle osservazioni.
Stima dei momenti pesati in probabilità
Stima M1j0(x) del momento pesato in probabilità Μ1j0(x):
N
M 1j0 (x) = 1 ∑ xiF(xi)j
N i=1
Stima M10k(x) del momento pesato in probabilità Μ10k(x):
N
M 10k(x) = 1 ∑ x i[1 - F(x i)] k
N i=1
Espressione della frequenza F(xi):
F(x i) = i - 0,35
N
Test di adattamento di Pearson o test c2
Prima ipotesi: che il campione costituito da un certo insieme di
osservazioni provenga da una data distribuzione, fissata a priori
indipendentemente dal campione.
Il criterio del test è la variabile casuale
k
X2=
∑
[N i - Np i ] 2
Npi
i=1
(con k numero delle classi).
Il criterio X 2 è asintoticamente distribuito, al crescere di N,
come un χ2 con k - 1 gradi di libertà.
Il campo di accettazione dell'ipotesi è definito (indicando con
χ2c il valore del χ 2 con probabilità di superamento uguale al
livello di significatività α prescelto) dalla disuguaglianza
X 2 ≤ χ 2c
Nell'eseguire il test si segue generalmente, per la suddivisione
in classi, la regola dell'equiprobabilità
p 1 = p 2 = ... = p k
e la regola empirica di assumere il numero delle classi k uguale
al più grande numero intero che non supera N/5.
Test di adattamento di Pearson o test χ2
Seconda ipotesi: che il campione costituito da un certo insieme
di osservazioni provenga da una distribuzione di cui soltanto il
tipo è fissato a priori, mentre i valori dei parametri sono
ricavati dalle osservazioni.
Il criterio del test è ancora la variabile casuale
k
X2=
∑
[N i - Np i ] 2
Npi
i=1
(con k numero delle classi).
La distribuzione asintotica del criterio X2 al crescere di N non è
esattamente conosciuta: si può dire soltanto che è compresa tra
quella di un χ2 con k - 1 gradi di libertà e quella di un χ2 con
k - s - 1 gradi di libertà (con s numero dei parametri ricavati
dal campione).
A scopi pratici la probabilità P(X2) si può assumere uguale al
valor medio delle due probabilità.
Nell'eseguire il test si segue generalmente ancora, per la
suddivisione in classi, la regola dell'equiprobabilità
p 1 = p 2 = ... = p k
e la regola empirica di assumere il numero delle classi k uguale
al più grande numero intero che non supera N/5.
Il campo di accettazione dell'ipotesi è definito (indicando con
χ2c il valore del χ 2 con probabilità di superamento uguale al
livello di significatività a prescelto) dalla disuguaglianza
X 2 ≤ χ 2c
Test di Kolmogorov
N
dimensione del campione
F(x)
frequenza osservata del valore x
P(x)
probabilità di non superamento
del valore x
Ipotesi: che il campione costituito da un certo insieme di N
osservazioni provenga da una data distribuzione, fissata a priori
indipendentemente dal campione.
Il criterio del test è la variabile casuale
D N = max|F(xi) - P(xi)|
xi
La distribuzione asintotica di DN è nota: per N tendente a
infinito è
∞
Prob{D N
> zN -0,5} = 2
∑ (-1)r-1exp(-2r2z2)
r=1
La regione di accettazione è costituita da tutti i valori di DN
che rispettano la disuguaglianza
D N ≤ D Nc
dove è (indicando con α il livello di significatività)
DNc = zcN-0,5
∞
2 ∑ (-1)r-1exp(-2r2zc2) = α
r=1
Scrivia e affluenti : relazione tra medie osservate del
massimo annuale della portata al colmo e area del bacino
800
Borbera a Pertuso
Scrivia a Serravalle
m(Q) [m3 s -1]
600
400
Scrivia
a Isola del Cantone
Borbera a Baracche
200
Vobbia a Vobbietta
0
0
100
200
300
400
A [km2 ]
500
600
700
Scrivia e affluenti: relazione tra medie osservate del
massimo annuale della portata al colmo e area del bacino
800
m(Q) = -0,001291A 2 + 1,939A - 33,31
Scrivia a Serravalle
m(Q) [m3 s -1]
600
400
Scrivia
a Isola del Cantone
Borbera a Baracche
200
Vobbia a Vobbietta
0
0
100
200
300
400
A [km2 ]
500
600
700
Regione compresa tra Stura di Demonte e Scrivia:
relazione tra coefficiente di variazione del massimo annuale
della portata al colmo e altezza media del bacino
1.5
CV =0,000 2611hm + 0,3667
1.25
CV
1
0.75
0.5
0.25
0
500
1000
1500
hm [m]
2000
2500
Regione compresa tra Stura di Demonte e Scrivia:
relazione tra coefficiente di variazione del massimo
annuale della portata al colmo e area del bacino
1.5
CV = 1,765A -0,188
1.25
CV
1
0.75
0.5
0.25
0
500
1000
A [km2]
1500
2000
Bacini compresi tra Stura di Demonte e Scrivia: analisi regionale
dei massimi annuali della portata al colmo, effettuata con il metodo
della portata indice
1
Wakeby
GEV
0.75
P
309 dati
0.5
0.25
0
0
2.5
5
Q/µ(Q)
7.5
10
Bacini compresi tra Stura di Demonte e Scrivia: analisi regionale
dei massimi annuali della portata al colmo, effettuata con il metodo
della portata indice
1
Wakeby
GEV
0.95
309 dati
P
0.9
0.85
0.8
0.75
0
2.5
5
Q/µ(Q)
7.5
10
