matematica per lo studio delle interazioni strategiche: teoria dei giochi

MATEMATICA PER LO STUDIO
DELLE INTERAZIONI
STRATEGICHE:
TEORIA DEI GIOCHI
Anna TORRE ∗
∗ Dipartimento
di Matematica, Università di Pavia, Via Ferrata 1, 27100,
Pavia, Italy. E-mail: [email protected]
GIOCHI NON COOPERATIVI
Una importante classificazione che occorre fare nel contesto dei
giochi discende dalla risposta alla seguente domanda:
“Vi è oppure no per i giocatori la possibilità di sottoscrivere
accordi vincolanti?”
In presenza di questa possibilità si parla di giochi cooperativi,
in caso contrario si parla di giochi non cooperativi.
1
Una prima distinzione all’interno dei giochi non cooperativi è
quella tra:
giochi a informazione completa
giochi a informazione incompleta
2
Per operare una descrizione formale dei giochi non cooperativi a
informazione completa si è soliti ricorrere a due modalità rappresentative:
la forma estesa e la forma strategica.
3
Si dice che un gioco è in forma estesa quando la descrizione
è fatta con un “albero”: si tratta di costruire un grafo che,
partendo dalla radice, descriva il gioco mossa per mossa, fino
ad arrivare a presentare tutte le situazioni finali, ciascuna esito
univoco di una data serie di mosse.
La forma normale (o strategica) invece precisa il numero dei
giocatori, lo spazio delle loro strategie, e la funzione di utilità di
ciascuno di loro. Si noti che le strategie in questa descrizione
sono un dato del problema, mentre nella forma estesa abbiamo
una serie di mosse, ed un compito delicato di chi analizza il
gioco è proprio quello di dedurre da queste le strategie di ogni
giocatore.
4
La forma estesa consiste in una descrizione dettagliata di tutte
le possibili partite. È stata introdotta da von Neumann e Morgenstern (1944) e formalizzata da Kuhn (1953)
5
gioca
1
PPP
PP
PP
PP
PP
P
"-1
b
gioca
gioca
J
"
b
"
b
J
"
b
J
"
b
"
b
gioca JI
" 1
b
gioca
gioca
I
gioca
I
gioca II
gioca II
a
A
c
F
1
B
e
d
-1
G
C
b
D
f
g
-1
-1
E
1
-1
1
Avevamo detto che l’idea è semplice, ma metterla in pratica ha
richiesto un po’ di fatica.
6
Abbiamo descritto l’albero di un gioco finito
a informazione perfetta.
Un gioco descritto tramite una successione finita di mosse (finito)
si dice a informazione perfetta se lo stato del gioco è noto (pubblico) ai due giocatori dopo ogni mossa.
7
Per prima cosa, anche se è un po’ noioso, cerchiamo di scrivere
la forma strategica del gioco dei fiammiferi. Le strategie del
primo giocatore sono:
s1=a,c s2=a,d s3=b,c s4=b,d
Le strategie del secondo sono:
t1=A,D t2=A,E t3=B,D t4=B,E t5=C,D t6=C,E
e il gioco in forma strategica
8
I/II
s1
s2
s3
s4
t1
1
-1
-1
-1
t2
1
-1
1
-1
t3
1
1
-1
-1
t4
1
1
1
1
t5
-1
-1
-1
-1
t6
-1
-1
1
1
9
Per descrivere i giochi in forma estesa ci restano ancora due
problemi:
• Come descrivere il caso di mosse contemporanee?
• Come descrivere la situazione in cui ci sono “mosse del caso”?
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Vediamo un gioco a informazione imperfetta (mosse contemporanee):
gioca 1
@
@
C
F
S
@
@
@
gioca 2 gioca 2 gioca
@ 2
..........................................................
A
A
A
A
C FAAS C FS
C FAAS
A
A
A
A
0 -1 1 1 0 -1 -1 1 0
0 1 -1 -1 0 1 1 -1 0
Qui ho scritto il gioco con i valori di utilità convenzionali per
i due giocatori: 1 per la vittoria, 0 per il pareggio e -1 per la
sconfitta.
11
Morra cinese La forma strategica è:
C
F
S
C
0
1
-1
F
-1
0
1
S
1
-1
0
12
POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta”
(cioè quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che
estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due
cose:
• passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
• rilanciare
Se I ha passato, il gioco è finito. Se ha rilanciato, tocca a II, il
quale può:
13
• passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
• rilanciare e vedere, nel qual caso il giocatore I deve mostrare
la sua carta.
– se I ha la carta “alta”, cioè A, II deve dare 2 euro a I
– se I ha la carta “bassa”, cioè K, I deve dare 2 euro a II
Il gioco può essere rappresentato dal seguente albero:
0
H
HH
H
HH
H
HH
s
Hs
@
@
@
@
@
@
@
@
s
@s
@s
A
A
A
A
A
A
A
A
As
s
s
As
A1/2
I
PA
s
(−1, 1)
1/2K
RA
RK
II
S
P
S
P
I
PK
(−1, 1)
(2, −2)(1, −1)(−2, 2)(1, −1)
14
\
I \II
PAPK
PARK
RAPK
RA RK
P
(−1, 1)
(0, 0)
(0, 0)
(1, −1)
S
(−1, 1)
(−3/2, 3/2)
(1/2, −1/2)
(0, 0)
I payoff sono diventati semplicemente i valori attesi dei payoff
con la distribuzione di probabilità assegnata.
NB: la strategia RARK prevede (per via di RK ) che il giocatore
I bluffi.
15
Finora siamo partiti dalla forma estesa per descriverne poi la
forma strategica, ma è possibile anche dare un gioco direttamente in forma strategica.
16
Dilemma del prigioniero
NC
C
NC
5,5
6,0
C
0,6
1,1
dove il primo giocatore sceglie le righe della matrice e il secondo
le colonne.
17
Battaglia dei sessi
T
S
T
2,1
0,0
S
0,0
1,2
dove il primo giocatore sceglie le righe della matrice e il secondo
le colonne.
18
Il passaggio dalla forma estesa a quella strategica sul piano concettuale (non su quello pratico) è semplice. Lo è altrettanto il
passaggio inverso? In altre parole, dato un gioco in forma strategica è possibile sempre descriverlo in forma estesa? La risposta
è: “sı̀ in maniera banale se accettiamo che l’informazione non
sia perfetta”. Se invece la domanda è: Dato un gioco in forma
strategica è possibile darne una versione in forma estesa come
gioco a informazione perfetta? La risposta a questa domanda
in generale è: “no, e anche quando è possibile non è unica la
forma estesa che dà la forma strategica fissata”.
19
Gioco in forma strategica con due giocatori: Tentativo di soluzione
: massimo ombra.
(X, Y, f, g)
f (x̄, ȳ) ≥ f (x, y),
per ogni x ∈ X,
g(x̄, ȳ) ≥ g(x, y)
y∈Y
20
T
B
L
5,5
0,0
R
0,0
5,5
Nemmeno l’esistenza del massimo ombra assicura che esiste
una soluzione: gioco di coordinamento. A volte non c’è
divegenza di interessi ma solo difficoltà di coordinamento. Se i
due tizi hanno la possibilità di comunicare prima di entrare nella
stanza e schiacciare il bottone.
21
Strategia dominante
(X, Y, f, g)
f (x̄, y) ≥ f (x, y)
per ogni x ∈ X
x 6= x̄,
y∈Y
Se il giocatore I ha una strategia dominante, I giocherà x̄
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DILEMMA DEL PRIGIONIERO
I/II
T
B
L
5,5
6,0
R
0,6
1,1
Osserviamo il gioco dal punto di vista di ciascun giocatore:
I/II L R
T
5, 0
B
6 1
I/II
T
B
L
5
0
R
6
1
La soluzione è: i giocatori giocano il primo B e il secondo R e
prendono 1 ciascuno, ma il risultato è inefficiente.
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