Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
1
A.A. 2008/2009
1
Chopper .............................................................................................................................. 2
1.1
Influenza della frequenza di funzionamento (saltare) ................................................ 4
2
Convertitori c.c. /c.c. a Tiristori (Saltare).......................................................................... 7
3
Convertitore Buck ............................................................................................................ 10
3.1
Modalità Continua .................................................................................................... 11
3.1.1
Convertitore Step-down con carico R-L serie (saltare)....................................12
3.2
Modalità di conduzione discontinua.........................................................................12
4
Convertitore Boost............................................................................................................ 14
4.1
Modalità Continua .................................................................................................... 15
4.2
Modalità di conduzione discontinua.........................................................................16
5
Convertitore Buck-Bust.................................................................................................... 17
6
Convertitore CUK (saltare) .............................................................................................. 20
7
Controllo dei converitori dc/dc.........................................................................................21
8
Convertitore a ponte ......................................................................................................... 21
9
Confronto fra i convertitori cc/cc non isolati .................................................................. 26
10
Appendice I .................................................................................................................. 27
11
Appendice II ................................................................................................................. 28
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
A.A. 2008/2009
2
XI CONVERTITORI C.C./C.C.
I convertitori c.c./c.c, sono dispositivi che permettono di alimentare un carico,
mediante una tensione regolabile con continuità da un valore minimo a un valore
massimo, a partire da una sorgente in c.c.. Idealmente essi possono essere assimilati ad
un interruttore interposto tra la sorgente in c.c. ed il carico: variando il rapporto (duty
cycle) tra il periodo di tempo ton in cui l'interruttore è chiuso e il periodo complessivo
T di un ciclo in cui l'interruttore viene chiuso ed aperto, è possibile variare con
continuità il valore medio della tensione "continua" applicata al carico.
Fig. 11.1 - Principio di funzionamento di un chopper; a)schema circuitale,
b)tensione e corrente
I convertitori dc/dc utilizzano come interruttori dei componenti elettronici di potenza,
lavorano con frequenze di interruzione elevate e generano in uscita una tensione
unidirezionale , somma della tensione continua voluta e di una tensione alternata ad
elevata frequenza. Quest’ultima componente può essere abbattuta con un opportuno
filtro non dissipativo passa-basso, che può fare parte integrante del convertitore o del
carico. Questi convertitori possono essere classificati come Buck Converter
(abbassatore), Boost Converter (innalzatore) e Buck-Boost Converter (abbassatore
innalzatore); tutti gli altri schemi possono essere derivati da questi. Prima di analizzare
ciascuno dei predetti convertitori e di quelli che vengono da questi derivati, anche per
ragioni storiche, verrà trattato il cosiddetto chopper.
1 Chopper
Il chopper utilizzato già dagli anni 70 in molte applicazioni di potenza ( per es. nelle
motrici ferroviarie) altro non è che un convertitore Step Down o Buck. In fig.11.1-a è
mostrato lo schema di principio dell'apparecchiatura base in esame che alimenta un
carico costituito da un motore in c.c. L'interruttore H dello schema di figura è realizzato
nella realtà attraverso un componente elettronico di potenza ( Tiristore, GTO, IGBT, o
Mosfet). Il diodo D è detto di "libera circolazione" e consente la conduzione della
corrente nel carico, dovuta all'energia magnetica immagazzinata nel motore, allorche'
l'interruttore H viene aperto.
L'induttanza L posta in serie al carico, è un'induttanza
di spianamento che limita l'ondulazione presente nella corrente di carico ed
immagazzina l'energia necessaria alla circolazione di tale corrente durante il periodo di
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apertura dell'interruttore H. Il suo dimensionamento è quindi legato sia alla
ondulazione ammessa dal carico da alimentare sia alla frequenza di apertura e chiusura
dell'interruttore H (frequenza di funzionamento del chopper f=1/T).
Con riferimento alla fig. 11.1-b si vede che, indicata con E la tensione fornita dalla
sorgente in c.c., ton il tempo di conduzione, toff il tempo di non conduzione e T somma
di ton e toff dello switch H, la tensione media Vm applicata al carico è pari a:
⎛t
Vm = E ⎜ on
⎝T
⎞
⎟ = Eδ
⎠
(11.24)
Fig. 11.2 - Modalità di funzionamento di un chopper; a)frequenza fissa,
b)frequenza variabile, c)tempo di conduzione e frequenza variabili
E’ quindi possibile variare con continuità il valore di questa tensione variando il
rapporto δ= ton/T (duty cicle), tale variazione può essere realizzata in 3 modi (fig.
11.2):
1 - Mantenendo fisso il valore di T e variando il tempo di conduzione ton tra 0 e T
(funzionamento a frequenza fissa)
2 -Mantenendo fisso il valore di ton e variando il valore del periodo T (funzionamento
a frequenza variabile)
3 -Variando contemporaneamente sia il valore di ton che quello di T,
Consideriamo ora le due fasi di funzionamento:
A) Interruttore H chiuso (0 < t < ton)
Indicata con R la resistenza offerta dal carico, la corrente Ih che attraversa H, pari a
quella IR che assorbe il carico, cresce esponenzialmente da un valore minimo Imin,per
t=0, ad un valore massimo Imax per t=: ton
tR / L
(11.25)
I = I = E R + (I − E R ) e
h
R
min
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per cui:
I
max
= E R + (I min − E R )
ϑR / L
e
(11.26)
L'espressione (11.25) può essere facilmente ricavata, se si considera un generico
periodo di chiusura dell'interruttore H, con condizione iniziale tale che Ih= IR =Imin.
B) Interruttore H aperto (ton < t < T).
Se all'istante t= ton si apre l'interruttore, l'energia immagazzinata dall'induttanza L
consente la circolazione nel carico e nel diodo D di una corrente che decresce
esponenzialmente dal valore massimo Imax al valore minimo Imin per t=T:
I
D
=
I
R
=
I
max
e
− ( R ( t −ϑ )/ L )
(11.27)
per cui:
I min = I max e − ( R ( t −ϑ )/ L )
(11.28)
Il rapporto:
I max − I min
= 1- e − ( R ( t −ϑ )/ L )
I max
(11.29)
mostra che l'ondulazione di corrente nel carico è tanto minore, quanto piu' grande è la
costante di tempo L/R rispetto al tempo di apertura (T- ton ) di H. Quindi il carico sarà
attraversato da una corrente IR debolmente ondulata il cui valore medio sarà:
Im =
Vm
R
(11.30)
Generalmente i choppers vengono utilizzati in funzionamento a frequenza fissa e a
tempo di conduzione
variabile. La scelta della frequenza di funzionamento è un
problema che viene affrontato effettuando un compromesso tra le esigenze di
dimensionamento del chopper e quelle di filtri a monte e a valle di esso.
1.1 Influenza della frequenza di funzionamento (saltare)
a) Influenza della frequenza di funzionamento sui componenti del chopper
I dispositivi elettronici di
potenza utilizzati per realizzare la funzione
dell'interruttore H hanno perdite legate sia al periodo di conduzione (H chiuso) sia alla
fase di commutazione (apertura o chiusura di H). Tali perdite aumentano con la
frequenza di funzionamento del chopper con un conseguente declassamento delle sue
prestazioni. In più nei choppers a tiristori è necessario un tempo minimo di conduzione,
θmin, per la preparazione del circuito ausiliario di spegnimento (ciò apparirà piu' chiaro
in seguito). Ne segue che il campo di regolazione della tensione media sul carico è:
Vmin ≤ Vm ≤ E
(11.31-a)
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in cui Vmin è il valore di tensione minimo pari a:
Vmin =
θ min
T
E
(11.31-b)
è evidente quindi come per ottenere valori piccoli di Vm , fissato θmin sia necessario
scegliere un valore abbastanza elevato di T e quindi limitare il valore della frequenza di
funzionamento prescelta. D'altra parte si può notare che al diminuire di T e quindi
all'aumentare di f aumentano le perdite. Queste due condizioni spiegano il motivo per il
quale, tenendo conto del comportamento dei diversi componenti elettronici, si tende a
lavorare nell'ordine, compatibilmente con i livelli di potenze in gioco, con Mosfet,
IGBT e GTO.
b) Influenza della frequenza di funzionamento sul carico.
Se il carico, alimentato attraverso chopper, è costituito da un motore a c.c.,
l'ondulazione presente nella corrente di uscita del chopper ha effetti negativi sia sulle
perdite addizionali del motore che sulla qualità della commutazione.
Come detto precedentemente, l'ondulazione di corrente è influenzata dalla costante di
tempo del motore e dalla frequenza di funzionamento del chopper. Un valore troppo
basso di frequenza porta a dover prevedere una induttanza di spianamento L molto
ingombrante, pesante e di elevato costo.
L'ondulazione di corrente può essere espressa nella forma:
E − Vm
δ
(11.32)
Δ Im =
t on = E (1 − δ )
L
f L
e raggiunge il valore massimo:
E
Δ I mk =
4f L
(11.33)
per δ= 0.5
c) Influenza della frequenza di funzionamento sulla sorgente di alimentazione.
Come mostrato in fig. 11.1 la corrente prelevata dalla sorgente di alimentazione è di
tipo impulsivo. Nel caso in cui la sorgente presenti una impedenza non trascurabile (e' il
caso di un sistema di trazione elettrica, in cui la sorgente di alimentazione in c.c. è
costituita da una sottostazione di conversione che alimenta il carico attraverso una linea
di trazione con induttanza trascurabile), è necessario introdurre un filtro per "spianare"
la corrente di linea; ciò al fine sia di limitare le sovratensioni all'ingresso del chopper,
sia di evitare perturbazioni agli altri utilizzatori. Utilizzatori che nel caso di un sistema
di trazione elettrica sono per esempio i circuiti di segnalazione e telecontrollo.
Il filtro è costituito da una induttanza L e da un condensatore C , per evitare
eventuali fenomeni di risonanza, il periodo corrispondente alla frequenza di
funzionamento del chopper non dovrà essere multiplo intero del periodo proprio del
filtro e dovrà essere verificata la condizione:
2π C0 L0 ≥ T
(11.34)
Con calcoli che qui tralasciamo è possibile mostrare che l'ondulazione, sulla corrente di
linea, diminuisce quanto piu' elevati sono sia valori di L0 e C0, sia il valore della
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frequenza di funzionamento del chopper. In particolare il valore di tale ondulazione di
corrente diminuisce con il quadrato di f. Ciò porta ad avere interesse a frequenze di
funzionamento del chopper sufficientemente grandi, al fine di minimizzare il
dimensionamento del filtro.
Valori di un certo interesse sono quelli che vanno dai 500 ai 2000 Hz, ma mentre con i
GTO si possono facilmente ottenere valori compresi tra i 1000 e i 2000 Hz, con i
tiristori è difficile oltrepassare i 500 Hz: attualmente per chopper di potenza elevata i
tiristori disponibili consentono frequenze di funzionamento dell'ordine dei 300÷400 Hz.
Quindi nel caso di choppers di potenza elevata (P > 1000 kW) in cui era necessario
utilizzare tiristori, si cercava di contenere il dimensionamento dei filtri aumentando
artificialmente la frequenza di funzionamento ricorrendo all'accoppiamento di n
choppers elementari, funzionanti ciascuno alla frequenza f, che alimentano in parallelo
il carico. In fig. 11.3 è mostrato un esempio per n=3, il funzionamento di ciascuno
degli n choppers è sfasato rispetto agli altri di T/n, e che dal punto di vista del
dimensionamento ognuno di essi erogherà un valore medio di corrente pari a Im /n, se Im
è il valore medio di corrente assorbito dal carico.
La frequenza di pulsazione della corrente di linea sarà nf, e l'ampiezza di ciascuna
pulsazione sarà n volte piu' piccola di quella che si otterrebbe con un unico chopper, che
eroga al carico lo stesso valore medio di corrente.
Si dimostra che l'ondulazione della corrente di linea è inversamente proporzionale al
cubo del numero di chopper elementari accoppiati in parallelo. Ne segue che, a parità di
ondulazione della corrente ammessa, la disposizione adottata consente di ridurre
considerevolmente il dimensionamento del filtro di linea, inoltre la condizione di non
risonanza del filtro diventa in questo caso:
2π C0 L0
≥ T/n
(11.35)
e cioé meno onerosa da realizzare.
Nei capitoli successivi verrà prima mostrato il funzionamento di un chopper a tiristore,
sopratutto per mostrare i limiti e le difficoltà di utilizzare tale componente e quindi i
motivi che hanno portato allo sviluppo e all’impiego degli altri componenti;
successivamente verranno trattati i principali schemi di convertitori c.c./c.c. oggi
adottati.
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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7
Fig. 11.3 - Filtro di alimentazione; a)schema elettrico, b) - Accoppiamento in parallelo
di tre chopper elementari;
2 Convertitori c.c. /c.c. a Tiristori (Saltare)
Un tiristore, alimentato attraverso una sorgente in c.c., necessita di un circuito
ausiliario per interrompere la sua conduzione. è proprio per il tipo di circuito di
spegnimento utilizzato che si differenziano tra di loro gli schemi di choppers impiegati.
Se è vero che i choppers a frequenza variabile utilizzano un circuito di spegnimento
relativamente piu' semplice e quindi piu' economico dei choppers a frequenza fissa,
tuttavia il loro impiego è limitato a potenze di valore modesto. D'altra parte i choppers
a frequenza fissa sono generalmente preferiti oltre che per le potenze piu' elevate
ottenibili, anche per la semplicità delle operazioni di regolazione e controllo, nonche'
per la possibilità di dominare gli effetti che essi hanno sulla sorgente di alimentazione
quando questa presenti una impedenza propria non trascurabile. Ci occuperemo, di
seguito, dei choppers a tiristori a frequenza fissa descrivendo le modalità di
funzionamento del tipo di chopper mostrato in fig. 11.4.
Questo tipo di chopper è costituito essenzialmente da un tiristore principale Th1 e da
un diodo di "libera circolazione" D. Gli altri elementi del circuito permettono lo
spegnimento di Th1 attraverso la scarica del condensatore Cd e quindi la regolazione del
tempo di conduzione del chopper. La scarica del condensatore Cd è provocata portando
in conduzione il tiristore ausiliario Th2. Il tiristore Th1' consente l'inversione della
carica immagazzinata in Cd attraverso l'induttanza Ld. Le induttanze μ , utilizzate per
limitare
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L
o
+
Th1
L1
E
T'
h1
Th2
L
2
Co
Vc
Vm
t
C
Ld d
i
c
Vm
-
t
D
Id
L
t
I
r
Imax
Im
Imin
t
Fig. 11.4 - Chopper a tiristori a frequenza fissa; a)schema elettrico; b)tensioni e
correnti
il di/dt all'istante in cui vengono posti in conduzione i tiristori Th1' e Th2, saranno
considerate nulle per semplificare la descrizione delle fasi di funzionamento del
circuito.
A) Conduzione del tiristore principale Th1
All'istante t = 0 vengono portati in conduzione il tiristore principale Th1 ed il tiristore
d'inversione Th1'. A partire da questo istante quindi la tensione applicata al carico è
quella fornita dalla sorgente (+E), e la corrente I assorbita attraverso Th1 inizia a
crescere a partire da un valore minimo Imin. Contemporaneamente, l'innesco di Th1'
permette al condensatore Cd (inizialmente carico con le polarità indicate in fig. 11.23-a
ad una tensione circa pari a +E) di oscillare con l'induttanza Ld: dopo un tempo pari al
semiperiodo del circuito oscillante, la corrente Ic si annulla e produce lo spegnimento
del tiristore Th1' con il conseguente arresto del fenomeno oscillatorio. Il condensatore Cd
resta quindi carico ad una tensione pari circa a -E. Il tiristore ausiliario Th2 che prima
dell'istante t=0 si trovava in conduzione, all'accensione del tiristore principale Th1 viene
interdetto. Nella descrizione dei fenomeni si è
ipotizzata per semplicità la
contemporanea accensione dei tiristori Th1 e Th'1. In realtà è necessario ritardare
l'accensione di Th1' rispetto a Th1 in modo da applicare su Th2 una tensione inversa per il
tempo sufficiente, affinche' questi recuperi le sue proprietà di blocco. Successivamente
l'inversione di polarità del condensatore Cd lo pone in uno stato di "disponibilità" alla
conduzione, cioe' Th2 si trova sottoposto ad una polarizzazione diretta che consentirà il
passaggio allo stato di conduzione non appena verrà inviato un opportuno segnale
all'elettrodo di comando del tiristore.
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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B) Conduzione del tiristore ausiliario Th2
All'istante t= T1 viene portato in conduzione il tiristore ausliario Th2 attraverso un
segnale inviato al suo elettrodo di comando. Ne segue che istantaneamente una
tensione inversa pari a circa -E è applicata ai capi del tiristore principale Th1
provocandone l'interdizione. La corrente viene fornita al carico dalla scarica del
condensatore Cd attraverso il tiristore Th2. Mentre il condensatore Cd si scarica sul
circuito di carico, la sorgente provvede a ricaricarlo con polarità inversa (uguale a
quella di fig. 11.23-a) sino al valore +E. Il fenomeno di inversione di carica del
condensatore Cd dura un tempo pari a T= 2E Cd/I, tale intervallo di tempo dovrà essere
molto grande rispetto al tempo necessario al tiristore Th1 per recuperare le proprietà di
blocco. La tensione applicata al carico decresce durante la scarica del condensatore dal
valore +2E fino ad annullarsi nell'istante in cui la sorgente ha ricaricato con polarità
inversa +E il condensatore Cd. A causa della ricarica con polarità inversa del
condensatore Cd anche la tensione ai capi dei tiristori Th1 e Th1' si inverte divenendo una
tensione di polarizzazione diretta che pone i tiristorei in uno stato di "disponibilità" alla
conduzione.
C) Conduzione del diodo di libera circolazione D
Allorche' all'istante t= T1+ T2= θ la tensione di carica del condensatore Cd è uguale a
quella della sorgente, il diodo D, fino ad allora sottoposto ad una tensione inversa, inizia
a condurre, poiche' come detto al punto B) in questo istante si annulla la tensione
applicata al carico. La corrente di carico si richiude perciò attraverso il diodo di libera
circolazione D ed è sostenuta dalla energia immagazzinata nella induttanza di
spianamento L.
Tale corrente decresce da un valore massimo IM ad un valore minimo Imin dall'istante
t= θ all'istante t= T pari al periodo corrispondente alla frequenza di funzionamento del
chopper.
All'istante t= T le fasi di funzionamento del circuito riprendono secondo la sequenza
descritta nei precedenti punti A) e B).
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
3
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10
Convertitore Buck
Questo convertitore del tipo c.c./c.c., detto anche abbassatore (step-down), produce
una tensione di uscita Vo inferiore alla tensione di ingresso Vd. Se si suppone che il
carico sia resistivo puro, che lo switch1 (fig.11. 5) abbia un tempo di chiusura pari a ton
e di apertura pari a toff con T= ton +toff, la tensione di uscita può scriversi:
Vo=Vd δ, con δ = ton/T.
Fig. 11. 5 - Schema del Buck (step-down) Converter
In figura 11. 5 è mostrato lo schema realizzativo di questo convertitore, in esso
compare oltre allo switch2 anche un filtro LC, passa basso, per diminuire la fluttuazione
sulla tensione di uscita la cui frequenza di taglio deve essere inferiore alla frequenza di
switching. Nella figura si può anche osservare la presenza di un diodo che consente nel
periodo toff il passaggio della corrente induttiva del filtro o del carico se questo non è
resistivo puro. Infine la capacità deve essere scelta abbastanza grande in modo che la
tensione sul carico resti per quanto possibile costante, cosicché la corrente che scorre
nell'induttanza del filtro resti quasi uguale alla corrente sul carico, essendo molto
piccola la corrente assorbita dalla capacità.
Tale tipo di convertitore può funzionare sia in modalità continua che discontinua, a
seconda che la corrente che scorre nel carico sia continua o discontinua.
1
La presenza dello switch rende i circuiti tempo varianti, quindi vngono rappresentati in modo diverso a
seconda che questo è nella modalità ton o toff.
2
Il cui comando è a logica PWM (power wave modulation).
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11
3.1 Modalità Continua
In questo modo di funzionamento la corrente Io che scorre nel carico è sempre
unidirezionale e diversa da zero; allorché lo switch è nell'intervallo di tempo ton il
diodo è polarizzato inversamente e la corrente nell'induttanza cresce in modo da
aumentare l'energia magnetica nell'induttore, ai cui capi verrà a cadere una d.d.p. Vd-Vo.
Quando lo switch è , invece , nell'intervallo di tempo toff la corrente che scorre
nell'induttanza decresce ed ai capi di questa vi sarà una d.d.p. Vl= -Vo .
Fig. 11.6 - Buck converter in modalità di conduzione continua, a) circuito nel periodo
ton, b) circuito nel periodo toff
In condizioni di regime l'energia immagazzinata nell'induttanza nel periodo ton deve
essere uguale a quella ceduta durante il toff, o considerando costante la corrente il flusso
all’inizio ed alla fine del periodo T resta invariato, quindi l'integrale della tensione in un
periodo deve essere nullo. Pertanto il flusso nell’induttanza vale:
(Vd -Vo ) ton = Vo toff =Vo (T- ton )
V0 t on
=
=δ
Vd
T
inoltre, trascurando le perdite di potenza nei diversi elementi circuitali, si ha:
I0
1
T
=
=
I d t on δ
In questa modalità di funzionamento, il circuito si comporta come un trasformatore, in
cui il rapporto spire è sostituito dal rapporto δ che varierà tra 0 ed 1.
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12
3.1.1 Convertitore Step-down con carico R-L serie (saltare)
Si consideri il circuito di fig. con un carico R-L serie, l’equazione differenziale che lo
regola può essere vista nei due modi di funzionamento , il modo 1 in cui lo switch è on
e quello in cui lo switch è off.
Modo 1 per 0<t<ton
di (t )
V (t ) = Ri1 (t ) + L 1
dt
La cui soluzione come può ricavarsi dagli sviluppi riportati in appendice vale:
V (t )
i1 (t ) = I 1e −t τ +
1 − e −t τ
R
con I1 pari al valore di i1(t) nell’istante t=0+, alla fine del modo cioè per t=ton la corrente
i1(t)=I2.
(
)
Modo 2 per ton<t<ton+toff.
L’equazione differenziale che governa il sistema vale:
di (t )
0 = Ri2 (t ) + L 2
dt
ricordando che la corrente nell’istante iniziale del modo vale I2, la corrente può
scriversi:
i2 (t ) = I 2 e −t τ ed alla fine del modo, cioè per t= ton+toff. la corrente i2(t) è pari ad I1.
3.2 Modalità di conduzione discontinua
Si può osservare che al variare dei valori dei parametri del circuito si giunge a una
modalità di conduzione della corrente nel carico discontinua; nella zona di confine tra
questa modalità e quella di conduzione continua prima analizzata, la corrente Il
nell'induttanza, al termine del periodo T, giunge ad annullarsi, per poi crescere per il
periodo ton, e decrescere fino ad annullarsi nuovamente al termine del periodo toff.
Il valore limite medio della corrente che scorre nell'induttanza, vale:
I l , picco t on
(Vd − V0 ) = δ T (Vd − V0 ) = T Vd (1 − δ )δ
I lb =
=
2
2L
2L
2L
se il valore medio della corrente il (t) scende al di sotto di Ilb il funzionamento diventa
discontinuo.
δ
Fig.11.7 – Corrente limite al variare di δ
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13
Analizziamo di seguito il caso di funzionamento discontinuo con Vd costante e Vo
variabile al variare di δ . Si può osservare che che il valore massimo di corrente limite
Ilb si ha per un valore di δ pari a 0.5, e quindi
T Vd
I lbmsx =
8L
e quindi Ilb = 4 Ilb,max δ(1-δ).
Se si mantengono costanti tutti i parametri del circuito, aumentando solo il valore della
resistenza di carico, il valore medio di corrente nell'induttanza diminuisce mentre
aumenta il valore Vo, vi sarà pertanto un periodo di tempo δ2T in cui la corrente non
scorre piu' nel carico, e quindi solo in una parte del tempo toff, pari a δ1 , la corrente di
carico sarà diversa da zero. Si può pertanto scrivere:
t off
t
δ = on ;
δ1 + δ 2 =
T
T
(Vd − V0 )δ T = −V0 δ 1 T
(Vd )δ
T = V0 (δ + δ 1 )1 T
V0
δ
=
Vd δ + δ 1
il valore di picco della corrente che scorre nell'induttanza sarà:
V
I L picco = 0 δ 1 T
L
e quindi il valore medio di corrente Io può ricavarsi a partire dal valore massimo,
tenendo conto che il tempo in cui passa la corrente nell’induttanza è pari a (δ +δ1 )T
δ + δ1
I0 =
I lpicco
2
δ
δ
δ
δ
Fig.11.7 - Convertitore Buck, caratteristiche di funzionamento di conduzione continuo e
discontinuo nel piano V0/VD, I0/ILB,max
sostituendo ad Il,picco il valore massimo della corrente limite, si ottiene il valore del
rapporto V0/Vd.
V0
I0
δ2
δ1 =
δ ;
=
I0
4 I lb max
Vd
δ2
4 I lb. max
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14
Nella figura 11. 7 è riportata la zona di funzionamento continuo e discontinuo al variare
di Vd. Infine per il circuito di fig. 11. 5, sono mostrati in fig.11. 7 i valori della tensione
ai capi dello switch, dell'induttanza e del carico, e le relative correnti per il caso
continuo e per quello discontinuo. Il ripple di tensione in uscita può essere calcolato,
considerando un valore di capacità finito, a partire dal valore picco-picco della Vo .
ΔQ 1 1 ΔI L T
ΔV 0 =
=
C
C 2 2 L
con Δ I L 2 picco del ripple di corrente che scorre nell’induttanza per un tempo Ts/2.
V
ΔI L = 0 (1 − δ )T
L
⎛f ⎞
ΔV0 1 T 2 (1 − δ ) π 2
(1 − δ )⎜⎜ c ⎟⎟
=
=
8
2
V0
LC
⎝ fs ⎠
2
in cui fc è la frequenza di oscillazione del filtro LC ed fs la frequenza di switching.
4
Convertitore Boost
Questo convertitore del tipo c.c./c.c., detto anche innalzatore (step-up), produce una tensione
di uscita V0 superiore alla tensione di ingresso Vd, è per es. utilizzato nella frenatura a
recupero dei motori in cc. Si suppone che il carico sia resistivo puro, che lo switch abbia un
tempo di chiusura pari a ton e di apertura pari a toff con T= ton +toff. In figura 11. 8 è mostrato
lo schema realizzativo di questo convertitore, in esso compaiono oltre allo switch con blocco
di comando a logica PWM anche un diodo di ricircolo con filtro LC, passa basso, ed una
capacità, i cui significati ed impieghi sono già stati trattati nel convertitore buck.
Tale tipo di convertitore può funzionare sia in modalità continua che discontinua, a seconda
che la corrente che scorre nel carico sia continua o discontinua.
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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15
Fig.11. 8 - Convertitore Boost, circuito realizzativo(a) tempo variante, schema elettrio
nell’intervallo ton (b), schema elettrico nell’itervallo toff (c), e caratteristiche della
tensione e corrente nell’induttanza.
4.1 Modalità Continua
In questo modo di funzionamento la corrente Io che scorre nel carico è sempre
unidirezionale e diversa da zero; allorché lo switch è nell'intervallo di tempo ton il diodo è
polarizzato inversamente e la corrente nell'induttanza cresce in modo da aumentare l'energia
magnetica nell'induttore, ai cui capi verrà a cadere l'intera tensione applicata Vd. Quando lo
switch è, invece, nell'intervallo di tempo toff la corrente che scorre nell'induttanza decresce ed
ai capi di questa vi sarà una d.d.p. Vl= Vd- Vo . In fig. 11.8 sono riportati i circuiti elettrici
lineari relativi all’intervallo ton (b)e T-ton (c).
In condizioni di regime l'energia immagazzinata nell'induttanza nel periodo ton deve essere
uguale a quella ceduta durante il toff, pertanto:
− (Vd − V0 )I l t off = Vd I l t on
V0
T
1
=
=
Vd t off 1 − δ
inoltre, trascurando le perdite di potenza nei diversi elementi circuitali, si ha:
I 0 Vd
=
= 1−δ
I d V0
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16
4.2 Modalità di conduzione discontinua
Si può osservare che al variare dei valori dei parametri del circuito si giunge a una modalità di
conduzione della corrente nel carico discontinua; nella zona di confine tra questa modalità e
quella di conduzione continua prima analizzata, la corrente nell'induttanza Il al termine del
periodo T giunge ad annullarsi, per poi crescere per il periodo ton, e decrescere fino ad
annullarsi nuovamente al termine del periodo toff.
δ
Fig.11. 9 - Convertitore Boost, caratteristiche di funzionamento di conduzione continuo
limite e discontinuo.
In fig. 11.9 è tracciato l’andamento del rapporto Io/Iomax al variare di δ, per diversi
valori del rapporto Vd/Vo tenendo costante Vo, evidenziando la zona di discontinuit.
Il valore limite della corrente che scorre nell'induttanza, vale:
I l , picco t on
TV
=
I lb =
Vd = 0 (1 − δ )δ
2
2L
2L
molto importante in questo tipo di convertitore è il valore medio della corrente di uscita sul
carico, poiché il valore della corrente nell’induttanza e quello che viene dalla sorgente è lo
stesso (Il=Id), si può scrivere
I
TV
2
I lb = 0b
; I 0b = 0 δ (1 − δ )
1− δ
2L
se il valore medio della corrente il(t) scende al di sotto di Ilb il funzionamento diventa
discontinuo.
Posto Vo costante e quindi la tensione di ingresso variabile, si osserva che il valore massimo
di corrente limite si ha per un valore di δ pari a 0.5, e quindi
TVd
I lb ,max =
8L
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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17
e quindi Ilb = 4 Ilb,max δ(1-δ), mentre il valore massimo di corrente di uscita si raggiunge per
δ= 0.33, con
27
I 0b =
δ (1 − δ )2 I 0b ,max
4
Se si mantengono costanti tutti i parametri del circuito diminuendo solo il valore della
resistenza di carico, e quindi della potenza di carico, pur mantenendo costanti Vd e δ, la
corrente nell'induttanza diventa discontinua, e aumenta il valore V0. Effettuando
l’uguaglianza del flusso assorbito e ceduto dall’induttanza si ha:
(Vd- Vo) δ1T = (- Vd)δ T
V0 δ 1 + δ
I
=
= d
Vd
δ
I0
il valore medio della corrente fornta dalla sorgente in ingresso, uguale al valore di corrente
nell'induttanza, può scriversi:
Vd
Id =
(δ 1 + δ )δ T
2L
Poiche' V0 dovrà rimanere costante, in caso di funzionamento discontinuo δ dovrà variare in
funzione del carico. Se tale regolazione non viene effettuata V0 non resta costante, ed una
energia pari a
(V δ T ) 2
L 2
I l , picco = d
2
2L
viene fornita dalla sorgente al condensatore ed al carico, con possibilità di danneggiare il
condensatore stesso.
Nel caso di funzionamento discontinuo il ripple di tensione in uscita ΔVo è pari all’integrale
del ripple di corrente che scorre nel diodo. Infatti assumendo costante la corrente Io, il ripple
della corrente nel diodo viene assorbito dal condensatore, e va a formare il ripple di tensione.
Tale variazione se il carico è resistivo può scriversi:
ΔV0 =
ΔQ Iδ T V0 δ T
=
=
C
R C
C
5 Convertitore Buck-Bust
Il convertitore, cosidetto buck-bust, è ottenuto dalla connessione in cascata dei due
convertitori: quello step down e quello step up. Trova applicazione nei regolatori di tensione
continua in cui il morsetto negativo della tensione in uscita ha un valore in modulo maggiore
o minore del valore di tensione in ingresso, la polarità in questo caso è invertita rispetto al
terminale comune della tensione in ingresso. In regime permanente, il rapporto tra la tensione
di ingresso e di uscita è, anche in questo caso, funzione del l duty cycle δ .
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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18
Fig.11.10- Convertitore Buck-Bust, schema elettrico e funzionamento in conduzione continua
In fig. 11.10 (a) è riportato lo schema del convertitore , si può osservare che quando lo switch
è chiuso fig.11.10 (b) l'energia dalla sorgente va a caricare l'induttanza, quando invece lo
switch è aperto, fig 11.10 (c), l'energia immagazzinata nell'induttanza è trasferita al carico,
si tenga presente che il valore di capacità C deve essere elevata affinche' la tensione ai capi
del carico resti costante. In fig. 11.10 ( c) è riportato infine l'andamento della tensione e della
corrente sull'induttanza, e dall’esame del verso di Io si può osservare l’inversione di polarità
nella tensione di uscita. Pertanto lungo un intero periodo Ts la variazione di flusso e quindi
l'integrale della tensione vale:
Vd δ T + (-Vo) (1-δ) T = 0
da cui
V0
I
1− δ
δ
=
; 0 =
Vd 1 − δ
Id
δ
Dalle equazioni precedenti si può osservare come al variare del duty cycle il valore di
tensione in uscita può essere maggiore o minore di quella in ingresso. Il punto di psssaggio tra
la conduzione continua e quella discontinua si ricava tenendo conto che per tale
funzionamento la corrente al termine di T deve annullarsi.
Pertanto il valore medio della tensione sull'induttanza e quello in uscita saranno :
I lb = I l , picco =
T Vd
2L
δ =
T V0
2L
(1 - δ )
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19
I 0b = I lb − I d = I lb − δ I lb = I lb (1 − δ )
I 0b =
T V0
(1 - δ ) 2
2L
In fig.11.11(a) è riportato l'andamento della corrente e della tensione ai capi dell'induttanza
nel caso di funzionamento discontinuo, scrivendo l'integrale di tale tensione per il periodo
δT, eguagliato all’integrale dell’energia magnetica nell’induttanza nel periodo (δ1)T a zero, si
ottiene il valore di Il al variare di δ, ed in fig. 11.31 (b) è riportata la caratteristica Vd/V0
mantenendo V0 costante, ponendo sull’asse delle ascisse il rapporto I 0 tra la corrente sul
I 0b ,max
carico e la corrente sul carico massima al limite della zona di conduzione.
Vd δ T + (-Vo) δ1 T = 0
V0 δ
=
Vd δ 1
Il =
;
con T = δ T + δ1 T + δ2 T
I 0 δ1
=
Id
δ
Vd
δ T (δ + δ1 )
2L
δ
Fig.11.11. - Convertitore Buck Bust, a) forme d'onda in funzionamento discontinuo, b)
caratteristiche del rapporto Vd/V0 al variare di δ (duty cycle).
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
6
20
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Convertitore CUK (saltare)
Questo convertitore prende il nome dal suo inventore, è simile come funzionamento al
convertitore Buck Bust ed è ottenuto da questo utilizzando il principio di dualità. In fig.
11.32 è riportato lo schema circuitale.
Fig.11.12 - Convertitore Cuk, schema circuitale.
allorche' lo switch è chiuso l'energia dalla sorgente và a caricare l'induttanza L1, mentre il
carico, la capacità C di livellamento e l'induttanza L2 sono alimentati dalla capacità C1,
quando invece lo switch è in condizione di off, l'energia immagazzinata nell'induttanza viene
trasferita alla capacità C1 e il carico è alimentato dalla induttanza L2. Pertanto l'integrale delle
tensioni sia ai capi di L1che di L2, fatto in un periodo, può scriversi:
1
L1 ⇒ Vd δ T + (Vd − Vc1 )(1 − δ )T = 0 ⇒
Vc1 = Vd
1−δ
1
L2 ⇒ (Vc1 − V0 )δ T + (− V0 )(1 − δ )T = 0 ⇒
Vc1 = V0
δ
da cui si ottiene:
V0
δ
=
Vd 1 − δ
;
I0 1− δ
=
Id
δ
V
i
L1
L1
Vd
i
L2
on
-
+
V
L1
V c1
t
V L2
off
Vd
R
V
V
C
d
-V
=V
c1 o
o
-
V L2
+
V c1 -V o
on
i
o
t
off
-Vo
i
L1
i
L2
-
+
V
L1
V c1
iL1
V L2
I l1
R
V
d
V
C
o
t
-
+
iL2
i
o
I
l2
t
Fig. 11.13- Forme d'onda di corrente e tensione nel convertitore Cuk.
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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21
Un vantaggio di questo circuito rispetto al convertitore Buck-Bust è dato dal fatto che in
questo la corrente di ingresso e quella pilotata sono abbastanza libere da ripple,
contrariamente al primo convertitore in cui tale fenomeno è molto accentuato, uno
svantaggio significativo è invece rappresentato dall'elevato ripple di corrente che passa nel
condensatore C1.
7 Controllo dei converitori dc/dc
Nei convertitori sopra trattati il valore medio della tensione desiderata è ottenuto, per una
fissata frequenza di switching fs (fs=1/Ts), variando opportunamente le durate dei tempi di
switch on ed off del componente switching.
Evidentemente ogni tipo di convertitore ha un rapporto tra tensione di ingresso e di uscita
diverso, come si è visto uno dipende da δ uno da 1 /(1-δ) ecc., ma tutti sono funzione dello
stesso parametro δ=ton/Ts.
Di seguito viene mostrato uno schema per la determinazione del parametro δ legato ad una
tensione di ingresso V0, questo schema è direttamente legato al convertitore buck, ma è facile
estendere questo tipo di schema a tutti gli altri convertitori switching.
Si effettua un confronto fra una tensione triangolare Vtri di periodo Ts, sempre positiva, e la
tensione continua desiderata V0. La tensione triangolare ha un valore massimo pari al
massimo possibile della tensione ottenibile ed è sempre positiva essendo questi convertitori
attivi in un solo quadrante. Se V0>Vtri il componente switching risulta chiuso, in caso
contrario è aperto, tale tipo di regolazione viene detto PWM, pulse wave modulation.
Fig.11.13b - modulazione PWM per convertitori switching
.
8 Convertitore a ponte
Il chopper a ponte (full-bridge) ha una struttura che ne consente l'impiego anche come
inverter (cc/ca), ciò che differenzia il funzionamento nei due casi è il controllo degli
switches, cioè la loro sequenza di commutazione. Esso può funzionare nei quattro quadranti
del piano V0-I0 o C-n, il che lo fà preferire in molti casi per l'alimentazione di un azionamento
in corrente continua in cui si vuole il rovesciamento sia della coppia che della velocità.
Lo schema del convertitore è riportato in fig.11.14, in cui vi sono due switch e due diodi di
libera circolazione per ramo posti in antiparallelo. La tensione di ingresso è fissa e pari a Vd,
mentre quella di uscita è pari a V0 può essere controllata in ampiezza e polarità , variando gli
istanti di conduzione degli switches. Si ricordi che gli switch dello stesso ramo non possono
condurre simultaneamente, per evitare ct. ct. che distruggerebbero i componenti del ramo, in
pratica anzi vi sarà un intervallo di tempo (blanking-time) molto piccolo in cui ambedue gli
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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switch sono in condizione di off, e si trascura tale condizione allora la corrente scorrerà
sempre in un ramo. La presenza dei diodi in antiparallelo comporta una distinzione fra lo stato
on e quello di conduzione di uno switch. Infatti se uno switch è acceso ma la corrente ha
verso opposto a quello ammesso dallo switch stesso allora la corrente scorrerà nel diodo in
antiparallelo, se invece la corrente scorre nel verso ammesso dallo switch, si può dire che
questo è nello stato conducting time, ovviamente nello stato off tale distinzione non esiste. Si
consideri il ramo A di fig.11.14, la tensione Van rispetto al polo negativo n può dedursi da:
1) quando Ta è on la corrente scorre attraverso Ta se Io è positivo o attraverso Da se negativo,
in ambedue i casi si avrà:
van =Vd
2)quando Tc è on, la corrente scorre in Tc se negativa ed in caso contrario scorre in Dc,
quindi:
van=0
Da quanto sopra emerge che Van dipende, in un periodo Ts, solo dallo stato degli switch Ta e
Tc del ramo A ed è indipendente dal verso della corrente Io, dipende pertanto solo da Vd e dal
duty cicle δ. Pertanto può scriversi:
Vd t on + 0 t off
= δ Vd
Van =
Ts
Per il ramo B è possibile, ragionando nello stesso modo di quanto fatto per il ramo A,
giungere alle conclusioni sinteticamente sotto riportate:
1) TB=on e TD=off
2) TB=off e TD=on
Vbn= Vd
Vbn= 0
quindi in un periodo Ts la tensione Vbn, in funzione del duty cycle β può scriversi:
Vbn = β Vd
Pertanto la tensione di uscita Vo ai capi del carico è data dalla differenza tra Van e Vbn ed è
indipendente dalla grandezza e direzione della corrente.
Fig.11.14 - Convertitore c.c./c.c. a ponte.
Quindi l'uscita del convertitore V0=Van-Vbn può essere controllata regolando i duty cycle
degli switch ed è indipendente dall'ampiezza e dal verso di I0. Il controllo di questo
convertitore è diverso da quello degli altri convertitori cc/cc che funzionano in un solo
quadrante ed in cui V0 non cambia polarità. In quelli è infatti sufficiente confrontare la Vcontrol
con una a dente di sega che non cambia polarità, in questo invece il confronto deve essere
realizzato con una tensione triangolare di frequenza pari a quella della portante, e che cambia
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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23
polarità. Vi sono due possibilità' di funzionamento, quella PWM bipolare in cui la coppia Ta
etc e la coppia Tb e Td passano insieme dallo stato on allo stato off e viceversa , e quello
cosiddetto PWM unipolare in cui i singoli elementi di una coppia lavorano scollegati.
Nel caso bipolare i segnali di gate si identificano dal confronto tra una funzione triangolare
Vtri, a frequenza 1/Ts e una funzione di controllo Vcontrol. Finché Vcontrol>Vtri la coppia TA e
TD è on mentre TC e TB sono off, ne segue che:
Van = Vd e Vbn = 0
Quando Vcontrol<Vtri, la coppia TA -TD va in off mentre la TB e TC va in on e si ha:
Van = 0 e Vbn = Vd
In fig. 11.15 è riportato a) l'andamento della Vcontrol e della Vtri, b) la tensione Van ai capi del
ramo A del convertitore, c)la tensione Vbn ai capi del ramo B del convertitore, d) la tensione
Vo =Van-Vbn ai capi del carico, e)la corrente di carico nel caso I0>0, f) la corrente di carico
nel caso I0<0.
Fig. 11.15 - Grandezze caratteristiche in un chopper a ponte nel funzionamento bipolare
Come si può osservare l'istante t1 in cui Vcontrol =Vtri può ricavarsi a partire dall’espressione
della triangolare nel tempo:
V
T
t
Vtri = Vmx
;
t1 = control s
Ts
Vmx
4
4
con Vmx valore massimo della triangolare, dalla figura si può inoltre osservare che il periodo
di tempo in cui conducono TA e TD è :
⎞
V
1⎛
T
t on = 2⎛⎜ t1 + s ⎞⎟ = ⎜⎜ Ts + control Ts ⎟⎟
4⎠ 2
⎝
Vmx
⎠
⎝
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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24
Il duty cycle della coppia TA TD sarà allora
t on 1 ⎛ Vcontrol ⎞
⎟
= ⎜1 +
Ts 2 ⎜⎝
Vmx ⎟⎠
mentre il duty cycle β della coppia TB TC è il complemento di δ cioè β=1-δ.
La tensione V0, che dà il nome di bipolare al tipo di funzionamento, può allora scriversi in
funzione del duty cycle come
V
V0 = Van − Vbn = (δ − β )Vd = (2δ − 1)Vd = control Vd
Vmx
δ =
Il controllo del secondo tipo di funzionamento, detto di modulazione unipolare in quanto la
tensione V0 è sempre maggiore di zero, si basa sulla proprietà che disponendo TA e TB
simultaneamente on si portano i morsetti ai capi del carico allo stesso potenziale V0=0, lo
stesso effetto si ottiene portando simultaneamente on TC e TD. Questo fatto può essere
sfruttato per migliorare la forma d'onda della tensione di uscita, e può essere realizzato
confrontando la Vtri con una Vcontrol1 per determinare i segnali di commutazione del ramo A e
con una –Vcontrol2 per i segnali del ramo B. In fig. 11.16 è riportato a) l'andamento della
Vcontrol1 , della –Vcontrol2 e della Vtri, b) la tensione Van ai capi del ramo A del convertitore, c) la
tensione Vbn ai capi del ramo B del convertitore, d) la tensione Vo =Van-Vbn ai capi del
carico, e) la corrente di carico nel caso I0>0, f) la corrente di carico nel caso I0<0.
Fig. 11.16 - Grandezze caratteristiche in un chopper a ponte nel funzionamento unipolare
Si può osservare che la tensione V0 assume sempre lo stesso segno mentre le correnti possono
essere sia positive che negative, inoltre l'espressione che lega il valore medio di V0 alla Vcontrol
resta ancora valida.
Se la fs è la stessa nei due tipi di funzionamento, la modulazione unipolare genera una forma
d'onda della tensione di uscita migliore, ciò in quanto l'effettiva frequenza di switching è
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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doppia e quindi le armoniche hanno frequenza multipla non di fs ma di 2fs, ed il contenuto
armonico è minore perché le armoniche dispari hanno minore ampiezza e tutto ciò porta ad
un ripple ridotto.
.
Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI
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9 Confronto fra i convertitori cc/cc non isolati
I convertitori step-down, step-up, buck-boost e cuk consentono il passaggio della corrente
solo in un senso, mentre ciò non avviene nel full bridge che lavora invece nei quattro
quadranti.
Per valutare come gli switch sono utilizzati nei diversi chopper, si effettuino le seguenti
ipotesi:
1) la corrente media sul carico I0, nel funzionamento non discontinuo, è pari alla corrente
nominale ammessa dal convertitore ed ha un ripple trascurabile.
2) la tensione di uscita v0(t) ha un valore medio V0 pari alla tensione nominale ed ha un ripple
trascurabile.
3) nel caso in cui la tensione di ingresso Vd varii, il duty cycle δ deve essere fatto variare in
modo da mantenere costante V0.
4) la potenza P0=V0 I0 è dunque la potenza nominale di uscita dal convertitore.
Sotto le ipotesi sopradette, può essere calcolato il massimo valore Vt di tensione cui è
sottoposto lo switch ed il massimo valore di corrente It che scorre nello stesso, da queste
grandezze è
possibile fissare la potenza nominale dello switch e la potenza di
dimensionamento (Pt=Vt It).
In fig. 11.17 è mostrato per alcuni convertitori il fattore di utilizzazione P0/Pt al variare del
duty cycle δ, con Po e Pt rispettivamente potenza di uscita e di dimensionamento. Si può
osservare che per il buck-boost ed il Cuk il valore di δ per cui l’utilizzazione è massima
cade per un valore di δ intorno a 0.5. Dal grafico si può vedere che dove è possibile è
meglio utilizzare il buck ed il boost, il full bridge è preferibile se si deve lavorare sui quattro
quadranti, mentre il Cuk ed il buck - boost sono da preferirsi se si vuole una inversione di
polarità della tensione in uscita. Invece per quanto riguarda il buck ed il boost poiche' il
massimo di utilizzazione si ha per δ=0 e per δ=1 una buona utilizzazione si ha se la tensione
di uscita V0 nel suo range di variazione è dello stesso ordine di quella di ingresso Vd.
Fig.11.17 - Confronto tra diversi convertitori cc/cc, in funzione del duty-cycle.
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27
10 Appendice I
Si consideri un circuito R-L serie al quale dall’istante t=0 in poi viene applicata una tensione
V.
Applicando la seconda legge di Kirchhoff si può scrivere:
di (t )
Ri (t ) + L
= V (t )
dt
effettuando la trasformata di Laplace per ciascun termine dell’equazione precedente si ha:
V ( s)
RI ( s ) + sLI ( s ) − Li (0+) =
s
in cui i(0+) rappresenta la corrente che scorre nel circuito R-L prima dell’applicazione della
tensione V(t). Nel caso in cui questa corrente è nulla si può scrivere:
V ⎛1⎞ 1
I (s) = ⎜ ⎟
L⎝s⎠s+ R L
la cui antitrasformata risulta pari a:
V
L
i (t ) = 1 − e −t τ con τ =
R
R
Se la corrente prima della applicazione della V(t) è diversa da zero e vale Io, supponendo il
sistema, nei suoi componenti, lineare applichiamo la sovrapposizione degli effetti,
l’equazione in termini di trasformata di Laplace si può scrivere:
I0
I ( s) =
s+R L
la cui antitrasformata risulta pari a:
L
i (t ) = I 0 e −t τ con τ =
R
Se contemporaneamente si hanno ambedue le sorgenti, la corrente che scorre nel circuito è
pari a:
L
V
i (t ) = I 0 e −t τ + 1 − e −t τ con τ =
R
R
(
(
)
)
(
)
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11 Appendice II
Fig. – Convertitori cc/cc a ponte, modulazione bipolare.
Nello schema di sinistra gli switch TA e TD sono chiusi, mentre gli switch TC e TB sono aperti.
Nello schema di destra gli switch TA e TD sono aperti, mentre gli switch TC e TB sono chiusi;
l’induttanza del carico forza la corrente a passare attraverso i diodi DC e DB.
Fig. – Convertitori cc/cc a ponte, modulazione unipolare. Nello schema di sinistra sono chiusi
TA e TD, nello schema di destra invece TA e TB.
Fig. – Convertitori cc/cc a ponte, modulazione unipolare.Sono chiusi gli switch TC e TB , lo
schema di sinistra mostra il percorso della corrente se ancora è presente energia nell’induttanza,
lo schema di destra presuppone chelinduttanza successivamente alla commutazione sisia
scaricata.
