Funzioni goniometriche o circolari

FUNZIONI GONIOMETRICHE
Prof. E. Modica
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DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE
Consideriamo un triangolo ABC rettangolo in B e sia 𝛼 l’angolo
acuto di vertice A. Successivamente, consideriamo una retta
parallela al cateto BC e siano D ed E, rispettivamente, i punti in
cui tale retta interseca il prolungamento del cateto AB oltre B e il
prolungamento dell’ipotenusa AC oltre C.
Il triangolo ADE che si viene a formare è anch’esso rettangolo e
l’angolo acuto in A misura, ovviamente, anch’esso 𝛼. Di
conseguenza, poiché la somma degli angoli interni di un
triangolo è pari a 180°, i due angoli 𝐶 e 𝐸 sono anch’essi
congruenti, perché differenza di angoli congruenti.
I due triangoli ABC e ADE sono quindi simili tra loro e di
conseguenza hanno i lati opposti agli angoli congruenti, detti lati
omologhi, in proporzione, cioè:
𝐵𝐶 𝐷𝐸
=
𝐴𝐶 𝐴𝐸
Da ciò è possibile dedurre che: in un triangolo rettangolo, il rapporto tra il cateto
opposto all’angolo 𝜶 e l’ipotenusa e il rapporto tra il cateto adiacente
all’angolo 𝜶 e l’ipotenusa, non dipendono dalla misura dei lati del triangolo,
!"
!"
ma dipendono esclusivamente dal valore di 𝜶, ovvero i due rapporti !" e !"
dipendono solo dalla misura dell’angolo 𝛼.
Definizione. Si dice seno dell’angolo 𝜶, indicato con la scrittura 𝒔𝒊𝒏 𝜶, il rapporto tra
il cateto opposto all’angolo 𝛼 e l’ipotenusa. In formule:
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍𝒍! 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝜶 𝑩𝑪
𝐬𝐢𝐧 𝜶 =
=
𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝑨𝑪
Definizione. Si dice coseno dell’angolo 𝜶, indicato con la scrittura 𝒄𝒐𝒔 𝜶, il rapporto
tra il cateto adiacente all’angolo 𝛼 e l’ipotenusa. In formule:
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒊𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍𝒍! 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝜶 𝑨𝑩
=
𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝑨𝑪
Definizione. Si dice tangente dell’angolo 𝜶, indicato con la scrittura 𝒕𝒂𝒏 𝜶, il
rapporto tra il cateto opposto all’angolo 𝛼 e il cateto adiacente. In formule:
𝐭𝐚𝐧 𝜶 =
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𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍𝒍! 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝜶
𝑩𝑪
=
!
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒊𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝜶 𝑨𝑩
Definizione. Si dice cotangente dell’angolo 𝜶, indicata con la scrittura 𝒄𝒐𝒕 𝜶, il
rapporto tra il cateto adiacente all’angolo 𝛼 e il cateto opposto. In formule:
𝐜𝐨𝐭 𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒊𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍𝒍! 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝜶 𝑨𝑩
=
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍𝒍! 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝜶
𝑩𝑪
Proposizione. La tangente dell’angolo 𝛼 è uguale al rapporto fra il seno e il coseno
dell’angolo 𝛼, in formule:
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐭𝐚𝐧 𝜶 =
𝐜𝐨𝐬 𝜶
Dimostrazione.
Utilizzando le precedenti definizioni si ha:
𝐵𝐶
sin 𝛼
𝐵𝐶
= 𝐴𝐶 =
= tan 𝛼
cos 𝛼 𝐴𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝐶
Osservazione. Dalle precedenti definizioni di tangente e cotangente emerge subito che
vale la seguente relazione:
𝐜𝐨𝐭 𝜶 =
𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝜶
Esempio. Determinare le funzioni goniometriche dell’angolo 𝐴 del triangolo ABC,
sapendo che 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 12 e 𝐴𝐶 = 13.
Dalle definizioni precedenti segue che:
sin 𝐴 =
𝐵𝐶 12
=
𝐴𝐶 13
tan 𝐴 =
𝐵𝐶 12
=
𝐴𝐶 13
cos 𝐴 =
𝐴𝐵
5
=
𝐴𝐶 13
cot 𝐴 =
𝐴𝐶 13
=
𝐵𝐶 12
FUNZIONI GONIOMETRICHE DELL’ANGOLO DI 45°
Consideriamo un triangolo ABC, rettangolo in B, avente l’angolo
𝛼 = 45°. Di conseguenza anche l’angolo 𝐶 sarà di 45°. Il triangolo è
quindi isoscele, pertanto si ha:
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑙
Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che l’ipotenusa misura:
𝐴𝐶 =
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𝐴𝐵! + 𝐵𝐶 ! =
𝑙! + 𝑙! =
2𝑙 ! = 𝑙 2
2
Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che:
sin 45° =
𝐵𝐶
𝑙
1
2
=
=
=
≅ 0,7
𝐴𝐶 𝑙 2
2
2
cos 45° =
𝐴𝐵
𝑙
1
2
=
=
=
≅ 0,7
𝐴𝐶 𝑙 2
2
2
tan 45° =
𝐵𝐶 𝑙
= =1
𝐴𝐵 𝑙
cot 45° =
1
=1
tan 45°
FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI DI 30° E DI 60°
Consideriamo un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in B,
avente l’angolo 𝐴𝐶𝐵 = 30°. Di conseguenza l’angolo 𝐵𝐴𝐶
sarà di 60°. Questo triangolo è la metà del triangolo
equilatero ACA’ e, di conseguenza, se il suo lato 𝐴𝐶 = 𝑙, il
!
lato 𝐴𝐵 = ! 𝑙.
Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che il cateto 𝐶𝐵
misura:
𝐶𝐵 =
𝐴𝐶 !
−
𝐴𝐵!
=
𝑙!
𝑙
−
2
!
=
𝑙! −
𝑙!
=
4
3 ! 1
𝑙 = 𝑙 3
4
2
Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che:
1
𝐴𝐵 2 𝑙 1
sin 30° =
=
= = 0,5
𝐴𝐶
𝑙
2
3
𝑙
𝐶𝐵
3
2
cos 30° =
=
=
≅ 0,86
𝐴𝐶
𝑙
2
1
𝑙
𝐴𝐵
1
tan 30° =
= 2 =
≅ 0,58
𝐵𝐶
3
3
2 𝑙
cot 30° =
1
= 3 ≅ 1,7
tan 30°
3
𝑙
𝐶𝐵
3
sin 60° =
= 2 =
≅ 0,86
𝐴𝐶
𝑙
2
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3
1
𝐴𝐵 2 𝑙 1
cos 60° =
=
= = 0,5
𝐴𝐶
𝑙
2
3
𝑙
𝐶𝐵
2
tan 60° =
=
= 3 ≅ 1,7
1
𝐴𝐵
2𝑙
cot 60° =
1
1
=
≅ 0,58
tan 60°
3
TAVOLA RIASSUNTIVA
Angolo 𝜶
𝒔𝒊𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝒕𝒂𝒏 𝜶
0°
0
1
0
30°
1
2
2
≅ 0,7
2
3
≅ 0,86
2
3
≅ 0,86
2
2
≅ 0,7 2
1
2
90°
1
0
non
definita
180°
0
-1
o
45°
60°
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1
3
𝒄𝒐𝒕 𝜶
non
definita
≅ 0,58
3 ≅ 1,7
1 3 ≅ 1,7
1 1
3
≅ 0,58
0
non
definita
4
PRIMO E SECONDO TEOREMA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Utilizzando le definizioni date nel primo paragrafo, è possibile pervenire ai due seguenti
importanti teoremi dei triangoli rettangoli.
Primo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è
uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo a esso adiacente; ovvero un
cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo a esso opposto.
𝑎 = 𝑐 sin 𝛼 𝑎 = 𝑐 cos 𝛽 𝑏 = 𝑐 cos 𝛼 𝑏 = 𝑐 sin 𝛽
Secondo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è
uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo ad esso opposto; ovvero un
cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo ad esso
adiacente.
𝑎 = 𝑏 tan 𝛼 𝑎 = 𝑏 cot 𝛽 𝑏 = 𝑎 tan 𝛽 𝑏 = 𝑎 cot 𝛼
PROBLEMI PROPOSTI
P1. La scala mobile che porta dal piano terra al primo piano di un centro commerciale è lunga 6.5
m e inclinata di 30° rispetto al pavimento. Calcolare l’altezza del primo piano. [R. 3,25 m]
P2. Un ruscello scende in linea retta lungo il pendio di una montagna per 205 m formando con il
terreno un angolo di 50°. Calcolare l’altezza della montagna. [R. 157,04 m]
P3. Un’antenna emittente ha un profilo lungo 20 m che risulta inclinato rispetto al piano di 70°.
Determinare l’altezza dell’antenna. [R. 18,8 m]
P4. La discesa dalla chiesa di un paese alla piazza è lunga 115 m e inclinata, rispetto all’orizzonte
della chiesa, di 20°. Determinare di quanto la chiesa è più alta rispetto alla piazza. [R. 39,3 m]
P5. L’ingresso in un castello medievale avviene mediante un ponte levatoio lungo 6 m. Sapendo
che il ponte viene sollevato e abbassato mediante dei tiranti azionati da argani a ruota che formano,
quando sono totalmente spiegati, un angolo di 32° con il ponte, determinare l’altezza della porta
d’ingresso. [R. 3,75 m]
P6. Una scala a pioli lunga 4.5 m permette di accedere al primo piano di uno stabile. Determinare
l’altezza di tale piano rispetto al piano terra, sapendo che la scala forma con il muro un angolo di
48°. [R. 3,01 m]
P7. Un bambino scende da uno scivolo di un parco giochi lungo 3 m. Determinare l’altezza del
punto più alto dello scivolo sapendo che la sua inclinazione rispetto al terreno è pari a 54°. [R. 2,42
m]
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