Anno Accademico 2016-2017
Fisica I – 12 CFU
Esercitazione n.7: Dinamica dei corpi rigidi
Esercizio n.1
Una carrucola, costituita da due dischi sovrapposti e solidali fra loro di massa M = 20 kg e m = 15
kg e raggi R = 0.5 m e r = 0.4 m, è incernierata nel suo centro, coincidente con i centri dei due
dischi e sostiene due masse m1 = 6 kg e m2 = 5 kg come mostrato in figura. Supposto che il
sistema, inizialmente in quiete, venga lasciato libero di muoversi, si determinino l’accelerazione
delle masse m1 e m2, specificando quale fra le due masse sale.
m1
m2
Esercizio n.2
Un cilindro di raggio R/4 rotola senza strisciare dentro un tubo di raggio R. Nella metà di destra del
tubo l’attrito è nullo. Se all’istante iniziale il cilindro è fermo e la quota del centro di massa è R/2
determinare la posizione di arrivo del cilindro e la sua velocità angolare
Parte senza attrito
R
R/2
Esercizio n.3
Un disco omogeneo che ruota uniformemente intorno ad un asse verticale con velocità angolare ω =
40 s-1 viene lasciato cadere su di un altro disco coassiale e inizialmente fermo. I due dischi
ingranano ed assumono rapidamente la stessa velocità angolare. Sapendo che le masse dei due
dischi sono uguali e che il raggio del secondo è doppio del raggio del primo, calcolare la velocità
angolare del sistema e quale percentuale dell’energia cinetica iniziale viene dissipata
Esercizio n.4
Un cilindro pieno uniforme rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ.Il
coefficiente di attrito statico vale µ. Determinare l’accelerazione del centro di massa del cilindro; la
forza di attrito agente sul cilindro e l’angolo massimo di inclinazione per cui il cilindro rotola senza
strisciare.
Esercizio n.5
Su un piano orizzontale (senza attrito) è appoggiata una massa m1 di 10 kg che è collegata tramite
un filo inestensibile ad una carrucola, costituita da due dischi coassiali rigidamente fissati (r = 20
cm e R = 50 cm). La carrucola viene messa in movimento dalla discesa di una seconda massa (m2=4
kg) collegata alla carrucola come mostrato in figura. Il momento d’inerzia della carrucola è I = 6 kg
m2. Si calcoli la velocità di m2 dopo che è scesa di 1 m rispetto alla sua posizione iniziale e il valore
delle tensioni.
Esercizio n.6
Due corpi sono assicurati con delle corde a due ruote aventi lo stesso asse. Le ruote sono attaccate
in modo da formare un unico corpo rigido avente momento d’inerzia pari a 40 kg m2. I raggi delle
due ruote valgono r1 = 1.2 m e r2 = 0.40. Se m1 = 24 kg determinare m2 in modo che le ruote non
subiscano accelerazione angolare. Se sopra m1 è posto un corpo di 12 kg, determinare
l’accelerazione angolare delle ruote e la tensione delle corde.
Esercizio n.7
La figura mostra una sbarra uniforme di lunghezza L e massa M sostenuta mediante un perno
all’estremità superiore. La sbarra inizialmente in quiete è colpita da un corpo di massa m in un
punto a distanza x = 0,8L sotto il perno. Si assuma che il corpo rimanga attaccato alla sbarra. Quale
deve essere la velocità v del corpo perché dopo l’urto l’angolo massimo raggiunto dalla sbarra
rispetto alla verticale sia 90°?
Esercizio n.8
Una sbarretta omogenea di lunghezza L e massa M è incernierata nel suo centro ed è mantenuta
orizzontale su un appoggio. Sopra l’estremo A è poggiata una massa puntiforme m1. Sull’altro
estremo, da una altezza h0 viene fatta cadere una massa puntiforme m2 che si conficca nell’estremo
B. A quale altezza massima h rimbalza la massa m1? (Il momento di inerzia della sbarretta è
ML2/12 )
m2
m1
h0
Esercizio n.9
Una piattaforma cilindrica, rigida ed omogenea, di massa M e raggio R, può ruotare senza attriti
intorno al suo asse, disposto verticalmente. Inizialmente un uomo di massa m = M/10 è fermo sul
bordo della piattaforma mentre questa ruota liberamente con velocità angolare ω0. Ad un certo
istante l’uomo si mette a camminare ed alla fine raggiunge il centro della piattaforma. Quale è la
velocità angolare finale? Si determini inoltre la variazione percentuale dell’energia cinetica totale
rispetto alla condizione iniziale
Esercizio n.10
Un disco di massa M = 8 kg e raggio R è posto sopra una guida inclinata con angolo θ = 30°; all’
asse centrale del disco è collegata un filo che sostiene una massa m = 6 kg. Inizialmente il filo è
teso con la massa bloccata ad una distanza h=1.5 m dal livello del suolo. A t=0 si lascia la massa
libera di scendere, facendo contemporaneamente salire il disco lungo la guida. Il moto del disco è di
puro rotolamento. Calcolare l’accelerazione con cui scende la massa m e la velocità con cui tocca il
suolo. Calcolare inoltre la quota massima raggiunta dal centro del disco misurata rispetto alla quota
che lo stesso centro aveva a t=0 (si consideri che il filo non è rigido).
Esercizio n.11
Una sfera di raggio R = 15 cm e massa m1 = 24 kg è appoggiata su un piano orizzontale; il
coefficiente di attrito statico è µ = 0.2. Nella sfera è praticata una piccola scanalatura di raggio r = 6
cm in cui è avvolto un filo inestensibile che sostiene un corpo di massa m2. Tramite la forza
orizzontale F è possibile mantenere il sistema in equilibrio. Si calcoli il valore massimo di m2 che
consente l’equilibrio e il corrispondente valore di F.
Esercizio n.12
Due blocchi, m1 = 15 kg e m2 = 20 kg, sono collegati con una fune,
inestensibile e di massa trascurabile, che passa su una carrucola di
raggio R = 0.25 m e momento di inerzia I. Il blocco m1 che si trova sul
piano inclinato (α = 37°) si muove verso l’alto con una accelerazione
costante di 2 m/s2. Si determinino le tensioni T1 e T2 nei due tratti della
fune e il momento di inerzia della carrucola
Esercizio n.13
Una sbarretta di lunghezza L e massa M è imperniata in uno dei suoi estremi ed è vincolata a
ruotare in un piano verticale. All’istante iniziale viene rilasciata da ferma in posizione verticale.
Nell’istante in cui essa è orizzontale si trovi la sua velocità angolare, il modulo della sua
accelerazione angolare, le componenti x e y dell’accelerazione del centro di massa e le componenti
della forza di reazione nel perno.
Esercizio n.14
Una palla da biliardo di raggio r0 inizialmente scivola senza rotolare su una superficie orizzontale
con velocità lineare v0; il coefficiente di attrito tra la palla e la superficie è µ. Si determinino,
nell’istante in cui la palla inizia a rotolare senza strisciare, la sua velocità lineare, il tempo trascorso
e lo spazio percorso.
Esercizio n.15
Un disco di massa m = 3.4 kg e raggio R = 0.19 m scende con velocità costante lungo un piano
inclinato (θ = 28°) con moto di puro rotolamento frenato dalla forza costante F. Calcolare il valore
del momento di F rispetto al punto di contatto, il modulo e il verso della forza di attrito il valore
minimo del coefficiente di attrito.
Esercizio n.16
I blocchi B (mB) e C (mC) sono legati l’uno all’altro da una corda di massa trascurabile che passa su
una puleggia A di raggio R0 e massa mA. Supponendo che la corda non slitti e che tutti gli attriti
siano trascurabili, si determinino l’accelerazione dei blocchi, la tensione della corda tra il blocco B
e la puleggia, la tensione della corda tra il blocco C e la puleggia.
B
C
Esercizio n.17
Una porta aperta, larga a = 73 cm, di massa M = 35 kg è ferma quando viene colpita, ad una
distanza D = 62 cm dal cardine, da una palla di stucco di massa m=1.1 kg. La velocità iniziale della
palla ha modulo v=27 m/s, giace in un piano orizzontale e forma un angolo θ=22° con la normale
alla porta. Dopo l’urto la palla rimane attaccata alla porta. Trovare la velocità angolare finale e
determinare la variazione di energia cinetica del sistema.
a
D
θ
v
m
Esercizio n.18
Due blocchi di massa m1 = 2 kg e m2 = 6 kg sono connessi tra loro come mostrato in figura. La
carrucola ha raggio R = 0.250 m e massa M = 10 kg. La parte orizzontale del piano di scorrimento è
liscia mentre la parte inclinata (θ = 30°) è scabra con coefficiente di attrito di 0.360. Si determinino
il valore dell’accelerazione dei due blocchi e il valore della tensione lungo i due tratti di corda.
m1
m2
Esercizio n.19
Una piattaforma girevole a forma di cilindro di raggio 1.9 m e massa 30 kg è posta in rotazione
attorno ad un asse verticale passante per il suo centro con una velocità angolare di 4π rad/s (in senso
antiorario). Un pezzo di creta di massa 2,25 kg viene lasciato cadere sopra la piattaforma, vi si
attacca ad una distanza di 1.8 m dal centro e poi girano insieme. Si calcoli la velocità angolare
finale del sistema e la variazione di energia cinetica.
Esercizio n.20
Una stazione spaziale, di forma simile ad un grande disco ha raggio 100 m e momento di inerzia
5.00 108 kg m2. Un equipaggio di 150 astronauti vive sul bordo dell’astronave, dove è sottoposto ad
una accelerazione uguale a g. Nel momento in cui 100 astronauti si muovono verso il centro
dell’astronave per una riunione, la velocità angolare cambia. Quale è l’accelerazione a cui è
sottoposto il resto dell’ equipaggio che è rimasto sul bordo dell’astronave. Si faccia l’ipotesi che la
massa media di un astronauta sia 65 kg.
Esercizio n.21
Un cilindro omogeneo rotola dalla cima al fondo di un piano inclinato di α = 30°, raggiungendo al
termine una velocità del centro di massa VCM = 4 m/s. Calcolare: a) la lunghezza l del piano
inclinato, b) l'accelerazione con cui scende il cilindro, c) il tempo impiegato a percorrere il piano
inclinato.
Esercizio n.22 (II Eso 2015)
Un cilindro di raggio R = 10 cm e massa m = 5 kg è posto sopra un piano orizzontale; il coefficiente
di attrito fra il piano e il cilindro vale 0.3. Al centro del cilindro è scavata una fessura sottilissima in
modo da ridurre in quel punto il raggio al valore di 6.6 cm, si supponga che ciò non alteri il
momento di inerzia del cilindro. Al cilindro sono applicate le forze F1 = 9.5 N e F2 come mostrato
in figura. Calcolare quanto deve valere F2 affinché il cilindro resti in equilibrio. Dopo aver messo in
moto il cilindro, se ad un certo istante F1 cessa di agire e F2 ha il valore trovato, dire se il cilindro
può compiere un moto di puro rotolamento.
F2
F1
Esercizio n.23 (II Eso 2015)
Due dischi identici di massa M = 5 kg e raggio R = 0.2 m sono liberi di ruotare indipendentemente
attorno ad un asse orizzontale fisso passante per i loro centri. Attorno al disco A è avvolto un filo
che sostiene una massa m = 2 kg. Se si lascia libera m, il disco A si mette in moto mentre il disco B
rimane fermo. Nell’istante in cui il disco A raggiunge una velocità angolare ω = 0.15 rad/s, il disco
B viene spinto su A e vi rimane attaccato. Calcolare la velocità angolare del sistema dopo l’urto.
B
A
Esercizio n.24 (Nov. 2015)
Un disco di 2 kg colpisce con velocità 3 m/s un estremo di un’ asta lunga 4 m, di massa 1 kg che
giace a riposo su una lastra di ghiaccio (praticamente senza attrito). Si faccia l’ipotesi che l’urto sia
completamente anaelestico e si calcolino la velocità di traslazione del centro di massa del sistema
dopo l’urto, la velocità angolare e la variazione di energia cinetica avvenuta nell’urto.
Esercizio n.25 (Feb.2016)
Una particella di massa m=200 g e velocità v=15 m/s urta, restandovi attaccata, la superficie esterna
di un cilindro pieno omogeneo di massa M=5 kg e raggio R=6 cm, inizialmente fermo. Il cilindro
può solo ruotare attorno ad un’asse passante per il suo centro di massa. La traiettoria della particella
è perpendicolare all’asse del cilindro e dista d=4 cm dal centro del cilindro. Si calcoli la velocità
angolare del sistema dopo l’urto.
Esercizio n.26 (II eso 2016)
Un anello sottile rigido, omogeneo di massa m = 0.7 kg e raggio r, giace in un piano verticale. Una
corda flessibile, inestensibile e di massa trascurabile ha un estremo collegato all’anello, è avvolta
per molti giri sul suo bordo esterno e ha l’altro estremo collegato ad un supporto fisso sopra
l’anello. A corda tesa si lascia libero l’anello di muoversi, si determini la sua accelerazione e la
tensione lungo il filo. Cosa cambia se all’anello sostituiamo un disco con lo stesso raggio e la stessa
massa?
Esercizio n.27 (II eso 2016)
Una palla da biliardo di massa M = 100 g e raggio R = 1,5 cm è ferma sul tavolo. A quale altezza
rispetto al tavolo si deve colpirla affinché non strisci e abbia un moto di puro rotolamento?
Risoluzione esercizio n.2
Risoluzione esercizio n.4
Risoluzione esercizio n.8
Risoluzione esercizio n.10
Risoluzione esercizio n.11
Risoluzione esercizio n.26
Risoluzione esercizio n.27
