Appunti Ottica ondulatoria _genn 2012

Gennaio 2013
Ottica ondulatoria ricapitolazione di alcuni fatti fondamentali relativi alle
lunghezze di onda e all’intensita’ di luce riflessa e rifratta da mezzi trasparenti
Dalla soluzione dell’equazioni di Maxwell si conclude che la espressione piu’ generale di un’onda
piana monocromatica e’ data da:
E = E0y sin (kx-t)j + E0z sin (kx-t)k
B = -E0z/c sin (kx-t)j + E0y/c sin (kx-t)k
Cioe’ E e B NON sono indipendenti.
Onda monocromatica nel vuoto ed in un mezzo rifrangente
E = E0 sin (kx-t)
Nel vuoto k = 2T, v = c = T.
Rifrazione da aria a vetro (tipicamente n ≈ 1.5)
sin i = sin r * n
con n = vi / vr e vi = c
n = vi / vr = rr ma deve essere r perche’ altrimenti si avrebbe accumulo o riduzione di
onde e quindi anche di energia e.m. quindi dovra’ essere
r = n
e
kr = 2r = n 2n k
La relazione sopra sin i = sin r * n
puo’ essere dimostrata alla luce del principio di HuygensFresnel (vedi per es. a pag. 321 del testo Mazzoldi, Nigro, Voci)
Dalle equazioni di Maxwell, in una porzione di spazio lontano dalle sorgenti delle onde stesse (che
ovviamente saranno delle distribuzioni di cariche e di correnti), nel caso che ci si trovi in un mezzo
diverso dal vuoto basta sostituire
0 con con  costante dielettrica del mezzo
con con m permeabilita’ magnetica relativa del mezzo
Pertanto dal solito trattamento per la risoluzione delle equazioni di Maxwell avremo in tal caso
v2 = 1/ = c2/ . Nei mezzi trasparenti che interessano a noi per l’ottica (delle lenti per es.)
e’ in buona approssimazione  = 1. E quindi sara’
c/v = n = √
Intensita’ della luce riflessa e rifratta nel passaggio aria – vetro.
Qualunque onda luminosa puo’ essere trattata come la somma di una componente polarizzata
linearmente nel piano di incidenza e di un’altra polarizzata nel piano ortogonale a questo.
Con riferimento alla figura consideriamo la componente della luce incidente polarizzata nel piano di
incidenza (che indichiamo piano che che e’ il piano individuato dalla retta luminosa e dalla
perpendicolare al piano di incidenza, passante per il punto di incidenza.
Noto Ei e quindi questa componente dell’intensita’ della luce data dalla quantita’ ½ c Ei2 (che e’
la energia per unita’ di tempo e di superficie) si deve ricavare le due componenti incognite Er ed Et.
Equazione per le componenti del campo E tangenziali al piano di separazione aria - vetro (derivano
dal fatto che il campo e.s. e’ conservativo)
1) Ei cos i -Er cos i = Et cos t
Equazione per le componenti del campo E normali al piano di separazione aria - vetro (che tengono
conto del teorema di Gauss e delle cariche di polarizzazione del mezzo)
2) Ei sin i + Er sin i = Et sin t , (Ricordiamo che  n2)
Da questo sistema di due equazioni in due incognite si ottiene dopo svariati passaggi
r = [Er/Ei]=
tg ( i   t )
tg ( i   t )

Er
i
PIANO 
Ei
i



c
r= i
v, n
Et
t


t  

analogamente per la componente nel piano perpendicolare a anche in questo casoil calcolo
e’ abbastanza lungo e complesso)
sin(  i   t )
sin(  i   t )
Le intensita’ luminose riflesse saranno proporzionali ai quadrati di re di rLa intensita' luminosa
totale riflessa sara’ la media, cioe’ la meta’, della somma delle 2 intensita’ e cioe’ di: [(r)2 + (r) 2].
Per quella trasmessa non e’ necessario di rifare i calcoli ma basta fare la differenza fra 1 e quella
riflessa.
r = [Er/Ei] = -
Polarizzazione per riflessione : l ‘angolo di Brewster.
Quando tg(i +t) = ∞ e quindi (i +t) = /2, t = /2 - i, cioe’ per sin t = cos i , ma dalla
legge della rifrazione abbiamo anche che e’ sin t = sin i /n , e quindi in tale caso sara’ tg i = n.
Questo significa che per angolo di incidenza  = arctg n la componente riflessa del campo elettrico
nel piano di incidenza e’ cancellata e quindi l’onda riflessa ha solo la componente nel piano
perpendicolare a quello di incidenza e quindi e ‘polarizzata linearmente.
Intensita’ della luce riflessa e cambiamento di fase o no per incidenza normale alla superficie del
mezzo trasparente.(il caso del passaggio aria → vetro)
Nel caso di incidenza normale alla superficie riflettente il concetto di piano perde ovviamente di
significato e quindi l’unica formula che vale e’ (che per angoli di incidenza quasi 0 cioe’ piccoli
diventa
sin(  i   t )
( i   t ) (n t   t )
n 1
r = [Er/Ei] = ≈=
=,
n 1
sin(  i   t )
( i   t ) (n t   t )
questo mi dice che per n > 1 come nel caso del passaggi aria → vetro il campo elettrico riflesso ha
segno opposto a quello incidente : cioe’ e ‘ sfasato di 180 gradi
inoltre
n 1 2
[r
] = Rs che e’ la formula classica che serve per calcolare il coefficiente di riflessione
n 1
di lenti oftalmiche. E’ bene notare che questa formula vale sia per luce che viene dall’aria e si
riflette sul vetro che viceversa dato l’esponente 2 della formula.
N.B. Questo e’ il coefficiente di riflessione della prima superficie della lente in realta’ il
coefficiente su entrambe le due superfici delle lenti (aria – vetro ed vetro – aria) e’
2 Rs
Rtotale =
1  Rs
Per i valori di Rtotale ( = RT ) e’ allegata la tabella
E’ da notare che un valore di n elevato , utile per avere lenti oftalmiche “di bello aspetto perche’
non troppo grosse vistose” come risulta dalla formula
1
1
1
 (n  1)[  ]
f
R1 R2
e’ in conflitto con una buona trasparenza delle lenti.
Trasmittanza della luce e coefficiente di riflessione
Sfasamenti per riflessione su lastra di vetro, trattamenti antiriflesso.
Dalla figura si deduce chiaramente che lo sfasamento fra l’onda riflessa e quella rifratta + riflessa
sulla seconda superficie di separazione aria-vetro, + successivamente rifratta in aria dipende
esclusivamente da d, lo spessore del vetro, ed (ovviamente) dall’indice di rifrazione n del vetro.
i
aria ≈ vuoto
i
b
a
vetro
e1
d
e2
r
c
Per il raggio riflesso in aria:
1 = k b = k a sin i = k 2 c sin i = k 2d tg r sin i =2d k tg r (sin r) n =2d k( sin2 r/ cos r) n
Per il raggio che fa il percorso aria → vetro → aria:
2 = (nk) (e1 + e2) = nk 2e1 = nk 2d / cos r
E quindi lo sfasamento totale sara’:
= nk 2d / cos r - 2d k n (sin2 r/ cos r) = 2kdn (1 - sin2 r )/cos r
E alla fine  = 2kdn cos r
Nel caso di incidenza normale alla superficie abbiamo cos r = 1 e quindi
 = 2kdn, ma poiche’ in tale caso, e cioe’, per incidenza normale alla superficie di separazione,
l’onda riflessa ha uno sfasamento di rispetto a quella incidente alla finesara’
 = 2kdn - nd/- 
Per = 2m lo sfasamento e’ costruttivo e cioe’ d = (2m+1) n
Per = m  lo sfasamento e’ distruttivo e cioe’ d = (m+1)n]
Se dopo il “vetro” , come e’ il caso dei trattamenti antiriflesso, c’e’ un mezzo ad indice di
rifrazione ancora piu’ alto (consideriamo il caso di aria n = 1, MgF2 n = 1.38 (≈ √1.9), vetro n = 1.9
allora abbiamo una ulteriore sfasamento di  e quindi in tal caso e’
’ = 2kdn nd/
Per ’= m lo sfasamento e’
distruttivo e cioe’ d = mn
Per ’= 2m  lo sfasamento e’
costruttivo e cioe’ d = mn
I trattamenti antiriflesso tipici delle lenti oftalmiche generalmente sono del tipo a (dn) per
avere un effetto distruttivo sul raggio riflesso
La scelta dei materiali deve pero’ obbedire anche ad un’altra legge e cioe’ che le intensita’ riflesse
dai due mezzi , e cioe’ il materiale della lente (il vetro) e quello dell’antiriflesso siano il piu’
possibile uguali.[in pratica ci devono essere un numero uguale, cioe’ uguale intensita’, di onde che
interferiscono per tagliare l’antiriflesso. Infatti le formula antiriflesso sono calcolate per una sola
onda , ma la luce e’ fatta da tantissime onde!]
Usandola formula
n 1 2
] = Rs bisogna notare che in realta’ e’ n = n2/n1 (la luce incide dal mezzo n1 , per es aria,
n 1
e si rifrange nel mezzo n2, per es. MgF2). Quindi questa quantita’ Rs deve essere la stessa in
entrambi i casi, cioe’ anche per la riflessione dal secondo mezzo con indice di rifrazione n2 [per es
MgF2], al terzo con indice di rifrazione n3 [per es. vetro], e quindi
n 2 n3
. Essendo n1 = 1 per il mezzo che e’ aria dovra’ essere n22 = n3 condizione non sempre

n1 n2
possibile ottenere in modo facile.
A titolo di esempio :
MgF2 n = 1.38,
n2 = 1.90
Per il vetro n varia da 1.4 a 1.9
SiO2 n = 1.46,
n2 = 2.13
Zr
n = 2.0
TiO2 n = 2.3.
Nei trattamenti antiriflesso di lenti oftalmiche spesso sono depositati piu’ di uno strato per
tagliare il massimo spettro luminoso possibile in quanto un solo trattamento, sulla base della
teoria esposta taglia solo una lunghezza d’onda, in pratica una banda di lunghezza d’onda
centrata sulla principale.

Schematica dei trattamenti antiriflesso
Effetto del primo strato
Effetto di due strati
Risposta all’occhio