LICEO SCIENTIFICO STATALE “ANTONIO GRAMSCI” Via del Mezzetta, 7 – 50135 FIRENZE – Tel. 055/610.281 – Fax 055/608400 Cod. Mecc. FIPS100007 - Cod. Fisc. 80031570486 – sito internet http://www.liceogramsci.gov.it e-mail: [email protected] - [email protected] - pec: [email protected] PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2015-2016 MATERIA: matematica CLASSE: I SEZIONE: BS - Scienze applicate DOCENTE: Giancarlo Ragucci CONTENUTI Introduzione alla geometria euclidea. Enti primitivi. Esempi di postulati (in formulazione moderna) di appartenenza e ordinamento. Semiretta, segmento, poligonale. Semipiano, angolo. Figura, figura convessa e figura concava. La congruenza come relazione di equivalenza tra figure del piano. Proprietà della relazione di equivalenza: riflessiva, simmetrica e transitiva. Trasporto del segmento (con riga e compasso). Somma e confronto di segmenti. Trasporto dell'angolo. Confronto e somma di angoli. Differenza tra segmenti e tra angoli. Multipli e sottomultipli (di segmenti e angoli). Punto medio del segmento, bisettrice dell'angolo. L'angolo retto, ottuso, acuto, convesso, concavo. Angoli opposti al vertice: definizione e proprietà. Le parti del teorema: ipotesi, tesi e dimostrazione. Il teorema inverso. Criteri di congruenza. Primo e secondo criterio di congruenza. Proprietà del triangolo isoscele. Terzo criterio di congruenza. Costruzioni geometriche: bisettrice di un angolo; punto medio del segmento; mediana di triangolo; perpendicolare ad una retta e asse di un segmento. Disuguaglianze nei triangoli. Teorema dell'angolo esterno e secondo criterio generalizzato. Disuguaglianze nei triangoli: (1) in un triangolo a lato maggiore si oppone angolo maggiore e viceversa; (2) disuguaglianza triangolare; (3) triangoli con due lati congruenti e l'angolo compreso disuguale. Parallelismo. Postulato della parallela. Rette tagliate da una trasversale: angoli alterni, corrispondenti e coniugati. Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele. Perpendicolarità. Somma degli angoli interni di un triangolo e generalizzazione per i poligoni. Parallelogrammi: definizione. Parallelogrammi particolari e loro proprietà. Distanza fra figure del piano con particolare riferimento alla distanza retta-punto e fra rette parallele. Fascio improprio e luoghi geometrici. Fascio improprio di rette tagliato da rette trasversali: se il fascio stacca due segmenti congruenti su una trasversale allora ne stacca due congruenti anche su ogni altra. Corollario sui triangoli. Luoghi geometrici. Definizione di asse del segmento, bisettrice dell'angolo e loro proprietà come luogo geometrico. Insiemi numerici e operazioni. I numeri naturali, N. Operazioni interne. Addizione e moltiplicazione: proprietà associativa, commutativa e distributiva. La potenza di un numero naturale: definizioni e proprietà. Espressioni con i numeri naturali: priorità e uso delle parentesi. Scomposizione in fattori primi: MCD e mcm. La divisione con resto. L'algoritmo di Euclide per la determinazione del MCD di due numeri. Calcolo dell'mcm di due numeri conoscendo l'MCD. I numeri interi, Z, come ampliamento di N. Le operazioni interne agli interi. Il calcolo con le frazioni e le frazioni equivalenti. Il passaggio all'insieme dei numeri razionali, Q. Operazioni interne a Q. Introduzione all'insiemistica. Metodi di descrizione: per elencazione e caratteristica. Cenno ai diagrammi di Eulero-Venn. Simboli di appartenenza, inclusione e uguaglianza (doppia inclusione). Quantificatori universali: “per ogni” ed “esiste”. Intersezione e unione fra insiemi. Cenno sulle tecniche di dimostrazione delle inclusioni (proprietà distributiva di intersezione rispetto all'unione). Differenza fra insiemi. Relazioni. Relazione di equivalenza e sue proprietà. Le proprietà antisimmetrica e antiriflessiva; la relazione di ordine (totale e parziale). La “relazione” tra elementi di un insieme A come sottoinsieme del prodotto cartesiano, AxA. Lettura delle proprietà riflessiva e simmetrica attraverso la rappresentazione cartesiana. Calcolo letterale. Monomi e definizioni collegate: coefficiente numerico, parte letterale, grado totale e rispetto ad un letterale. Monomi simili e opposti. Operazioni di somma e prodotto. MCD e mcm di monomi. Polinomi e definizioni collegate: forma ridotta, grado totale e grado rispetto ad un letterale. Somma e prodotto di polinomi. Prodotti notevoli: quadrato del binomio (e generalizzazione a trinomi, quadrinomi etc); somma per differenza; potenza del binomio con il triangolo di Tartaglia (senza dimostrazione). La scomposizione dei polinomi. Raccoglimento totale e parziale. Uso dei prodotti notevoli nelle scomposizioni. Divisione di polinomi. Teorema del resto e teorema di Ruffini. Divisione col metodo di Ruffini e scomposizione. Ricerca dei divisori di primo grado (nella forma “x+h”). Scomposizione del trinomio di secondo grado con somma e prodotto (trinomio particolare, in entrambe le forme: x2+sx+p oppure ax2 +bx+c). Frazioni algebriche: definizione e condizioni di esistenza. Equivalenza, moltiplicazione e addizione tra frazioni algebriche. Semplificazione di frazioni. Equazioni. Classificazione relativa alla forma (numeriche/letterali, intere/fratte) e alle soluzioni (determinate, indeterminate, impossibili). La definizione di soluzione e le equazioni equivalenti. I principi di equivalenza. Metodo di risoluzione delle equazioni di primo grado numeriche intere. Risoluzione di problemi attraverso l'applicazione di opportune equazioni. La legge di annullamento del prodotto e la risoluzione di equazioni di grado superiore al primo. Equazioni numeriche fratte: condizioni, metodo di risoluzione e verifica dell'accettabilità delle eventuali soluzioni. Equazioni letterali intere. Cenno alle equazioni letterali fratte, con discussione della soluzione. Equazioni in due incognite e definizione di soluzione. Equazioni lineari e sistemi: metodo di sostituzione. Cenno alla formalizzazione di problemi risolvibili per mezzo di sistemi lineari.