MATHESIS _ ROMA
CORSO di AGGIORNAMENTO di
FISICA
ELETTRROMAGNETISMO
E
RELATIVITA’
Adriana Lanza
I.T:T. “COLOMBO” via Panisperna, 255
16 marzo 2016
Conseguenze del passaggio dalle trasformazioni di
Galileo alle trasformazioni di Lorentz
Fisica classica
Il passaggio (S
S’) da un riferimento inerziale
ad un altro ,S’ , si rappresenta con le
Trasformazioni di Galileo.
Il principio di Relatività asserisce l’invarianza delle
leggi fisiche rispetto al passaggio
(S
S’)
Le leggi meccaniche sono invarianti in forma
rispetto alle T.G.
Le leggi dell’elettromagnetismo non sono invarianti
in forma rispetto alle T.G
PER LA MECCANICA VALE IL PRINCIPIO DI
RELATIVITA’
PER L’ELETTROMAGNETISMO NON VALE IL
PRINCIPIO DI RELATIVITA
Fisica relativistica
Il passaggio (S
S’) da un riferimento
inerziale S ad un altro, S’, si rappresenta
con le Trasformazioni di Lorentz
Le leggi classiche dell’Elettromagnetismo
sono invarianti in forma rispetto alle T.L.
PER L’ELETTROMAGNETISMO VALE IL
PRINCIPIO DI RELATIVITA
Le leggi classiche della Meccanica non sono
invarianti in forma rispetto alle T.L.
Le leggi della Meccanica vengono modificate :
le leggi della meccanica relativistica sono
invarianti in forma rispetto alle T.L.
ANCHE PER LA MECCANICA VALE IL PRINCIPIO
DI RELATIVITA’
A differenza di quanto accade per la
Meccanica classica
• La sintesi relativistica
Le leggi di trasformazione
comporta un
dei campi
arricchimento o una
elettromagnetici nel
reinterpretazione
passaggio (S
S’)
dell’Elettromagnetismo
possono essere dedotte
classico ma non una sua
in modo formale
revisione profonda
Trasformazioni di Lorentz del Campo Elettromagnetico
permettono di mettere in relazione le componenti dei campi elettrici e magnetici misurati dai due
osservatori O e O'. Supponiamo che essi siano in moto relativo rettilineo uniforme lungo l'asse x con
velocità v,
Ex ' Ex
E y ' E y vB z
E ' E vB
z
y
z
B ' B
x
x
v
By ' By 2 E z
c
v
Bz ' Bz 2 E y
c
Tali espressioni mostrano come il campo magnetico ed il campo elettrico
siano due manifestazioni dello stesso ente fisico, il campo
elettromagnetico.
A seconda del sistema di riferimento , lo stesso campo è osservato in
modo diverso.
E’ possibile che in un riferimento il campo sia puramente magnetico o
puramente elettrico, mentre nell'altro si osservino entrambi.
Trasformazioni di Lorentz del campo Elettromagnetico
• Le equazioni hanno una • E’ , comunque,
forma abbastanza
senz’altro più efficace,
semplice ma la
per la comprensione dei
dimostrazione richiede
fenomeni fisici,
strumenti e concetti
soffermarsi soprattutto
matematici di livello
su alcuni esempi
avanzato ( derivate
parziali, tensori)
ESEMPI IDONEI A :
A) Illustrare come gli
effetti relativistici
influiscono sui risultati
di alcuni problemi
classici
B) Mostrare come alcuni effetti
magnetici siano essenzialmente
conseguenza delle Trasformazioni
di Lorentz associate
all’applicazione della legge di
Coulomb ( o di Gauss) e
all’invarianza della carica totale
Invarianza della carica
• Può essere considerata un postulato
supplementare oppure un’ipotesi di facile
evidenza sperimentale:
• Per esempio: se la carica dipendesse dalla
velocità, e quindi dal riferimento, scaldando un
corpo dovrebbe venir meno l’equilibrio
elettrostatico.
• Infatti protoni e elettroni ,acquistando velocità
diverse per la loro differenza di massa, non
avrebbero più cariche uguali e opposte
Primo esempio
Il lavoro del Campo elettrico
• Qual è l’energia cinetica acquistata da una
particella carica q , che parte dalla quiete in
un campo elettrico uniforme, quando si
muove attraverso una d.d.p.D V0 ?
Secondo la fisica classica
• qDV0 = ⅟2 m v2
• Al crescere di DV0 la velocità cresce
indefinitamente
• Questo è impossibile nella Fisica relativistica
per l’esistenza di una velocità limite!
• Quale termine va modificato?
Il secondo
Esperimento della velocità limite
• Nel 1963 l’equipe dello scienziato William
Bertozzi effettuò, presso il MIT, un
esperimento per dimostrare l’esistenza della
velocità limite.
• Facendo uso dell’apparato sperimentale
schematizzato nel seguito, venivano creati
degli elettroni liberi che poi erano accelerati
mediante opportune differenze di potenziale
L’apparato sperimentale
L’apparato sperimentale
- generatore elettrostatico di Van de Graaff: per produrre cariche elettriche e
fornire loro un’energia cinetica fino a 1,5 MeV tramite lavoro elettrostatico.
- LINAC (acceleratore lineare): un tubo metallico al cui interno, nella prima parte
dell’esperimento, non vi sono campi elettrici, a differenza della seconda parte,
durante la quale contribuisce ad accelerare gli elettroni.
- disco di alluminio: su cui urtano gli elettroni al loro arrivo e abbastanza spesso
da impedire che essi lo attraversino.
- oscillografo: uno strumento connesso alle posizioni di partenza e arrivo degli
elettroni tramite due cavi identici che introducono lo stesso ritardo.
Misure
•
•
•
Differenza di potenziale
Energia cinetica ( mediante calore ceduto
alla piastra di alluminio)
Velocità degli elettroni, tramite il tempo
di transito
I valori sperimentali di v2 sono vicini alle previsioni della Relatività e
molto lontani da quelli classici
I Grafici
Secondo esempio
Il ciclotrone
•
La forza centripeta ,che trattiene le particelle nella
traiettoria circolare, è generata dal campo magnetico
trasversale B per effetto della forza di Lorentz.
•
Raggio r = mv/qB
•
Per una particella di massa costante la frequenza
necessaria è indipendente dal raggio dell'orbita.
ω = qB/m
Quando la particella si avvicina alla velocità della luce la
trattazione non relativistica esposta sopra non è più sufficiente, e
questo richiede delle correzioni alla frequenza o all'intensità del
campo magnetico.
Terzo esempio
(adattamento da Bergamaschini-Marazzini-Mazzoni- Fisica 3 Carlo Signorelli Editore)
• Interpretazione relativistica del Campo Magnetico
• Una carica positiva q è posta , in quiete, a distanza r da un filo di
lunghezza L, su cui è distribuita uniformemente una carica Q anch’essa
positiva
(r<<L Densità lineare = Q/L = λ )
• Per un osservatore O, solidale con q e con la distribuzione di cariche ,
esiste un campo elettrico di intensità uguale a
Sulla carica q agisce una forza elettrica Fc = qE
Sia O’ un osservatore in moto rispetto a O
Osservatore O solidale con le
cariche
O
F
+q
ooooooooooooooooooo
++++++++++++++++++++
Osservatore O’ in moto rispetto
a O con velocità -v
O’
+q
v
ooooooooooooooooooo
++++++++++++++++++++
v
=
Secondo l’osservatore O’ la fila di cariche si comporta
come una corrente elettrica di intensità I = DQ/Dt
Poiché quantità di carica che passa nell’unità di tempo non è altro che il
rapporto
si ha
La corrente I genera un campo magnetico il cui valore può essere dedotto
dalla legge di Biot-Savart
Secondo la Fisica classica O osserva un campo elettrico
mentre O’ rileva sia la presenza di un campo elettrico , sia la
presenza di un campo magnetico , le cui linee di campo sono
circonferenze aventi il centro sul filo e giacenti su piani ad esso
perpendicolari
Secondo O’
sulla carica q agisce una forza
repulsiva coulombiana
ma anche la forza di Lorentz,
dirette come in figura
Interpretazione relativistica
• Secondo le leggi della Relatività
Speciale i calcoli precedenti
devono subire alcune modifiche
• La quantità di carica è la stessa
nei due riferimenti ma non lo è la
densità di carica che , poiché
dipende dalla lunghezza, è
relativa all’osservatore.
• Ad una lunghezza DL misurata da
O che è in quiete rispetto alle
cariche, corrisponde una
lunghezza DL’ contratta, misurata
da O’, per il quale la fila di
cariche è in moto con velocità v.
In corrispondenza si trova un valore maggiore della densità di
carica e dell’intensità di corrente
Per O’
Il campo elettrico ha intensità
La corrente genera un campo magnetico
Essendo
La distanza r è invariante in
quanto perpendicolare alla
velocità
=
Introduciamo un riferimento cartesiano come in figura, con
l’asse x coincidente con la retta su cui giacciono le cariche
Nel punto A ,per O è presente un campo elettrico diretto lungo
l’asse z
Per O’ esiste un campo elettrico diretto lungo l’asse z e un
campo magnetico diretto lungo l’asse y
Dalle equazioni
Ex ' Ex
E y ' E y vB z
E ' E vB
z
y
z
B ' B
x
x
v
By ' By 2 E z
c
v
Bz ' Bz 2 E y
c
essendo
si ha
In accordo coi risultati trovati per via diretta
L’intima relazione tra i campi E e B viene resa
palese
• La presenza del campo
magnetico è conseguenza
degli effetti relativistici
(contrazione delle
lunghezze e dilatazione del
tempo)
• Gli effetti magnetici sono
effetti relativistici di un
campo elettrico statico
L’ unificazione dei concetti di campo elettrico
e magnetico segue una serie di unificazioni
caratteristiche della Teoria della Relatività
(spazio e tempo, energia e momento, campo
elettrico e campo magnetico).
