1970-1971 - Docenti.unina

Anno accademico 1970-1971
Dissertazione: Esporre brevemente, motivando la risposta, qualche notevole
proprietà che distingue i numeri razionali tra i numeri reali.
1) Dimostrare che se due triangoli isosceli hanno la stessa altezza (rispetto alla
base) e la stessa mediana rispetto al lato, essi sono uguali. Indicare una
costruzione del triangolo, dati i due segmenti altezza e mediana, oppure
determinare i lati del triangolo sapendo che l’altezza misura 2 𝑐𝑚 e la mediana
2√5 𝑐𝑚.
Si chiama mediana di un triangolo relativa ad un lato quel segmento che unisce il punto medio
del lato con il vertice opposto. Poiché un triangolo ha tre lati, le mediane di un triangolo saranno
sempre tre. In qualsiasi triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto detto
baricentro, che è sempre interno al triangolo. Il baricentro divide ogni mediana in due parti di
cui una è il doppio dell’altra. Un triangolo si dice isoscele, dal greco isos uguale e skelos gamba,
se e solo se ha due lati congruenti, ossia aventi la stessa lunghezza. In questo caso le mediane
relative ai due lati obliqui uguali saranno uguali e la mediana relativa alla base coincide anche
con l’altezza e la bisettrice.
Si consideri un triangolo 𝐴𝐵𝐶, isoscele sulla base 𝑏 = 𝐵𝐶. Detti 𝐿 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 i due
lati obliqui, sussistono le seguenti formule per le lunghezze delle mediane
(𝑚𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 indica la mediana relativa al lato opposto al vertice)
1
𝑚𝐴 = √2(𝐴𝐶 2 + 𝐴𝐵2 ) − 𝐵𝐶 2 ,
2
1
𝑚𝐵 = √2(𝐵𝐶 2 + 𝐴𝐵2 ) − 𝐴𝐶 2 ,
2
1
2
2)
2
{ 𝑚𝐶 = 2 √2(𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 − 𝐴𝐵 .
Queste formule generali, nel caso del triangolo isoscele, detta ℎ = 𝑚𝐴 l’altezza
relativa alla base 𝐵𝐶 e posto 𝑚 = 𝑚𝐵 = 𝑚𝐶 , diventano
2
1
ℎ = √4𝐿2 − 𝑏 2 ,
2
{
1
1
𝑚 = √2(𝑏2 + 𝐿2 ) − 𝐿2 = √2𝑏2 + 𝐿2 .
2
2
Da esse si ricavano facilmente le lunghezze della base e del lato obliquo
2
𝑏 = √4𝑚2 − ℎ2 ,
3
{
2
𝐿 = √𝑚2 + 2ℎ2 .
3
Le due ultime relazioni riportate mostrano con chiarezza che, se due triangoli
isosceli hanno la mediana relativa alla base e quella ad uno dei lati obliqui uguali,
essi sono congruenti. Inoltre, si deduce che deve essere ℎ < 2𝑚.
Per la costruzione geometrica, calcolata la base, si disegna la base, poi l’asse di
questo segmento e su questo asse si riporta l’altezza, a partire dal segmento di
base. Non resta che congiungere l’estremo dell’altezza con i due estremi della
base.
Infine, adoperando i dati assegnati, cioè ℎ = 2 𝑐𝑚 e 𝑚 = 2√5 𝑐𝑚, si trova che
2
𝑏 = √80 − 4 = 4√2 𝑐𝑚 ,
3
{
2
4
𝐿 = √𝑚2 + 2ℎ2 = √7 𝑐𝑚 .
3
3
3
2) Dire se i seguenti due problemi sono equivalenti (cioè se ogni soluzione
dell’uno è anche soluzione dell’altro); in caso negativo, modificare il secondo in
modo da stabilirne l’equivalenza col primo.
(I) Determinare il raggio di base 𝑥 e l’apotema 𝑦 di un cono circolare retto,
sapendo che la loro somma è 𝑚 e che l’area della superficie totale del cono è
𝜋𝑘𝑚2 (𝑘 > 0).
(II) Determinare le soluzioni del sistema:
𝑥+𝑦 =𝑚,
𝑥 2 + 𝑥𝑦 = 𝑘𝑚2 ,
𝑥 >0,
𝑦 >0,
1
𝑘< .
2
Si rammenta, anzitutto, le principali formule per i cono circolare retto
𝑆𝐵 = 𝜋𝑟 2 , 𝑆𝐿 = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑎) , 𝑉 =
𝜋 2
𝑟 ℎ.
3
Con le formule riportate si conclude che i due problemi assegnati sono gli stessi.
In particolare, la seconda relazione discende dalla prima, dato che
4
1
𝑥 2 + 𝑥𝑦 = 𝑥(𝑥 + 𝑦) = 𝑚𝑥 ≤ 𝑚2 ,
2
osservando che nella somma 𝑥 + 𝑦 l’addendo più grande è certamente 𝑦, che è
ipotenusa in un triangolo rettangolo.
Stabilita l’uguaglianza tra i punti (I) e (II), la soluzione del sistema è semplice ed
immediata
𝑥 = 𝑘𝑚 , 𝑦 = 𝑚(1 − 𝑘) .
Il cono gelato venne inventato nel 1903 da un italiano, Italo Marchioni, originario del Cadore,
che lo brevettò a Washington D.C. e si tratta di uno dei prodotti di food design italiani più
importanti ed è famoso in tutto il mondo.
Come dice lo stesso nome, la forma è quella di un cono che in Geometria è un solido di rotazione
che si ottiene ruotando un triangolo rettangolo intorno a uno dei suoi cateti. L’asse del cono è il
cateto intorno a cui il solido è costruito; la base del cono è il cerchio ottenuto dalla rotazione
dell'altro cateto. Il vertice del cono è, infine, il punto dell'asse opposto a quello dell’intersezione
con la sua base. In Matematica un cono può essere considerato come una piramide di base
circolare. Il centro di massa di un cono di densità uniforme è sull’asse ad altezza ℎ/4 partendo
dalla base.
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3) Nel piano sono fissati due punti 𝐴, 𝐵. Sia 𝛽 una circonferenza dello stesso piano
avente centro sull’asse del segmento 𝐴𝐵 e non avente punti in comune con la retta
𝐴𝐵. Determinare, giustificando la risposta, i punti della circonferenza 𝛽 dai quali
il segmento 𝐴𝐵 è visto sotto l’angolo massimo e sotto l’angolo minimo.
La figura che segue mostra la soluzione del problema in forma sintetica.
Minimo
𝛽
𝑄
𝑃
Massimo
𝛾
𝐴
𝐵
𝑀
Detto 𝑃 il generico punto sulla circonferenza 𝛽, la chiave di volta del problema è
la circonferenza 𝛾 che circoscrive il triangolo 𝐴𝑃𝐵. Essendo secante alla
circonferenza 𝛽, incontra l’asse del segmento 𝐴𝐵 in un punto 𝑄, interno a
quest'ultima. Gli angoli 𝐴𝑃̂𝐵 e 𝐴𝑄̂𝐵 sono uguali, perché insistono sullo stesso arco.
Quindi, il valore minimo o massimo di 𝐴𝑃̂𝐵 si avrà in corrispondenza di quello di
𝐴𝑄̂𝐵, che sono quelli indicati in figura.
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4) Fissato un intero positivo 𝑛, determinare il più piccolo intero 𝑚 tale che, presi
comunque 𝑚 numeri, una almeno delle seguenti eventualità si verifichi:
(a) tra gli 𝑚 numeri considerati, ve ne sono 𝑛 uguali;
(b) tra gli 𝑚 numeri considerati, ve ne sono 𝑛 distinti.
Si consideri un insieme 𝑆 di numeri che non verifica le due proprietà. In 𝑆 vi sono
allora non più di 𝑛 − 1 tipi diversi di numeri, altrimenti la proprietà (b) sarebbe
soddisfatta, e di ciascun tipo ve ne sono non più di 𝑛 − 1, in caso contrario sarebbe
verificata la (a). Dunque, 𝑆 non può contenere più di
(𝑛 − 1 )(𝑛 − 1 ) = (𝑛 − 1)2
elementi. Si osserva però che deve risultare
𝑚 > (𝑛 − 1)2
risultando facile costruire un insieme di (𝑛 − 1)2 numeri che non contiene 𝑛
numeri uguali né contiene 𝑛 numeri diversi fra loro. Basta prendere 𝑛 − 1 classi
ciascuna contenente 𝑛 − 1 numeri uguali fra loro, in modo che elementi di classi
diverse siano diversi. Ad esempio, si possono utilizzare le classi
1 ,1 ,⋯1 , ⏟
2 ,2 ,⋯2 , ⋯ ⏟
𝑛 − 1 ,𝑛 − 1 ,⋯𝑛 − 1 .
⏟
𝑛−1 volte
𝑛−1 volte
𝑛−1 volte
In definitiva, il più piccolo m per cui è certamente verificata una delle eventualità
(a) e (b) è dato da
(𝑛 − 1)2 + 1 .
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5) (In questo esercizio “numero” significa “intero positivo”).
È immediato constatare che ogni numero dispari è somma di due numeri
consecutivi. Dimostrare, più in generale, che ogni numero avente un divisore
dispari maggiore di uno è somma di (più) numeri consecutivi. Vi sono altri numeri
aventi questa proprietà?
«Dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell’uomo»
Leopold Kronecker (Legnica, 7 dicembre 1823 – Berlino, 29 dicembre 1891)
Se si indica con
𝑑𝑛 = 2𝑛 + 1 (𝑛 ∈ ℕ) ,
il generico numero dispari, è veramente immediato constatare che ogni numero
dispari è somma di due numeri consecutivi, dato che
𝑑𝑛 = 𝑛 + (𝑛 + 1) .
Ora, il testo chiede di mostrare che ogni numero
𝑚
= 𝑘 → 𝑚 = (2𝑛 + 1)𝑘
2𝑛 + 1
avente un divisore dispari maggiore di uno è somma di o più numeri consecutivi.
Questa tesi è praticamente immediata nel caso in cui 𝑛 < 𝑘 e si ottiene
rappresentando 𝑚 come la somma dei 2𝑛 + 1 numeri consecutivi
𝑚 = (𝑘 − 𝑛) + ⋯ + (𝑘 − 1) + 𝑘 + (𝑘 + 1) + ⋯ + (𝑘 + 𝑛) ,
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ovvero in maniera più formale come la sommatoria
𝑛
𝑚 = ∑ (𝑘 − 𝑠) = (2𝑛 + 1)𝑘 .
𝑠=−𝑛
Il numero di addendi, cioè il divisore, è dispari (2𝑛 + 1) ed in tal modo tutti i
termini negativi in 𝑠 si semplificano con quelli positivi.
Nel caso in cui 𝑛 ≥ 𝑘 , invece, si può scrivere il numero 𝑚 si può scrivere come
𝑘
𝑚=
∑ (𝑠 + 𝑛) = 𝑘 + 2𝑘𝑛 = (2𝑛 + 1)𝑘 .
𝑠=−𝑘+1
Dato che le sommatorie precedenti discendono dalle due identità
(𝑛 + 𝑘)(𝑛 + 𝑘 + 1) (𝑘 − 𝑛)(𝑘 − 𝑛 − 1)
−
, 𝑛<𝑘,
2
2
(2𝑛 + 1)𝑘 = {
(𝑛 + 𝑘)(𝑛 + 𝑘 + 1) (𝑛 − 𝑘)(𝑛 − 𝑘 + 1)
−
, 𝑛≥𝑘,
2
2
allora si può dire che i numeri triangolari
𝑛
𝑇𝑛 = ∑ ℎ =
ℎ=1
𝑛(𝑛 + 1)
, per 𝑛 > 1 ,
2
godono tutti della medesima proprietà, essendo sempre divisibili per un numero
dispari ed essendo rappresentabili come somma di interi positivi successivi. Si
chiamano triangolari i numeri che, immaginati come palline, possono essere
disposti a formare un triangolo equilatero, come mostra la figura che segue.
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Più in generale, sono detti cortesi i numeri naturali che possono essere
rappresentati come somma di due o più interi positivi consecutivi. I numeri non
rappresentabili in questo modo sono detti scortesi. Si potrebbe dimostrare che gli
unici numeri scortesi sono le potenze di 2.
Enrico Bombieri: un grande genio matematico italiano.
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