Presentazione di PowerPoint

Motivazioni
Metodo di eliminazione di
Gauss
 Molti problemi si possono
rappresentare mediante un sistema
lineare
 La soluzione di un sistema lineare
costituisce un sottoproblema di
moltissime applicazioni del calcolo
scientifico
Obiettivo
Il problema
Sistemi lineari
 Studiare algoritmi per il calcolo della
soluzione numerica di sistemi lineari
 Numeri di macchina
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Ipotesi su A
Teorema di esistenza e
unicità
Metodi per il calcolo della
soluzione
SISTEMI “FACILI”: diagonali
 DIRETTI: con un numero finito di
operazioni si calcola la soluzione.
 ITERATIVI: si costruisce una
successione di vettori che all’infinito
si avvicina alla soluzione del sistema.
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SISTEMI “FACILI”: triangolari
inferiore
Algoritmo di sostituzione
all’avanti
superiore
Si può dimostrare che l’inversa di una matrice triangolare
inferiore (superiore) è ancora una matrice triangolare
inferiore (superiore)
Algoritmo di sostituzione
all’indietro
Complessità computazionale degli
algoritmi di sostituzione all’avanti e
all’indietro
Divisioni e
prodotti
Somme
3
Sistemi qualunque
 Calcolo dell’ inversa:
Sistemi qualunque
 Metodo di Cramer : esempio
(floating point con =10, t=6)
Complessità
computazionale del
metodo di Cramer
Metodo di eliminazione
*
+
Se 1 nsec
per eseguire il prodotto e
4
Metodo di eliminazione
Metodo di eliminazione
*
*
+
+
Metodo di eliminazione
Strategia:
 Costruire un sistema equivalente più
semplice
 Combinazioni lineari delle righe
della matrice (= equazioni del
sistema)
 I coefficienti della combinazione
lineare si dicono moltiplicatori
Sistema triangolare equivalente (= ha le
stesse soluzioni del sistema iniziale)
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Cambiamo punto di vista
 Le combinazioni lineari delle righe di
una matrice si possono esprimere
come prodotti matrice-matrice.
 Esempio
Esempi
1.
2.
Proprietà delle matrici di
trasformazione
Metodo di eliminazione
 Hanno determinante uguale a 1.
 Sono matrici non singolari.
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Metodo di eliminazione
Trasformazioni di Gauss
Trasformazione
elementare
di
Gauss
applicata
alla 1° colonna
1° Passo
2° Passo
7
k° Passo
Se
Dopo n-1 passi
Se
Gauss
Dopo n-1 passi
la trasformazione elementare di
è definita e
dove
triangolare superiore
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Si dimostra che:
Dimostrazione (1/4)
Dimostrazione (2/4)
Dimostrazione (3/4)
Si verifica
k-esimo elemento
di
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Dimostrazione (4/4)
Fallimento dell’algoritmo
L’ algoritmo è ben definito se tutti i perni sono non nulli
Esistono matrici non singolari su cui l’algoritmo fallisce,
poiché si incontrano perni nulli.
Condizione sufficiente
 Se i minori principali di A sono non nulli,
tranne al più l’ultimo, allora l’algoritmo è
ben definito
 Definizione: il k-esimo minore principale
di A è
Dimostrazione per induzione(1/2)
 Per k=1
 Per k=2
poiché la trasformazione di Gauss è triangolare si ha l’uguaglianza
 Inoltre si dimostra che
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Riassumendo
Dimostrazione per induzione(2/2)
 Hp di induzione:
 Teorema
Se tutti i minori principali di A sono non
nulli, tranne al più l’ultimo, allora esistono
una matrice L triangolare inferiore con
diagonale unitaria ed una matrice
triangolare superiore R tali che
 Th:
poiché le trasformazione di Gauss
è triangolare si ha l’uguaglianza
Inoltre
Th
Unicità
 Se A è non singolare e ammette la
fattorizzazione LR, allora essa è unica
 Dimostrazione:
FATTORIZZAZIONE DI A
Viceversa
 Se A ammette la fattorizzazione,
allora tutti i minori principali sono
non nulli.
=
triangolare
superiore
triangolare inferiore
con diagonale unitaria
diagonale unitaria
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Algoritmo di fattorizzazione di
Gauss
 Si sovrascrivono gli elementi della
matrice;
Elemento
perno
o pivot
Complessità computazionale
della fattorizzazione di Gauss
Complessità computazionale
Passo
Calcolo
moltiplicatori
Divisioni
Aggiornamento
degli
Somme e prodotti
1
2
k
n-1
1
1
Soluzione di un sistema
Sostituzione all’avanti
Sostituzione all’indietro
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Esempio
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