26. Limite di una funzione composta. Limiti di

Limite di una funzione
composta.
Limiti di polinomi e di
razionali.
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
Composizione
Un’altra operazione che conserva i limiti è la
composizione di funzioni:
assegnata la funzione composta
f  g  f g x 
definita in un intervallo I (limitato o non limitato)
fatta eccezione al più per un punto x 0  I,
se per x  x0 si verifica che g ( x)  l
lim f g x  lim f t 
x  x0
t l
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
1
Esempio limite funzione composta
Verificare se esiste il seguente limite

 lim e  poichè
x 0 

lim x    

 lim e  poichè
x 0 

lim x    
1
x
1
x
1

1

lim e
1
x
x 0
e   
x 0
e   0
x 0
poiché limite sinistro e limite destro 1sono diversi,
non esiste
lim e
x
x 0
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Esempio limite funzione composta
-2
1

 lim   2  x3  -2*-∞=

x  x
+∞
0
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2
Esercizi
25es. Operazioni con i limiti.pdf
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
Osservazione
non si può stabilire a priori
l’esistenza ed il valore
dei limiti che si presentano in forma
indeterminata
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3
Tecniche di calcolo
Ci occupiamo ora di studiare le più comuni
tecniche di calcolo dei limiti nel caso in cui si
presentano in forma indeterminata

0
0
0


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Tecniche di calcolo: polinomio
lim 3x
x  
3

 x 2  1      1 
    
forma indeterminata
Vediamo come è possibile sciogliere tale
forma indeterminata
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Tecniche di calcolo: polinomio per
x  
La generica funzione polinomio ha la seguente
espressione analitica
P( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an ,
con a0  0 ed n  N
Si tratta di una funzione definita in tutto R per la
quale ha senso studiare l’andamento per
x  
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
Tecniche di calcolo: polinomio per
x  
Dunque:
Per calcolare il limite di un polinomio per
x  
basta calcolare
il limite del termine di grado massimo.
Cioè:
lim a x
x  
0
n

 a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an  lim a0 x n
x  
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Tecniche di calcolo: polinomio per
x  
Vediamo quali sono le motivazioni:
se P( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an ,
con a0  0 ed n  N
P( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 
 a1 x n 1 a2 x n  2
an 

 a0 x 1 


...

n
n
n 
a0 x
a0 x
a0 x 

n
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Tecniche di calcolo: polinomio per
x  
P( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 
 a1 x n 1 a2 x n  2
an 

 a0 x 1 


...

n
n
n 
a
x
a
x
a
x
0
0
0


n

a 
a
a
 a0 x n 1  1  2 2  ...  n n 
a0 x 
 a0 x a0 x
Tutti i termini dopo 1, in
parentesi, tendono a zero per
x  
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Tecniche di calcolo: polinomio per
lim a x
x  
n
0
x  

 a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 

a 
a
a
 lim a0 x n 1  1  2 2  ...  n n  
a0 x 
x  
 a0 x a0 x
 1  lim a0 x n  lim a0 x n
x  
x  
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
Tecniche di calcolo: polinomio per
lim 3x
3

 x 2  1      1 
x  
lim 3x
x  
x  
    
forma indeterminata
3

 x 2  1  lim 3 x 3  
x  
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Tecniche di calcolo: polinomio per
lim  2 x
3

 x  7     
x  
lim  2 x
x  
3
x  

forma indeterminata


 x 2  7  lim  2 x 3  
x  
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Tecniche di calcolo
3x 3  1    

lim
2
x

2
x 
   
forma indeterminata
Vediamo come è possibile sciogliere tale
forma indeterminata
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
Limiti di funzioni razionali fratte
(rapporto di polinomi) per x  
La generica funzione razionale fratta non è
altro che una funzione espressa mediante il
rapporto tra due polinomi.
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
Pn ( x) e Qm ( x)
sono due polinomi di grado rispettivamente n
ed m, la generica funzione razionale fratta
data dal rapporto tra
Pn ( x) e Qm ( x)
è
Pn ( x) a0 x n  a1 x n 1  a2 x n 2  ...  an
f ( x) 

,
m
m 1
m2
Qm ( x) b0 x  b1 x  b2 x  ...  bm
con a0 , b0  0 ed n, m  N
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
Per calcolare il limite di una funzione
razionale fratta per x  
basta calcolare
il limite del rapporto dei termini di grado
massimo.
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an

lim
m
m 1
m2
 b2 x  ...  bm
x   b0 x  b1 x

0
se n  m
n

ax

 lim 0 m    se n  m
x   b0 x
a
 0 se n  m
 b0
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
Vediamo quali sono le motivazioni; se
Pn ( x) a0 x n  a1 x n 1  a2 x n 2  ...  an
f ( x) 

,
Qm ( x) b0 x m  b1 x m1  b2 x m2  ...  bm
con a0 , b0  0 ed n, m  N
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
Pn ( x)

(
x
)
m
lim f ( x)  lim Q
x  
x 
a0 x n 1  termini che tendono a zero per x   
 lim

m


b
x
1

termini
che
tendono
a
zero
per
x


x   0
a0 x n
 lim
m
x  b0 x
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
3x 3  1    

lim
2
x  x  2
   
forma indeterminata
3x 3  1
3x 3
 lim 2  lim 3x   
lim
2
x  x  2
x  x
x  
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
lim
x 
lim
x 
3x 3  1
 

4
x  10x  1    
forma indeterminata
3x 3  1
3x 3
3


0
lim
4
4
lim
x  10x  1 x x
x  x
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per x  
6 x5  7 x 2
 

lim
5
  
x  7 x  4
forma indeterminata
6 x5  7 x 2
6 x5
6 6


lim
lim
5
5  lim
7
x

4
7
x
7
7
x 
x 
x 
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per
x 0
Una situazione analoga si presenta
nel calcolo del limite per
x 0
di alcuni quozienti
In questo caso, al limite per
x 0
prevalgono i termini ad esponente più
basso
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Tecniche di calcolo: razionali fratte per
lim
x 0
x 0
2x2
0

 0 
x 3  3x 2  x
forma indeterminata
26. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e di razionali. Limite di una funzione composta.
Tecniche di calcolo: razionali fratte per
lim
x 0
2x2

3
2
x  3x  x
2x2

x x 2  3x  1
lim 
x 0
x 0

Termini che tendono a zero
 lim
x 0
2x2

x
lim 2 x  0
x 0
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Gerarchia di infiniti
consideriamo le tre famiglie
di funzioni
b
x
loga x,
x ,
a
con b  0, a  1
Vale che
Per
x   la funzione
loga x
è un
infinito di ordine inferiore rispetto alla
funzione potenza
x b che è a sua volta un
infinito di ordine inferiore rispetto alla
funzione esponenziale a x
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Gerarchia di infiniti
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Gerarchia di infiniti
Tutto ciò si traduce dicendo che:
loga x
 0, a  1, b  0
lim
b
x
x 
xb
 0, a  1
lim
x
x  a
b
x
lim loga x  0, a  1, b  0
x 0 
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Confronto potenza ed esponenziale
x4
ex
6.00E+03
4.00E+03
x4
2.00E+03
ex
0.00E+00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2.00E+03
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Confronto potenza ed esponenziale
x4
x
ex
0
0
1
1
1
2.718282
2
16
7.389056
3
81
20.08554
4
256
54.59815
5
625
148.4132
6
1296
403.4288
7
2401
1096.633
8
4096
2980.958
9
6561
8103.084
10
10000
22026.47
11
14641
59874.14
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Confronto potenza ed esponenziale
6.00E+03
4.00E+03
x4
2.00E+03
ex
0.00E+00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2.00E+03
7.00E+04
6.00E+04
5.00E+04
4.00E+04
x4
3.00E+04
ex
2.00E+04
1.00E+04
0.00E+00
-1.00E+04
0
2
4
6
8
10
12
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Altre forme indeterminate
Esitino altre forme indeterminate, ma che posso
essere ricondotte a quelle studiate
precedentemente
1
00
0
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