Compito del 16 sett. 2002

Facoltà di Ingegneria
Prova Scritta di Fisica I (N.O.&V.O.)
16.09.02
Esercizio n.1
Una sbarra omogenea di lunghezza L e massa M, e’ sospesa nel punto O ed è libera di ruotare nel piano verticale
attorno ad un asse orizzontale passante per tale punto. Inizialmente la sbarra è inclinata di un angolo θ0, rispetto alla
direzione verticale (vedi figura) e da questa posizione ad un determinato istante viene lasciata cadere. Raggiungendo la
posizione verticale essa colpisce, poi, una massa puntiforme m appoggiata sul piano.
Nell’ipotesi che l’asta ruoti attorni ad O senza attrito e che l’urto con la massa m sia completamente anelastico,
calcolare:
• Il modulo della velocità angolare con cui la sbarra urta la massa m appoggiata sul piano.
• L’angolo θ, rispetto alla direzione verticale, di quanto si sposta la sbarra, in seguito all’urto con la massa
puntiforme.
Si risponda, infine, alle seguenti domande, utilizzando questi dati numerici:
L=1m, M=1kg, m=M, θ0 =30o.
1. Detta M la massa della sbarra, il momento di inerzia della sbarra rispetto ad un asse orizzontale e
perpendicolare al piano della figura passante per il centro di massa della sbarra
vale:
A. ML2
O
1
2
ML
B.
2
1
C.
ML2
3
1
ML2 (*)
D.
12
m
2. Durante il moto di caduta della sbarra, la grandezza fisica che rimane costante è:
A. L’ energia cinetica della sbarra
B. L’ energia meccanica della sbarra (*)
C. La quantità di moto della sbarra
D. Il momento angolare della sbarra rispetto al punto O
3. Il modulo della velocità angolare con cui l’asta urta la massa m vale:
rad
(*)
s
rad
B. 3.84
s
rad
C. 0.23
s
rad
D. 8.54
s
A.
4.
Il modulo della velocità del centro di massa della sbarra all’istante dell’urto vale
m
s
m
B. 1.63
s
m
C. 0.99
(*)
s
m
D. 1.92
s
A.
5.
1.98
0.28
Durante l’urto tra la sbarra e la massa m, la grandezza fisica che si conserva è:
A. L’ energia meccanica della sbarra
B. Il momento angolare totale del sistema sbarra+massa rispetto al punto O (*)
C. L’ energia potenziale della sbarra
D. La quantità di moto totale del sistema sbarra+massa
M
6.
Il modulo della velocità angolare della sbarra in subito dopo l’urto vale:
rad
s
rad
B. 1.92
s
rad
C. 2.35
s
rad
(*)
D. 0.49
s
A.
7.
10.63
Al termine del moto di risalita il sistema asta+massa si è spostato, rispetto alla direzione verticale, di un
angolo θ pari a:
θ = 60 .34
B. θ = 45 .57
C. θ = 30 .16
D. θ = 8 .46 (*)
A.
Esercizio n.2
Un convoglio ferroviario percorre un tratto curvo di lunghezza 5 km e raggio di curvatura 15 km, movendosi con
accelerazione tangenziale costante. La velocità della locomotiva all’inizio del tratto è 80 km/h; alla fine di esso è
aumentata a 90 km/h. Calcolare:
• il tempo impiegato dalla locomotiva a percorrere il tratto curvo
• il modulo dell’accelerazione tangenziale della locomotiva
• il modulo dell’accelerazione normale della locomotiva alla fine del tratto curvo
• il modulo dell’accelerazione della locomotiva alla fine del tratto curvo
Rispondere quindi alle seguenti domande:
8. Il cambiamento del modulo della velocità della locomotiva è dovuto
A. all’accelerazione normale
B. all’accelerazione tangenziale (*)
C. all’accelerazione di gravità
D. all’accelerazione centrifuga
9. Il tempo impiegato dalla locomotiva a percorrere il tratto curvo vale
3
h (h=ora)
2
1
B.
h (*)
17
1
h
C.
35
2
D.
h
45
A.
10. L’ accelerazione tangenziale ha modulo
km
h2
km
B. 60 2
h
km
C. 120 2
h
km
D. 170 2 (*)
h
A. 30
11. L’ accelerazione normale alla fine del tratto ha modulo
km
h2
km
B. 540 2 (*)
h
km
C. 227 2
h
km
D. 738 2
h
A. 828
12. Il modulo dell’ accelerazione alla fine del tratto curvo vale
km
h2
km
B. 566 2 (*)
h
km
C. 632 2
h
km
D. 833 2
h
A. 928
Esercizio n.3
Un filo è avvolto intorno ad un cilindro di massa M e raggio R e può trascinare il cilindro facendolo rotolare lungo un
piano inclinato. All’altro estremo del filo è attaccata una massa m il cui
peso fornisce la forza motrice. Assumendo che il cilindro parta da fermo e
che salga lungo il piano inclinato con moto di puro rotolamento, si calcoli:
• la tensione della fune
• l’ accelerazione angolare del cilindro
• l’ accelerazione con cui cade la massa m
la velocità angolare del cilindro e la velocità di caduta della massa m
quando il cilindro è risalito lungo il piano inclinato di un tratto d
R
(vedi figura).
Valori numerici: M=3kg, R=0.3m, m=1kg,θ=30°, d=1,5m.
Si risponda quindi alle seguenti domande
13. Se il cilindro sale lungo il piano inclinato di una distanza d, il
blocco m scende di
A. 2d (*)
B.
d
d
θ
3d
2
d
D.
2
o
C.
14. La relazione tra l’accelerazione angolare α del cilindro e l’ accelerazione lineare a della massa m è
R
2
B. a = 2αR (*)
1
C. a = α
2R
R2
D. a = α
2
A.
a=α
15. Il modulo della tensione del filo vale
m
A. 2.12 N
B. 7.00 N
C. 8.65 N (*)
D. 15.34 N
16. Il modulo dell’accelerazione angolare del cilindro vale
rad
(*)
s2
rad
B. 6.17 2
s
rad
C. 9.05 2
s
rad
D. 14.57 2
s
A. 1.92
17. Il modulo dell’ accelerazione della massa m vale
m
s2
m
B. 1.15 2 (*)
s
m
C. 2.8 2
s
m
D. 0.9 2
s
A. 10.6
18. Il modulo della velocità angolare del cilindro dopo che questo è salito di d lungo il piano inclinato vale
rad
s
rad
(*)
B. 4.39
s
rad
C. 1.5
s
rad
D. 115.8
s
A.
20.5
19. Il modulo della velocità della massa m dopo che il cilindro è salito di d lungo il piano inclinato vale:
m
s
m
B. 14.8
s
m
C. 2.63
(*)
s
m
D. 4.1
s
A.
0.6
Altre domande:
21. Per un sistema di forze a risultante nulla R = 0 il momento non dipende dal polo M o = M o ,
(
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
)
(
)
A. Vero (*)
B. Falso
L’ accelerazione di gravità g di un corpo vicino alla superficie terrestre, misurata in un sistema di riferimento
inerziale, è uguale a quella misurata in un sistema solidale alla Terra
A. Vero
B. Falso (*)
Le forze apparenti non derivano dalle interazioni fondamentali e esistono solo nei sistemi di riferimento non
inerziali
A. Vero (*)
B. Falso
Siano S ed S’ due sistemi di riferimento aventi origine comune ed in moto relativo rotatorio uniforme (S’
ruota rispetto ad S con velocità angolare costante ω ). Un punto fermo e quindi con accelerazione nulla in S’,
ha accelerazione nulla anche in S
A. Vero
B. Falso (*)
Il moto del centro di massa di un sistema di particelle è determinato dalla somma vettoriale delle forze interne
e delle forze esterne
A. Vero
B. Falso (*)
Se la risultante delle forze esterne su un sistema di particelle è nulla R = 0 , la quantità di moto totale ed il
momento angolare totale rispetto ad un punto fisso in un sistema inerziale si conservano
A. Vero (*)
B. Falso
Il lavoro delle forze interne di un sistema di particelle è sempre nullo a causa del principio di azione e
reazione.
A. Vero
B. Falso (*)
Il teorema di Huygens-Steiner dice che il momento di inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che
si trova a distanza d dal centro di massa del corpo è dato da I = I CM − md 2 dove I CM è il momento di inerzia
del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo passante per il centro di massa
A. Vero
B. Falso (*)
Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito tra la ruota ed il piano compie un lavoro uguale alla
variazione di energia cinetica della ruota
A. Vero
B. Falso (*)
In un urto di una particella con un corpo rigido vincolato, la quantità di moto totale del sistema si conserva
sempre
A. Vero
B. Falso (*)
Un equilibrista gira su se stesso tenendosi attaccato ad una corda con entrambe le mani. Quando allarga le
gambe la sua velocità angolare diminuisce.
A. Vero (*)
B. Falso
La pressione di un fluido ideale in moto con regime stazionario in un condotto orizzontale è maggiore nei
punti dove la sezione del condotto aumenta.
A. Vero (*)
B. Falso
Il momento d’ inerzia di un corpo rigido dipende soltanto dalla forma e dalla massa di esso e quindi può
essere considerato, proprio come la massa, una proprietà intrinseca del corpo rigido.
A. Vero
B. Falso (*)
Un sistema di riferimento che ruota con velocità angolare ω costante rispetto ad un sistema inerziale è anch’
esso inerziale.
A. Vero
B. Falso (*)
(
)
Soluzioni
Esercizio n.1
Il moto della sbarra può essere schematizzato in 3 fasi:
1.
fase di discesa della sbarra
2.
urto completamente anelastico con m
3.
risalita del sistema sbarra+massa
Fase 1:
il moto è regolato dalla CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA per la sbarra tra l’istante iniziale in cui
la sbarra è ferma a 600 rispetto alla direzione verticale e l’istante finale immediatamente precedente all’urto con la
massa m:
K in + U in = K fin + U fin = 0 + Mg ( L −
1
L
L
cos θ0 ) = I o ω2 + Mg
2
2
2
ω=
3g
(1 − cos θ0 )
L
Fase 2:
Durante l’urto si ha la CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE TOTALE del sistema sbarra+massa
rispetto al polo O:
( 1 ) ML2
3
Lin ( sbarra ) + Lin (m) = L fin ( sbarra ) + L fin (m) = I o ω + 0 = ( I o + mL )ω' ω'=
ω
( 1 ) ML2 + mL2
3
2
Fase 3:
Durante la risalita del sistema sbarra+m si ha la CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA:
K in ( sb + m) + U in ( sb + m) = K fin ( sb + m) + U fin ( sb + m)
L
L
1
2
+ Mg = 0 + mg ( L − L cos θ) + Mg ( L − cos θ)
( I o + mL2 )ω'
2
2
2
Esercizio n.2
1
2
( I o + mL2 )ω'
(1 − cos θ) = 2
M
( + m) gL
2
km
km
la velocità iniziale, v f = 91
la
h
h
velocità finale e t il tempo impiegato per percorrere il tratto curvo . Tenendo conto che il moto lungo il tratto curvo è
uniformemente accelerato, si ha
Siano s la lunghezza del tratto curvo, R il suo raggio di curvatura, v i = 89
vi + at t = v f
1
vi t + at t 2 = s
2
t=
v f − vi
at =
at
v 2f − vi2
2s
L’ accelerazione normale a fine percorso vale
an =
v 2f
R
L’ accelerazione a fine percorso ha modulo
a = at2 + an2
Esercizio n.3
Le equazioni della dinamica applicate alla massa m ed al cilindro (il cui moto di puro rotolamento è considerato una
rotazione pura intorno all’ asse mobile passante per il punto di contatto O) danno
ma = mg − T
I o α = 2RT − MRg sin θ
dove I o =
1
3
MR 2 + MR 2 = MR 2 è il momento di inerzia del cilindro rispetto all’asse passante per O, a ed
2
2
a
sono rispettivamente l’accelerazione della massa m e l’accelerazione angolare del cilindro, T è la tensione del
2R
filo. Risolvendo il sistema si ottiene
α=
8m − 4M sin θ
g
3M + 8m
3M + 4M sin θ
mg
T=
3M + 8m
a=
L’ accelerazione angolare del cilindro risulta
α=
a
=
2R
Lo spostamento della massa m è il doppio dello spostamento del CM del cilindro; la velocità angolare ω del cilindro,
che è legata alla velocità di traslazione del suo CM dalla relazione v CM = 2ωR , e la velocità v di caduta della massa m
sono tali v = 2ωR = 2v CM .
Applicando la conservazione dell’ energia possiamo ricavare il valore di queste due quantità quando il cilindro ha
percorso un tratto d lungo il piano inclinato:
1
1
3
1
Mgd sin θ − mg 2d + I o ω 2 + mv 2 = Mgd sin θ − mg 2d + MV 2 + mv 2 = 0
2
2
16
2
da cui si ricava
v=4
ω=
2
R
2m − M sin θ
gd
3M + 8m
2m − M sin θ
gd
3M + 8m