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Condizioni al contorno
Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro
forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioni
Supponendo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività (ε 1, µ 1)
e (ε 2 , µ 2 ), rispettivamente
Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (Et) ed
ortogonali (En) alla superficie di separazione
Per le componenti tangenziali
∂
E
⋅
dl
=
−
B
⋅
dS
∫C
∫
∂t S
Δh
Et1
Δl
Et2
se Δh → 0, S → 0
1
(Et1 – Et2) Δl = 0
Analogamente
2
Et1 = Et2
Ht1 = Ht2
2
Per le componenti normali
∫∫D∙dS =∫∫∫ρvdV
Δh
Dn1
ΔS
Se Δh → 0
(Dn1 – Dn2) ΔS = ρs ΔS
Dn1 – Dn2 = ρs
se ρs = 0
analogamente
Dn1
1
Dn1 = Dn2
Bn1 = Bn2
2
ε1En1 = ε2En2
μ1Hn1 = μ2Hn2
3
■
■
Quindi la componente tangente del campo elettrico E e del
campo magnetico H sono continue sul contorno di separazione
dei due mezzi
Inoltre in assenza di cariche libere superficiali , la componente
ortogonale di D e la componente ortogonale B sono continue
sul contorno.
Se il mezzo 2 e' un conduttore ideale sulla superficie c'e' una
carica superficiale ρs ed una densita' di corrente Js.
Il campo elettrico interno è nullo.Quindi la componente tangenziale di E
è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore
E t1 = E t 2 = 0
2)SULLA SUPERFICIE DEL CONDUTTORE
C'E' UNA DENSITA' DI CARICA
il campo nel conduttore ( mezzo 2 )e' nullo e quindi
Dn = ρs
■
La componente normale dell'induzione elettrica Dn in prossimità del
conduttore ideale è pari alla densità di carica superficiale
La componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla
anche nelle immediate vicinanze
Bn =0
4)
Esiste una densita' di corrente superficiale per unita' di
larghezza del conduttore Js .
il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di
fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell)
mentre è sicuramente nullo nel conduttore
∫ H ⋅ dl = ( H t1 − H t 2 ) ∆l =
Ht1 Δl = Js Δl
ossia n x H = Js
RIEPILOGANDO :SU UN CONDUTTORE IDEALE
1) Campo elettrico tangenziale nullo
2)Campo magnetico tangenziale pari alla densità di
corrente per unita' di larghezza e perpendicolare ad
essa
3)Campo induzione elettrica normale pari alla densità
superficiale di carica
4) Campo magnetico normale nullo
Incidenza normale su una superficie di separazione tra due mezzi
Una parte dell'onda e' riflessa ed una parte e' trasmessa
NEL MEZZO 1 HO L'ONDA INCIDENTE E QUELLA RIFLESSA
Ex1 = Ei exp (-jβ1z ) + Er exp (jβ1z )
Con β1 =ω(ε1μ1)1/2
Hy1 = 1/η1 [Ei exp (-jβ1z ) - Er exp (jβ1z ) ]
Con η1 = ( μ1/ε1)½
NEL MEZZO 2 HO SOLO L'ONDA TRASMESSA
Ex2 = Et exp (-jβ2z )
Con β2 =ω(ε2μ2)1/2
Hy2= 1/η2 [Et exp (-jβ2z ) ]
Con η2 = ( μ2/ε2)
½
Ex1 = Ei exp (-jβ1z ) + Er exp (jβ1z )
Ex2 = Et exp (-jβ2z )
Per z = 0
Ex1 = Ei + Er = Ex2 = Et
ossia
Ei + Er = Et
Analogamente per il campo magnetico per z = 0
1/η1 [ Ei - Er ] = 1/η2 Et
Definisco coefficiente di riflessione
R = Er/Ei
coefficiente di trasmissione
T = Et/Ei
Risolvo il sistema ( 2 eq nelle due incognite R e T )
1+R=T
1 – R =( η1/η2) T
La soluzione e'
R = (η2 – η1 ) / (η2 + η1 )
T = 2 η2/(η2 + η1 )
Potenza riflessa Pr
Pr = R2 Pi
Potenza trasmessa Pt
Pt = Pi – Pr = ( 1 – R2) Pi
Se il mezzo 2 e' un conduttore ideale
Et = 0
Ei – Er = 0
R = -1
T=0
Ex1 = Ei [ exp (-jβ1z ) - Er exp (jβ1z ) ] = 2 j Ei sin (β1z )
IEx1I = 0 per z= 0 e per z = nλ/2
IEx1I = 2 Ei per z = nλ/4
ONDE STAZIONARIE !
( n =1,2,....)
Poiche' sul piano conduttore il campo elettrico deve essere solo normale
al contorno ne consegue che la carica immagine ha segno opposto
rispetto alla carica sorgente