LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA
(A.A. 11/12)
DISPENSA N.6
Sommario. Studiamo un esempio di teoria completa e due metodi per dimostrare la completezza. La teoria
in questione è la teoria degli ordini lineari densi senza estremi su un insieme numerabile sono isomorfi a
(Q, <). I metodi sono l’eliminazione dei quantificatori e la costruzione di un isomorfismo parziale usando la
tecnica del back-and-forth.
1. Ordini lineari densi senza estremi
La teoria degli ordini lineari densi senza punti estremi DLO ha i seguenti assiomi nel linguaggio {<, =}
(dove < e = sono simboli di relazione a due posti)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
∀x(x = x)
∀x∀y(x = y → y = x)
∀x∀y∀z(x = y → (y = z → x = z))
∀x∀y(x = y → ¬(x < y),
∀x∀y∀z(x < y ∧ y < z → x < z),
∀x∀y(x = y ∨ x < y ∨ y < x),
∀x∃y(x < y),
∀x∃y(y < x),
∀x∀y(x < y → ∃z(x < z ∧ z < y)).
Si osserva facilmente che la struttura Q = (Q, <, =) dove Q sono i razionali, < è l’ordine naturale sui
razionali e = è l’identità è un modello di DLO
DLO.
2. Eliminazione dei Quantificatori
Questo metodo è stato introdotto da Tarski (1920). Consiste nel dimostrare che ogni formula di una
teoria è equivalente (modulo quella teoria) a una fomula di un tipo particolarmente semplice. Se è possibile
decidere la validità delle formule semplici nei modelli della teoria e se la trasformazione da formule qualunque
a formule semplici è effettiva, questo dà un algoritmo di decisione per la teoria.
Un esempio molto fondamentale di formula semplice è dato dalle formule aperte. Già dalla pratica
matematica abbiamo alcuni esempi di proprietà normalmente definite usando quantificatori che si rivelano
equivalenti – almeno relativamente a certe strutture d’interesse – a proprietà definibili con formule aperte.
Consideriamo la formula ∃x(ax2 + bx + c = 0), dove a, b, c sono costanti. Nel campo reale sappiamo che
questa formula è soddisfatta se e solo se è soddisfatta la seguente formula aperta.
(a 6= 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0) ∨ (a = 0 ∧ (b 6= 0 ∨ c = 0)).
Nel campo complesso abbiamo un’equivalenza con una formula aperta ancora più semplice.
(a 6= 0 ∨ b 6= 0 ∨ c = 0).
Consideriamo ora una formula che esprime che la matrice con righe a, b e c, d è invertibile.
∃x∃y∃w∃z(xa + yc = 1 ∧ xb + yd = 0 ∧ wa + zc = 0 ∧ wb + zd = 1).
Note preparate da Lorenzo Carlucci, [email protected].
1
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DISPENSA N.6
In qualunque campo C, la formula è equivalente alla seguente formula aperta (che esprime il test del
determinante).
ad − bc 6= 0.
Diciamo che una teoria T ammette eliminazione dei quantificatori se per ogni formula F esiste una formula
G aperta (nello stesso linguaggio) tale che
T |= F ↔ G.
Teorema 2.1. DLO ammette eliminazione dei quantificatori.
Dimostrazione. Descriviamo una procedura effettiva per trasformare un enunciato S nel linguaggio di DLO
in una formula aperta S ∗ nello stesso linguaggio preservando l’equivalenza relativamente alla teoria DLO
DLO.
Sia S un enunciato nel linguaggio di DLO
DLO. Possiamo assumere che S è in forma normale prenessa.
S = Q1 x1 . . . Qn xn G,
con G aperta. Se Qn xn è ∀xn , sostituiamo ∀xn G con ¬∃xn ¬G. Possiamo cosı̀ in ogni caso concentrarci su
una formula del tipo ∃xF con F aperta. Mostriamo come trasformarla in una formula aperta consistente in
una combinazione di formule atomiche.
Essenzialmente, dopo i primi tre passi ci riduciamo al caso di formule del tipo
^
^
^
∃x( ti < x ∧
x < sj ∧
rk = x),
i<`
j<m
k<n
dove ti , sj , rk sono variabili diverse da x.
Passo 1. Sostituiamo v 6= w con (v < w ∨ w < v), e ¬(v < w) con (v = w ∨ w < v). Possiamo cosı̀
eliminare da F tutte le negazioni.
Passo 2. Scriviamo F in forma normale disgiuntiva, i.e., come disgiunzione di congiunzioni di formule
atomiche. Sia F1 ∨ · · · ∨ Fk questa forma. Osserviamo che
(∃x)(F1 ∨ · · · ∨ Fk ) ≡ (∃x)F1 ∨ · · · ∨ (∃x)Fk
Passo 3. Consideriamo i termini ∃xFi . Fi è una congiunzione di formule atomiche, ossia di formule del
tipo t < s o t = s. Se x non occorre in Fi , cancelliamo il prefisso ∃x. Se Fi è (A ∧ B) e A non contiene x,
allora
∃xF ≡ A ∧ ∃xB.
Vd
Passo 4. Consideriamo formule del tipo ∃xA con A di forma i=1 Ai con Ai formule atomiche tutte
contenenti x. Consideriamo le possibili forme di questi congiunti.
• Se esiste un congiunto di forma x = y, per qualche variabile y diversa da x, allora sostituiamo
Vd
in A ogni occorrenza di x con y e cancelliamo il prefisso ∃x. Ossia sostituiamo ∃x i=1 Ai con
Vd
i=1 Ai [x/y].
• Se tutti i congiunti sono di forma x = x, allora cancelliamo ∃x.
• Se qualche congiunto ha forma x = x (ma non tutti) allora cancelliamo x = x.
• Se esiste un congiunto di forma x < x, allora sostituiamo la formula ∃xA con x < x.
• Se i congiunti di A sono x < z1 , . . . , x < zp e u1 < x, . . . , um < x (dove gli zj e gli ui sono variabili
distinte da x) allora sostituiamo ∃xA con
^
ui < zj .
i∈[1,m];j∈[1,p]
• Se non ci sono termini ui o non ci sono termini zj , allora sostituiamo ∃xA con x = x.
Per completare la dimostrazione occorre dimostrare che tutte le trasformazioni A 7→ A∗ effettuate
mantengono l’equivalenza relativamente alla teoria DLO
DLO, i.e., per ogni A modello di DLO
DLO,
A |= (A ⇐⇒ A∗ ).
I casi critici sono gli ultimi due del Passo 4. Consideriamo il pemultimo. La formula aperta che sostituiamo
a ∃A è una conseguenza di ∃A in tutti i modelli che soddisfano gli assiomi di ordine lineare. Per ottenere
l’implicazione inversa è invece cruciale avere un modello degli assiomi di densità (per il penultimo passo)
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e di assenza di estremi (per l’ultimo passo). L’ultimo passo è lecito perché DLO contiene gli assiomi che
escludono l’esistenza di un estremo destro e di un estremo sinistro dell’ordine.
Abbiamo ridotto il nostro enunciato iniziale Q1 x1 . . . Qn xn G a una formula Q1 x1 . . . Qn−1 xn−1 G0 dove G0
è aperta. La procedura si può ripetere per eliminare i quantificatori Q1 , . . . Qn−1 . Il risultato è una formula
aperta consistente in una combinazione di formule atomiche del tipo v = v, v < v. Inoltre, la formula
ottenuta è in forma normale disgiuntiva. Sostituiamo ogni occorrenza di v = v con (v = v → v = v) e ogni
istanza di v < v con ¬(v = v → v = v). Si osserva facilmente che la formula risultante è o una istanza di
una tautologia o una istanza di una negazione di una tautologia.
Corollario 2.2. DLO è completa e l’insieme dei suoi teoremi è decidibile.
Dimostrazione. La completezza segue immediatamente dall’eliminazione dei quantificatori. Dato S, vale
che DLO |= S ↔ S ∗ , dove S ∗ è la formula aperta associata a S ∗ dal procedimento di eliminazione dei
quantificatori. Dato che S ∗ è una istanza di una tautologia o di una contraddizione, vale A |= S ∗ per ogni
struttura A oppure A |= ¬S ∗ per ogni struttura A (N.B. questo non vale per formule aperte in generale).
Dunque DLO |= S o DLO |= ¬S.
La decidibilità dei teoremi segue dalla completezza e dal fatto che l’insieme dei teoremi è algoritmicamente enumerabile. Inoltre, un algoritmo per la decisione dei teoremi di DLO si ottiene direttamente dalla
procedura di eliminazione dei quantificatori: dato un enunciato S, si ottiene effettivamente la formula aperta
corrispondente S ∗ e si decide se è una istanza di tautologia (nel qual caso DLO ` S) o di contraddizione (nel
quale caso DLO ` ¬S).
Il Lemma seguente permette di semplificare le dimostrazioni di eliminazione dei quantificatori concentrandoci sull’essenziale: basta eliminare i quantificatori da formula del tipo ∃xF con x aperta. Il resto si ottiene
per logica (è essenzialmente quello che abbiamo fatto sopra).
Lemma 2.3. Se per ogni formula aperta F con variabili libere {y1 , . . . , yn , x} esiste una formula aperta Fb
con variabili libere {y1 , . . . , yn } tale che
T |= ∃xF ↔ Fb,
allora T ammette eliminazione dei quantificatori.
Dimostrazione. Esercizio (semplice induzione sulla complessità della formula).
Il metodo di eliminazione dei quantificatori si può applicare anche a teorie più complesse. Tre esempi
fondamentali sono l’algebra elementare (per la precisione la teoria dai campi reali chiusi), la teoria dei campi
algebricamente chiusi, e la teoria dei gruppi abeliani. Vedremo anche un altro esempio, quello dell’Aritmetica
di Pressburger, o teoria dell’addizione.
Per il caso dei campi algebricamente chiusi, il problema si può ridurre all’eliminazione del quantificatore
esistenziale in formule del tipo seguente.
m
n
^
^
∃x( ti = 0 ∧
sj 6= 0).
i=1
j=1
Dato che siamo in un campo vale che s 6= 0 è equivalente a ∃z(z × s − 1 = 0) e dunque ci si può ridurre
ulteriormente a formule del tipo
m
^
∃x( ti = 0).
i=1
Osservazione 2.4. Si può dimostrare che una teoria ammette eliminazione dei quantificatori senza produrre
un algoritmo per trasformare una formula in una formula aperta equivalente (modulo la teoria). Ciò non
ostante, se la teoria è decidibile, l’esistenza di un tale algoritmo è dimostrabile a posteriori. Data una
formula F (x1 , . . . , xn ) vogliamo trovare algoritmicamente una formula aperta G(x1 , . . . , xn ) tale che T |=
∀x1 . . . , ∀xn (F (x1 , . . . , xn ) ↔ G(x1 , . . . , xn )). Una tale formula esiste perché T ammette eliminazione dei
quantificatori. Dato che l’insieme dei teoremi di T è decidibile, la ricerca è effettiva.
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DISPENSA N.6
Back-and-Forth
Si osserva facilmente che (Q, <) |= DLO
DLO. Dimostriamo che due modelli numerabili di DLO qualunque
sono isomorfi, ossia che se A |= DLO e B |= DLO allora esiste una biiezione f tra A e B tale che per ogni
a, a0 ∈ A,
A |= a < a0 ⇔ B |= f (a) < f (b0 ).
Si osserva facilmente che due modelli isomorfi soddisfano gli stessi enunciati.
Definizione 2.5 (Isomorfismo Parziale). Siano A, B modelli di DLO
DLO. Siano A0 ⊆ A, B0 ⊆ B. Una funzione
f : A0 → B0 è un isomorfismo parziale se f è iniettiva e suriettiva e per ogni a, a0 ∈ A0
A |= a < a0 ⇔ B |= f (a) < f (b0 ).
Lemma 2.6 (Estendibilità). Siano A e B modelli di DLO
DLO, e siano A0 ⊆ A e B0 ⊆ B insiemi finiti. Sia
f : A0 → B0 un isomorfismo parziale. Sia a∗ ∈ A, a∗ non nel dominio di f . Allora esiste un isomorfismo
f ∗ che estende f tale che f ∗ è definito su a∗ .
Dimostrazione. Si possono dare i casi seguenti.
• Per ogni a ∈ A0 , a∗ < a
• Per ogni a ∈ A0 , a∗ > a
• Esistono a1 , a2 ∈ A0 tali che a1 < a∗ < a2 e per ogni a ∈ A0 , a ≤ a1 o a ≥ a2 .
Dato che B |= DLO e f è un isomorfismo parziale, esiste un b∗ ∈ B tale che b∗ soddisfa i corrispondenti casi
• Per ogni b ∈ B0 , b∗ < b (perché B soddisfa ∀x∃y(y < x)).
• Per ogni b ∈ B0 , b∗ > b (perché B soddisfa ∀x∃y(x < y)).
• f (a1 ) < b∗ < f (a2 ) e per ogni b ∈ B0 , b ≤ f (a1 ) (B |= l’assioma di densità). o b ≥ f (a2 ).
Ponendo f ∗ (a∗ ) = b∗ si ottiene l’isomorfismo parziale desiderato.
Osservazione 2.7. Il Lemma di estendibilità vale anche nella direzione inversa. Sotto le stesse ipotesi,
sia b∗ ∈ B, non in B0 . Allora esiste a ∈ A tale che estendendo f in f ∗ ponendo f ∗ (a) = b∗ si ottiene un
isomorfismo parziale.
Teorema 2.8. Ogni due modelli numerabili di DLO sono isomorfi.
Dimostrazione. Siano A, B due modelli di DLO
DLO, con A = {ai }i∈N e B = {bi }i∈N . Costruiamo due catene di
insiemi finiti
A0 ⊆ A1 ⊆ · · · ⊆ A,
B0 ⊆ B1 ⊆ · · · ⊆ B,
e una catena di isomorfismi parziali
f0 ⊆ f1 ⊆ . . .
S
S
tali che fn : An → Bn è iniettiva e suriettiva, e n An = A, n Bn = B.
Definiamo gli An , Bn , fn per induzione. Passo 1: Poniamo A0 = {a0 }, B0 = {b0 }, f0 : a0 7→ b0 . Passo 2:
Consideriamo a1 . Per il Lemma di Estendibilità, scegliendo a∗ = a1 , esiste un isomorfismo parziale f1 che
estende f0 e che manda A0 ∪{a1 } in B0 ∪{bj0 } per un qualche j0 . Da notare che bj0 6= b0 , perché l’isomorfismo
dev’essere iniettivo e a0 6= a1 . Possiamo allora definire A1 = A0 ∪ {a1 } e B1 = B0 ∪ {bj0 }. Passo 3:
Consideriamo ora b1 . Se b1 = bj0 , tutto resta uguale e poniamo A2 = A1 , B2 = B1 , f2 = f1 . Altrimenti
applichiamo l’inverso del Lemma di Estendibilità e troviamo un ah1 tale che f1 estesa con ah1 → b1 è un
isomorfismo parziale tra A1 ∪ {ah1 } e B1 ∪ {b1 }. In questo caso abbiamo che ah1 è diverso a0 , a1 . Passo 4:
Consideriamo a2 . Se a2 = ah2 non cambiamo niente, altrimenti applichiamo il Lemma di Estendibilità.
Si vede chiaramente che tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B verranno presi in considerazione
in questo processo. Vogliamo assicurare che
a1 ∈ A1 , a2 ∈ A3 , a3 ∈ A5 , a4 ∈ A7 , . . .
b1 ∈ B2 , b2 ∈ B4 , b3 ∈ B6 , b4 ∈ B8 , . . .
i.e., che per ogni n > 0, an ∈ A2n−1 e bn ∈ B2n .
Dati An , Bn , fn , distinguiamo il caso n pari e n dispari e definiamo An+1 , Bn+1 e fn+1 come segue.
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(Caso n pari) Sia n = 2k. Se ak è già in An poniamo An+1 = An , Bn+1 = Bn , fn+1 = fn . Altrimenti,
applichiamo il Lemma di Estendibilità con a∗ = ak . Otteniamo cosı̀ un isomorfismo parziale fn+1 che estende
fn , manda An+1 = An ∪ {ak } in Bn+1 = Bn ∪ {bj } (per qualche j).
(Caso n dispari) Sia n = 2k + 1. Se bk è già in Bn poniamo An+1 = An , Bn+1 = Bn , fn+1 = fn .
Applichiamo l’inverso del Lemma di Estendibilità scegliendo b∗ = bk . Otteniamo cosı̀ un isomorfismo parziale
fn+1 che estende fn , manda An+1 = An ∪ {aj } (per qualche j) in Bn+1 = Bn ∪ {bk }.
Definiamo f ponendo f (an ) = fn (an ).
Dal Teorema di Completezza e dal teorema precedente segue che la teoria DLO è completa, dato che
coincide con gli enunciati soddisfatti da un singolo modello numerabile, e.g., (Q, <). Ragioniamo come
segue. Dato un enunciato E nel linguaggio di DLO
DLO, dimostriamo che
DLO 0 E ⇒ DLO ` ¬E.
Se DLO 0 E allora DLO ∪ {¬E} è coerente. Dunque – per il Teorema di Completezza – ha un modello
numerabile (perché il linguaggio di DLO è numerabile). Sia A un tale modello. A |= ¬E. Per quanto
dimostrato sopra, A è isomorfo a Q = (Q, <) e dunque Q |= ¬E. Supponiamo ora per assurdo che DLO 0 ¬E.
Allora DLO ∪ {E} è coerente. Sia B un modello numerabile di questa teoria. B |= E. Ma B è isomorfo a
Q e dunque anche Q |= E. Contraddizione.
