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Il potenziale elettrico
Il lavoro della forza elettrica e l’energia potenziale elettrica
La forza elettrica – come il peso, l’attrito e qualunque altra forza – produce un lavoro quando vi è
uno spostamento del punto di applicazione. Si può dimostrare che – come il peso, ma a differenza
dell’attrito – tale lavoro non dipende dal percorso seguito durante lo spostamento, ma solo dalle
posizioni iniziale e finale. La forza elettrica è cioè conservativa, vale a dire che, indicato con LAB il
lavoro compiuto nello spostamento da A a B, esiste una grandezza U dipendente solo dalla
posizione tale che LAB = U A − U B . La grandezza U si chiama energia potenziale elettrica.
Il potenziale elettrico
Una carica elettrica q situata in una zona in cui è presente un campo elettrico costante E risulta
soggetta alla forza F = qE . Se la carica viene spostata parallelamente al campo di un tratto ∆s, la
forza elettrica compie un lavoro pari a: L = qE·∆s. Come la forza elettrica agente su una carica è
proporzionale al valore della carica, così anche il lavoro della forza elettrica compiuto su una carica
è proporzionale alla carica stessa. Potremo cioè scrivere: L = q·∆V. Questa relazione ci permette di
definire una nuova grandezza fisica: il potenziale elettrico. Più precisamente: la differenza di
potenziale (indicata con la sigla d.d.p.) tra due punti A e B è data dal rapporto tra il lavoro LAB
L
della forza elettrica necessario per spostare una carica q da A a B e la carica q: VA − VB = AB .
q
A proposito di questa definizione osserviamo che:
1.
l’unità di misura del potenziale si chiama volt (V) ed è data dal rapporto tra quella del
1J
lavoro (joule) e quella della carica (coulomb): 1 V =
;
1C
2.
la quantità che viene misurata e che ha fisicamente significato non è tanto il potenziale
quanto la differenza di potenziale; potremo per esempio dire ugualmente che il
potenziale in A è 15 V e in B 0 V oppure che il potenziale in A è 115 V e in B 100 V: in
entrambi i casi la differenza di potenziale è di 15 V;
3.
in una regione in cui è presente un campo elettrico costante
B
E la differenza di potenziale tra due punti A e B tali che il
segmento AB misuri ∆s e sia orientato parallelamente al
A’
A
campo è VA − VB = E ⋅ ∆s , se invece il segmento AB è
orientato perpendicolarmente al campo la differenza di
E
potenziale è zero. Possiamo quindi calcolare la differenza di potenziale tra due punti
qualsiasi A e B scomponendo lo spostamento in due tratti: un primo tratto AA’ parallelo
al campo e un secondo tratto A’B perpendicolare al campo;
4.
poiché il lavoro di una forza conservativa è dato dalla variazione di energia potenziale,
tra il potenziale V e l’energia potenziale U della forza elettrica vale la relazione:
U A − U B = q ⋅ (VA − VB ) , cioè il potenziale è l’energia potenziale per unità di carica.
Il potenziale di una carica puntiforme
Se il campo elettrico non è costante non possiamo più scrivere semplicemente VA − VB = E ⋅ ∆s , in
quanto il valore di E cambia tra A e B. Se il campo è generato da una carica puntiforme Q secondo
1 1
la legge di Coulomb si può dimostrare che VA − VB = kQ − , dove rA e rB sono le distanze da
rA rB
Q dei punti A e B. Poiché il potenziale è una grandezza scalare, se sono presenti più cariche la
differenza di potenziale tra due punti si ottiene calcolando prima il contributo di ogni singola carica
secondo la formula che abbiamo appena visto, e poi sommando tutti i contributi. Osserviamo infine
2
che se il punto B è molto distante dalla carica Q (si dice in tal caso che B è un punto all’infinito) il
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è così piccolo da poter essere trascurato; questo ci permette di parlare di potenziale in
termine
rB
kQ
un punto A: VA =
, intendendo implicitamente che si tratta della differenza tra il potenziale in A
rA
e un punto all’infinito, cosa che non era possibile nel caso del campo uniforme.
Le superfici equipotenziali e la distribuzione delle cariche sui conduttori
Nel caso del campo uniforme i piani perpendicolari alla direzione del campo sono superfici a
potenziale costante (abbiamo infatti visto che per uno spostamento perpendicolare alla direzione del
campo la differenza di potenziale è zero). Se invece il campo è generato da una carica puntiforme il
potenziale dipende dalla distanza tra il punto e la carica, cosicché le superfici a potenziale costante
sono quelle per cui la distanza dalla carica sorgente del campo è costante, cioè sfere con il centro
nella carica. Le superfici a potenziale costante si chiamano superfici equipotenziali e godono della
proprietà di essere in ogni punto perpendicolari alle linee del campo elettrico. Nei conduttori le
cariche, libere di muoversi, si
dispongono in modo tale che –
raggiunto l’equilibrio elettrostatico –
la superficie del corpo sia
equipotenziale. Se così non fosse, il
campo avrebbe una componente
lungo la superficie e le cariche non
potrebbero essere in equilibrio.
Il potenziale elettrico nel quotidiano
Di tutte le grandezze elettriche che abbiamo visto, il potenziale è quella con cui abbiamo concretamente a
che fare ogni giorno. Infatti non ci capita mai di entrare in un negozio per comprare delle cariche elettriche o
una sorgente di campo elettrico, lo facciamo invece per acquistare dispositivi che generano differenze di
potenziale. Questi sono le comuni pile; sulle confezioni leggiamo infatti 1,5 V, oppure 9 V, ecc. Ciò significa
che tra i due poli della pila vi è una differenza di potenziale appunto di quel valore. Anche la batteria
dell’automobile è un dispositivo per generare una differenza di potenziale; il suo funzionamento è basato
sullo stesso principio della pila, cioè trasformazioni chimiche. Alle prese che si trovano in tutte le case
invece giunge attraverso i cavi elettrici, dopo un viaggio che può essere anche di centinaia di chilometri, una
differenza di potenziale variabile nel tempo che ha un valore massimo pari a 310 V e che è prodotta in
potenti centrali sfruttando l’energia dell’acqua che cade, o il calore liberato dalla combustione di olio o
carbone o da una reazione nucleare, o l’energia del vento.
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Verifiche di comprensione
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
La forza elettrica è in grado di produrre lavoro?
La forza elettrica è conservativa?
Come si calcola il lavoro necessario per spostare una carica in una zona a campo elettrico
costante di un tratto parallelo al campo stesso?
Come è definita la differenza di potenziale tra due punti?
Come si chiama e come è definita l’unità di misura del potenziale?
È possibile stabilire univocamente il valore del potenziale in un punto?
Come si calcola la differenza di potenziale tra due punti qualsiasi in un campo costante?
Che relazione sussiste tra il potenziale in un punto e l’energia potenziale di una carica q situata in
quel punto?
Come si calcola la differenza di potenziale tra due punti nel campo di una carica puntiforme?
Come si calcola la differenza di potenziale nel campo generato da più cariche puntiformi?
Cosa si intende con “potenziale di un punto” nel caso di campo di una carica puntiforme?
Che cosa sono le superfici equipotenziali?
Quali sono le superfici equipotenziali del campo uniforme?
Quali sono le superfici equipotenziali del campo di una carica puntiforme?
Come si dispongono le cariche su un conduttore all’equilibrio elettrostatico?
Verifiche di conoscenza
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Il lavoro della forza elettrica necessario per spostare una carica q da A a B:
a. dipende dal percorso seguito per andare da A a B
b. non dipende da q
c. è dato dalla differenza di energia potenziale elettrica tra A e B
d. è sempre nullo
Il prodotto tra una differenza di potenziale e una carica è
a. un’energia
b. una forza
c. una carica
d. un campo elettrico
Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?
a. si possono misurare solo differenze di potenziale
b. in alcuni casi è possibile misurare il potenziale in un punto
c. possiamo parlare di potenziale in un punto come differenza rispetto all’infinito
d. non è possibile misurare la somma dei potenziali in due punti
In un campo costante la differenza di potenziale tra due punti è data da:
a. il prodotto tra il campo e la componente dello spostamento parallela al campo
b. il prodotto tra il campo e la componente dello spostamento perpendicolare al campo
c. il prodotto tra il campo e lo spostamento
d. il prodotto tra il campo e la carica
Il potenziale di un punto rispetto all’infinito nel campo di una carica puntiforme, raddoppiando
sia la carica che la sua distanza dal punto
a. raddoppia
b. si dimezza
c. resta invariato
d. la risposta dipende dal valore della carica sorgente
Il potenziale di un punto rispetto all’infinito nel campo di tre cariche puntiformi si calcola
a. sommando le tre cariche e applicando la regola per il calcolo del potenziale di una carica
b. calcolando il potenziale dovuto separatamente alle tre cariche e sommando i contributi
c. facendo la media delle cariche e delle distanze e poi applicando la regola per una carica
d. non si può calcolare il potenziale per più di due cariche
Le superfici equipotenziali hanno la proprietà
a. che su di esse il potenziale vale zero
b. che la differenza di potenziale tra due punti appartenenti a due di esse è zero
c. che la differenza di potenziale tra due punti appartenenti a una di esse è zero
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d. che su di esse il campo elettrico vale zero
Problema svolto 1 – differenza di potenziale in un campo uniforme
In una regione è presente un campo elettrico di intensità 145
N
diretto nel verso delle x positive. Calcola la
C
differenza di potenziale tra l’origine e il punto di coordinate (1,00 m; 1,00 m).
Scriviamo i dati del problema
Campo elettrico: E = 145
N
, diretto secondo le x positive
C
Coordinate dei punti A(0; 0), B(1,00 m; 1,00 m)
Incognita
Differenza di potenziale: VA – VB
Analisi e soluzione
Scomponiamo lo spostamento in due tratti: da (0; 0) a (1,00 m; 0) e da (1,00 m; 0) a (1,00 m; 1,00 m). Nel
primo tratto la d.d.p. è E ⋅ ∆s = 145
N
× 1,00 m = 145 V , nel secondo è zero perché lo spostamento è
C
perpendicolare al campo, quindi in totale abbiamo una d.d.p. di 145 V.
Problema svolto 2 – differenza di potenziale nel campo di due cariche puntiformi
Due cariche puntiformi uguali del valore di 5,00·10-10 C distano tra loro 80,0 cm. Calcola la differenza di
potenziale tra il punto medio del segmento che unisce le due cariche e un punto sull’asse del segmento
distante 80,0 cm da entrambe le cariche.
Scriviamo i dati del problema
Sorgente del campo: due cariche uguali di valore Q = 5,00·10-10 C
Posizione del primo punto (A): distante rA = 0,400 m da entrambe le cariche
Posizione del secondo punto (B): distante rB = 0,800 m da entrambe le cariche
Incognita del problema
Differenza di potenziale VA – VB
Analisi e soluzione
2
1 1
1
1
9 N⋅m
= 5,62 V .
Contributo di una carica: kQ
− = 9 ⋅ 10
⋅ 5,00 ⋅ 10 −10 C ⋅
−
2
C
0,400 m 0,800 m
rA rB
A causa della simmetria della configurazione i contributi delle due cariche sono uguali, pertanto la
d.d.p. cercata è il doppio del valore calcolato per una sola carica: VA – VB = 2×5,62 V = 11,2 V.
Problemi
1.
Calcola il lavoro necessario per spostare una carica di 8,0 C attraverso una d.d.p. di 10 V
2.
Calcola la d.d.p. tra due punti distanti 45,0 cm in un campo uniforme di 88,0
3.
4.
5.
6.
7.
8.
N
orientato a 45˚ rispetto
C
al segmento che unisce i due punti
In un campo uniforme diretto secondo l’asse x positivo la differenza di potenziale tra l’origine e il punto
di coordinate (6,0 m; 5,5 m) è 12 V. Calcola il valore del campo
Calcola il potenziale rispetto all’infinito di un punto a 2,0 m da una carica Q = 8,0·10-6 C
Calcola la d.d.p. tra due punti distanti rispettivamente 8,0 e 9,0 cm da una carica Q = 1,6·10-8 C
Calcola l’energia potenziale rispetto all’infinito di una carica q = 1,2·10-8 C posta a 1,5 m da una carica
Q = 6,0·10-3 C
Calcola il potenziale rispetto all’infinito del centro del quadrato di lato 40 cm nei cui vertici sono poste
quattro cariche uguali Q = 5,0·10-8 C
Il potenziale rispetto all’infinito di un punto posto a 12,5 cm da una carica Q vale 546 V. Calcola il
valore di Q.
