La relatività galileiana

Scuola Estiva NOMI DEL TEMPO , Feltre, 17-21/7/ 2012
Pieralberto Marchetti
Universita’ di Padova
Galilei a Padova, 1592-1610 - "Li diciotto anni
migliori di tutta la mia età".
Tematiche della relazione
• Relazione geometrica tempo-spazio-causalità
• Relazione assoluta/relativa del tempo e dello
spazio con osservatori-materia-misure
• Teorie discusse: meccanica «aristotelica»,
meccanica classica di Galilei-Newton, relatività
ristretta e generale, meccanica quantistica,
teoria di campo quantistica relativistica
Il primo tempo fisico: «Aristotele»
• Penso che il primo tentativo di una visione coerente del
tempo nel contesto dei fenomeni fisici sia data nell’ambito
della fisica che definisco «aristotelica» perché è
essenzialmente motivata dalla riflessione di Aristotele
anche se reinterpretata a posteriori in un linguaggio e con
una sensibilità moderni.
• In questa visione il tempo è assoluto, indipendente
dall’osservatore e dalla materia, è una successione continua
di istanti a ciascuno dei quali corrisponde anche uno spazio
in cui anche le posizioni dei punti sono assolute, cioè è
possibile identificare univocamente un punto nello spazio a
istanti successivi. Questa visione sembra riflettere in modo
naturale la nostra esperienza fisica del tempo
razionalizzata.
La geometria del «tempo aristotelico»
• Una immagine geometrica del rapporto
tempo-spazio «aristotelici» (con lo spazio
a 2 anzicchè 3 dimensioni)
a
• Poiché ci sarà comodo in seguito, possiamo
senza perdere l’essenza dei ragionamenti
addirittura tenere solo una dimensione
spaziale, nel qual caso la relazione
tempo-spazio «aristotelica» si può
raffigurare con un sistema di assi di
riferimento cartesiani
• Poiché posso identificare un punto nello spazio a istanti
successivi la fisica di un corpo fermo è distinguibile da
quella di un corpo in moto a velocità costante
Aristotele o Copernico?
• Infatti Aristotele, probabilmente motivato dal comportamento
delle navi a remi (…se i rematori smettevano di remare la
nave perdeva velocità, con il doppio di rematori
la velocità era doppia…) aveva ipotizzato che la
forza (F) causa del moto fosse proporzionale
alla velocità (v): F ≈ v → sistemi di riferimento
con velocita’ diverse descrivevano moti differenti di un corpo,
perché con F diversa…
• Quando Galileo sostenne la tesi di Copernico che
la Terra orbita attorno al Sole (e si muove quindi
alla velocità di 30 km/s- allora stimata 1.5 km/s) ,
gli aristotelici del tempo obbiettarono che in tal
caso avremmo dovuto vedere cadere i sassi non in verticale….
La relatività galileiana
• Galileo rispose a questa obiezione con un colpo di
genio…immaginò degli esperimenti eseguiti
sottocoperta in una nave che si muovesse di moto
rettilineo con velocità uniforme arbitraria: …le stille cadenti
entreranno tutte nel vaso sottoposto…il fumo vedrassi ascender in alto,
trattenervesi e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella
parte…(Dialogo sopra i massimi sistemi 1632)
• Trasse la conclusione: in tutti i sistemi di riferimento in
moto relativo rettilineo e uniforme le leggi della fisica
hanno la stessa forma (relatività galileiana)→ i corpi
cadono verticalmente anche se la Terra si muove
• Ma allora non può essere F ≈ v ma F ≈ a (accelerazione)
infatti Galileo (Padova 1607) scrive …a principiar il moto è ben
necessario il movente, ma a continuarlo basta il non haver contrasto…
La geometria del tempo galileiano
• Una immagine geometrica del
rapporto
tempo-spazio «galileiano»
• Non è possibile identificare un punto,
diciamo del tavolo, ora e a un istante
successivo, infatti… dobbiamo tener conto solo che la Terra
ruota su se stessa, o anche che ruota attorno al Sole o anche
che la Galassia ruota, e che l’universo si espande….Invece il
tempo è lo stesso per tutti gli osservatori, è assoluto.
• Questo strano allacciamento di una direzione
«assoluta» con altre in cui le posizioni sono
relative al modo in cui le guardiamo è descritta
geometricamente dalla nozione di fibrato.
Un semplice esempio è il nastro di Moebius:
la posizione in orizzontale è definita ma quella
verticale non è definito se sia «sotto» o «sopra»
Addizione delle velocità
• Relatività galileiana → il moto di un punto P é
lo stesso in un sistema (inerziale) S1 e in uno S2 che si muove rispetto
ad esso con velocità uniforme V
Assumendo inoltre il tempo assoluto
e invarianza della lunghezza ->
x1(t) = x2(t) + v t (trasformazioni di Galileo)
e
derivando («dividendo») rispetto a t :
v1(t)=v2(t)+V ( addizione delle velocità)
Disegno con spazio a 2 dimensioni
a tempo fissato
Nel grafico spazio-tempo al contrario che nel caso «aristotelico»
non c’è un sistema con una velocità privilegiata. Per disegnare un
sistema generico osserviamo che in quello con assi ortogonali
l’asse temporale è parallelo alla linea di moto
del corpo fermo in esso mentre l’asse spaziale
descrive punti simultanei nel tempo.
Disegno con spazio a 1 dimensione per sistemi S e S’
Il determinismo newtoniano
• Una proprietà importante del tempo di Galilei-Newton in relazione
alle interpretazioni filosofiche è il determinismo:
• Se a un istante di tempo conosco le posizioni e le velocita’ dei punti
di un sistema fisico e inoltre conosco le masse e le forze agenti
(eventualmente al variare del tempo) sul sistema, allora conosco il
moto del sistema (cioe’ le posizioni e le velocita’, ma anche tutte le
altre grandezze fisiche) sia nel futuro che nel passato e il moto è
indipendente da una eventuale osservazione [determinismo ].
Matematicamente questo è conseguenza dell’unicità della soluzione delle
equazioni del moto a fissate condizioni iniziali.
• Anche se il determinismo del futuro non ci è forse naturale
psicologicamente, su di esso poggiano molti dei successi della fisica
classica, basti pensare alla capacità di previsione del moto delle
sonde spaziali…
Il determinismo classico: verifiche
• Una verifica spettacolare della possibilita’ di
prolungare all’indietro nel tempo le informazioni ad
esempio e’ la “previsione” del rallentamento del
moto di rotazione terrestre come conseguenza
dell’attrazione lunare: la minore durata del giorno
milioni di anni fa e’ riscontrabile nei cicli annuali
presenti in alghe e coralli fossili.
stromatolites (green), fossil tidal rhythmites (blue),
and fossil bivalves and coral (red)
Tempo galileiano: Commenti filosofici
• Riassumiamo le caratteristiche principali del tempo di
Galilei-Newton: è continuo (posso definire la velocità),
assoluto (indipendente dall’osservatore), ordinato
causalmente, indipendente dalla materia, globalmente
definito. Il comportamento dei sistemi rispetto al tempo è
deterministico.
• Sono naturali sia una interpretazione «presentista» del
tempo con il presente come unico istante di esistenza che
«scorre» lungo la linea del tempo, come suggerito da
Agostino, sia ,dato il determinismo (il futuro è determinato
dal presente altrettanto del passato) una interpretazione
eternista che considera esistenti tutti gli istanti di tempo. E’
naturale sia una visione presentista puramente spaziale dei
corpi che esistono nel presente , sia una eternista dei corpi
che esistono nello spazio-tempo
Crepe nella relatività galileiana
• Quando con l’esperimento di
interferenza di Young si concluse
che la luce era un fenomeno
ondulatorio si pensò necessaria
l’esistenza di un mezzo in cui le onde luminose si
propagavano. Tale mezzo fu chiamato etere e si
assunse che c ≈300000 km/s fosse la velocità di
propagazione della luce nell’etere
• Per la legge di addizione delle velocita’ se da un razzo
che si muove con velocita’ v rispetto all’etere viene
emesso in avanti un raggio di luce che ha velocita’ c
nell’etere , un osservatore solidale all’etere vedra’ la
luce viaggiare a velocita’ c+v. Questa “ovvia”
proprieta’ fu dimostrata errata dall’esperimento
(Michelson-Morley 1887)
L’esperimento di Michelson-Morley
• Che ‘razzo’ usarono? La Terra che si
muove a una velocità di 30km/s
rispetto al Sole!
• Tempi per la luce previsti con l’addizione delle
velocità: v=velocità della Terra
t||≈ (2d/c )(1+v2/c2)
t ≈ (2d/c )(1+v2/2c2)
•
cioè t||≠ t
•
Ma trovarono t||=t
•
c come costante della Natura
• Come soluzione Einstein (ma similmente Poincaré) propose
(1905) oltre all’equivalenza tra sistemi inerziali
• Il postulato della Relativita’ Ristretta:
la velocita’ della luce e’ sempre la stessa
c≈300000km/s qualunque sia la velocita’
del sistema ( inerziale) in cui la si osserva
(la luce emessa da un razzo con velocita’ v rispetto alla Terra,
dalla Terra viene vista viaggiare a velocita’ c e non c+v come ci si
aspetta, quindi in MM i tempi sono uguali come in un sistema in
quiete)
• Una conseguenza e’ che il tempo non è
assoluto (già Poincaré 1902) e quello di un
sistema in moto rispetto a noi viene visto
trascorrere piu’ lentamente.
Conseguenza: il tempo rallenta con V
• Orologio luce: scandisce il tempo con un raggio
riflesso, quando il raggio ritorna al punto di emissione
segna l’unità di tempo
lunghezza l, idealmente
l
l = 150.000 km ->
orologio fermo t=2l/c =1 s
• Consideriamo ora un orologio-luce fermo su un razzo
che viaggia con velocità V, ortogonale a l, rispetto alla
Terra. Sulla lunghezza l entrambi i sistemi concordano
perché possono
V ->
confrontarla
direttamente essendo
ortogonale a V
il tempo rallenta con V
• Consideriamo ora il tempo del razzo (tr = 2l/c)
visto dalla Terra (tT)
• Poiché la velocità della luce è c
in tutti e due i sistemi, ma la luce
deve percorrere una distanza più lunga rispetto a
quella nel razzo (2 l) impiegherà un tempo
maggiore tT>tr
Pitagora: ct=(l2 +V2t2)1/2
tT=2t = 2 l/ (c2 -V2)1/2
-> t = l / (c2 -V2)1/2
= tr/ (1 -V2/ c2)1/2
Quindi non c’è un tempo assoluto e poiché tT>0,
V<c, ossia c è la velocità massima dei sistemi
Verifica sperimentale
• Una delle prime verifiche della dilatazione del
tempo relativistica fu basata sui raggi cosmici:
vi sono particelle elementari (muoni) create da
urti nell’alta atmosfera (≈ 5-10 Km) e che
viaggiano verso la superfice terrestre a
velocita’ prossime a c, piu’ precisamente
(1-v2 /c2)-1/2 ≈10 (si puo’ verificare tramite rivelatori) .
Quando esse sono ferme (si possono produrre in
laboratorio) esistono solo per un tempo (medio)
t ≈ 2· 10-6 s, quindi in fisica classica potrebbero percorrere (in media) 600 m. Eppure
sono osservate sulla superfice terrestre,
cio’ e’ possibile solo se il loro tempo e’
dilatato, e il fattore di dilatazione relativistico (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 e’ in accordo con i dati
sperimentali.
c e la relatività della simultaneità
• Poiché c è la stessa in tutti i sistemi inerziali, invece di t
possiamo usare ct e per un raggio di luce si ha x=ct
• In sistema S1 , O equidistante da A e B , tutti fermi, emette
luce verso entrambi e si muove con velocità v rispetto a S2.
Come vede il fenomeno S2?
Relativistico
Non relativistico
In relatività la luce raggiunge simultaneamente A e B
in S1 ma non in S2!
Sistemi di riferimento relativistici
• In S1 vediamo che l’asse temporale
è parallelo alle linee che descrivono il
moto di A O B e l’asse spaziale è
parallelo alla linea di simultaneità
• Possiamo allora vedere con questa informazione
come S2 vede gli assi di S1
• Vediamo che la traiettoria della luce
biseca l’angolo tra gli assi.
• -> Sistemi
relativistici con
varie velocità
relative
Velocità della luce e causalità
• Nella zona in grigio una particella si muove con
v(uniforme)<c (interno del cono
di luce), in quella in nero con v>c
• Vediamo che D ,che è all’interno
del cono di luce di A, per tutti i
sistemi è successivo ad A, ma B,
raggiungibile da A solo con v>c,
è simultaneo ad A nel sistema
verde, successivo nel sistema rosso e precedente nel
sistema blu (ordine temporale relativo). Dunque se v>c
la causalità è violata: in un sistema di riferimento…una
particella con v>c potrebbe arrivare prima di partire…
Assoluto e relativo
• Durate temporali (e lunghezze spaziali longitudinali) sono
dunque relative al sistema di riferimento (inerziale),
rimane assoluta di un corpo la sua immagine
nello spazio-tempo. Ad esempio se abbiamo
una sbarra solidale al sistema S’, la sua immagine spazio-temporale (area tratteggiata nella figura)
è la stessa per tutti gli osservatori, ma il modo in cui è divisa in spazio e tempo (le linee del
tratteggio indicano punti simultanei nel sistema) dipendono dal sistema.
• Il tempo acquista un carattere relativo analogo allo spazio
galileiano; lo spazio non è più legato al tempo in modo
assoluto come un fibrato (come per Galileo-Newton) ma
forma un tuttuno inscindibile (varietà in linguaggio
matematico) detto spazio-tempo di Minkowski. Citando proprio
lui (1908) «Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed
to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two
will preserve an independent reality.»
Perché percepiamo un tempo assoluto?
• Forse la ragione sta nell’enorme valore della velocità della
luce c , 3000000000 su scale umane (m/s) [in un secondo
dalla Terra raggiunge la Luna]. Vediamo infatti che se
iniziamo a riscalare gli assi in modo da avere come unità m
e s, gli assi spaziali si avvicinano e tendono a coincidere
definendo un tempo assoluto. [nella figura l’asse temporale
invece di essere c s come nella precedente è (c/10) s, dovremmo
ancora ridurlo di un fattore 3 milioni!]
• Un ultimo effetto della Relativita’ che ci occorrerà e’ che
un corpo ha energia per il solo fatto di avere massa: la
celebre E= m c2. In un sistema relativistico isolato si
conserva l’energia non la massa.
Relatività + gravità = Relatività generale
• In presenza di gravità un corpo libero cade con
accelerazione g. In un sistema in assenza di
gravità un corpo non «cade» ma rimane fermo.
• Supponiamo che tale sistema in
assenza di gravità sia sottoposto ad
accelerazione costante –g, diventi
cioè un «ascensore a gravità 0».
L’ osservatore (Einstein in fig.) accelerato
vedrà allora «cadere» i corpi liberi con accelerazione g e potrebbe
concludere di essere fermo in presenza di una gravità g ( Newton in fig).
• Uno dei postulati della relatività generale, la teoria della gravitazione
di Einstein, è appunto il principio di equivalenza che asserisce che in
una piccola regione dello spazio-tempo è impossibile distinguere tra
gli effetti della gravità e di una accelerazione.
La gravità deforma la geometria
• Possiamo usare situazioni che si presentano in
sistemi accelerati per capire come funziona la
gravità. Nell’ascensore a gravità 0 accelerato un
raggio di luce che entra perpendicolarmente alla
parete viene visto incurvarsi verso il pavimento
dell’ascensore (per un osservatore
esterno è il pavimento che si avvicina
alla traiettoria del raggio).
• Per il principio di equivalenza ne concludiamo che la gravità incurva le traiettorie dei
raggi di luce che non sono più rette. Poiché la gravità
è prodotta dalla massa (o dall’energia), concludiamo
che la geometria dello spazio non è data a priori ma
determinata dalla materia (verifica sperimentale:
curvatura dei raggi di luce dalle stelle n
in prossimità del Sole)
La gravità deforma il tempo
• Ma anche il tempo si deforma in presenza di
gravità…Consideriamo un disco che ruota, l’osservatore
solidale al disco è sottoposto a una accelerazione centrifuga
che , nulla al centro, cresce all’allontanarsi da esso. Per il
principio di equivalenza è come se fosse sottoposto a un
campo gravitazionale che cresce allontanandosi dal centro.
• L’orologio-luce situato al centro è sincrono con quello
dell’osservatore esterno, ma poiché allontanandosi dal centro
il percorso del raggio di luce diventa progressivamente più
lungo, il tempo segnato rallenta. Per il principio di equivalenza
possiamo concludere che un osservatore in assenza di gravità
vedrà l’orologio di un
osservatore in un campo
gravitazionale rallentare
tanto di più quanto più
intenso è il campo.
Buchi neri e perdita del tempo globale
• Il tempo è visto rallentare sempre più al crescere de
l’intensità della gravità a cui è sottoposto l’orologio: ci
sono situazioni fisiche in cui possiamo vedere il tempo
«fermarsi» ? I raggi luminosi si incurvano verso la
sorgente della gravità, immaginiamo allora che tale
gravità sia così intensa che i raggi di luce possano
raggiungere la sorgente dell’attrazione gravitazionale
ma non possano allontanarsi da essa. Una tale sorgente
è un buco nero e la superficie da cui la luce non può
allontanarsi è il suo orizzonte.
• Un osservatore distante dal buco nero vedrebbe
l’orologio di un astronauta che vi puntasse verso
rallentare fino a «fermarsi» sull’orizzonte che non
vedrebbe quindi mai raggiunto ( nell’orologio luce, la luce
sarebbe così attirata dal buco nero che ci metterebbe un tempo «infinito»
a lasciare lo specchio…).
E’ come se per l’osservatore esterno
non ci fosse un tempo aldilà dell’orizzonte
Buchi neri: prove sperimentali
•
Ma per l’astronauta che vi sta cadendo dentro
(linea verde in fig.) invece i raggi di luce
dell’orologio luce continuano a seguire
l’astronave e il tempo c’è ancora anche al di là
dell’orizzonte,solo che superato l’orizzonte non
può più comunicarlo all’esterno
• Vediamo quindi che con la relatività non solo il
tempo dipende dagli osservatori, ma addirittura
non è più garantita l’esistenza di un tempo
globale per tutti gli osservatori!! Le verifiche
sperimentali dell’esistenza dei buchi neri sono
sempre più stringenti , in particolare si osserva la
radiazione della materia attirata verso l’orizzonte,
i buchi neri infatti continuano ad aumentare la
loro massa e il loro orizzonte “inghiottendo” la
materia vicina attratta gravitazionalmente.
Attualmente si ritiene che ci sia un buco nero al
centro di molte galassie compresa la nostra…
STELLA DIVORATA DA UN BUCO NERO
Tempo in Relatività: commenti filosofici
• Il tempo in relatività non è più assoluto, dipende
dall’osservatore, ma tutti gli osservatori sono equivalenti per la
descrizione della fisica (principio di relatività generale) . Esso
dipende anche dalla distribuzione di materia (un po’ nello spirito di
Mach), in casi limite non si può neppure definire globalmente,
quindi difficilmente si può associare a una visione presentista. In
particolare (gia’ in relatività ristretta) vi sono punti nello spaziotempo che sono nel presente di un osservatore,
ma
ma nel passato di un altro e nel futuro di un altro
ancora…quale presente esisterebbe in un approccio
presentista?
• Un eternista invece sarebbe a suo agio col
col
tempo relativistico sia perché una visione spazio-temporale dei
corpi è assoluta e una spaziale no, sia perché esso mantiene la
fondamentale proprietà del determinismo newtoniano: ad
esempio data la geometria dello spazio-tempo e note posizione
e velocità a un istante di una particella posso determinarne in
modo certo l’evoluzione sia nel passato che nel futuro. La fisica
quantistica però farà perdere anche questa proprietà…
Meccanica quantistica: crisi del determinismo
• La Meccanica Quantistica e’ la teoria fisica che descrive le
leggi che governano I fenomeni fisici a livello microscopico
(atomico o sub-atomico), ma ha anche conseguenze a
livello macroscopico, quali l’incompenetrabilita’ dei corpi, la
stabilita’ della materia e dei colori, …. il funzionamento dei
cellulari…
• La Meccanica Quantistica mette in crisi il nostro concetto di
particella e onda, e più in profondità di «realtà fisica»,
almeno su scale atomiche o subatomiche
• Le particelle quantistiche
sono «particelle» -> si
possono osservare le loro
traiettorie in una camera
a bolle (vapore soprassaturo+
particella carica-> condensazione
di goccioline d’acqua->traiettoria)
Onde e Interferenza
• Ma fasci di particelle quantistiche mostrano il
fenomeno di interferenza tipico delle «onde»
• Vediamo l’origine dell’interferenza nel caso classico
delle onde di luce che passano tra due fenditure
producendo su uno schermo frange chiare e scure
Spiegazione: Intensita’ (luminosita’) I(x)=(altezza o ampiezza a(x))2 e a
tempo fissato si sommano le ampiezze delle onde prodotte dalle
fenditure , quindi l’ampiezza totale a12(x) =a1(x)+a2(x),
ma
(a12(x))2= (a1(x) 2+(a2(x)) 2 + 2 a1(x) a2(x)
I12 (x) = I1 (x) + I2 (x) + 2 a1(x) a2(x) ← termine di interferenza
Particelle classiche
• Nessuna interferenza invece compare nel caso di
particelle classiche (se interpretiamo come analogo di I(x) il
numero di particelle N(x) che arrivano nella posizione x e con il
pedice 1,2, 12 i casi con aperta solo le fenditure 1,2,1+2)
N12(x)=N1(x)+N2(x)
Dividendo per il numero
totale N di particelle otteniamo
le probabilità p(x)=N(x)/N e p12(x)=p1(x)+p2(x)
la probabilità di trovare una particella in x con 1+2
aperte = probabilità con 1+probabilità con 2 aperta,
quindi la particella è passata o da 1 o da 2
Onde o particelle?
• Ma allora le particelle quantistiche sono particelle,
visto che (sembra) possiamo osservare le loro
traiettorie o onde, visto che mostrano il fenomeno di
interferenza?
• Per capire la situazione rifacciamo l’esperimento
delle due fenditure con un fascio di particelle
quantistiche (es. elettroni o fotoni, le particelle
quantistiche da cui è costituito il campo
elettromagnetico, quindi anche la luce) che vengono
emessi uno alla volta
• Per fortuna tutte le “particelle quantistiche”
(elettroni, fotoni,protoni…) si comportano nello
stesso modo anche se fortemente controintuitivo.
1. Gli elettroni compaiono nei rivelatori
in numeri interi come con particelle
2. Contandoli (N12 (x)) otteniamo la figura
di interferenza come con onde.
Dividendo per il numero totale (N) di
elettroni del fascio otteniamo la probabilita’ p12 (x)= N12 (x)/N che presenta quindi
il fenomeno dell’interferenza
Onde di probabilita’
• Nel caso delle onde classiche la interferenza era dovuta
al fatto che l’intensita’ era il quadrato dell’ampiezza, ma
erano le ampiezze delle onde delle fenditure che si
sommavano a tempo fissato. Per le particelle
quantistiche a tempo fissato allora poniamo la
probabilita’ p(x)=|ψ(x)|2
ψ(x)=ampiezza dell’onda di probabilita’ (introdotta da
Schroedendiger interpretata probabilisticamente da Born)
ψ12= ψ1+ ψ2 e quindi p12 =p1 +p2 +interferenza
• Quindi cosa sono le particelle quantistiche?
Sono onde o particelle?
Particelle quantistiche
Sono “particelle” la cui probabilita’ di essere
trovate a tempo fissato in una certa posizione x
[o con un certo impulso p o ...] e’ determinata
dall’intensita’ di un’onda ψ (x) [φ(p) o…] .
La situazione e’ dunque completamente diversa dal
caso classico: la Meccanica Quantistica non assegna
alle particelle di un sistema fisico una definita
posizione (o impulso) che esse posseggono a un
certo tempo, ma solo una probabilita’
(indeterminismo) di essere trovate in una posizione
con una misura, neanche di “avere” una posizione…Il
futuro è quindi indeterministico e, come vedremo,
dipendente da una eventuale misura…(“la luna
(classica) avrebbe la stessa posizione anche se non fosse
osservata, ma l’elettrone (quantistico) no…”)
Se osserviamo…disturbiamo
• Infatti gli elettroni nell’esperimento con le fenditure sono rivelati come unita’, quindi diremmo:
• L’elettrone e’ passato o dalla fenditura 1 o
dalla fenditura 2, ma la somma delle probabilita’ con una sola fenditura aperta
(senza interferenza) non e’ uguale a quella che
si ottiene quando sono aperte tutte due
(con interferenza)…
• Per capire da quale fenditura passa un elettrone
potremmo mettere una luce
dopo le fenditure in
modo che un lampo segnali la posizione dell’elettrone.
• Rifacendo l’esperimento con la luce :
Ogni elettrone lo vediamo passare da una
sola fenditura (o 1 o 2), ma la figura
di interferenza delle intensità scompare…
Nessuna traiettoria … se non osserviamo
• Nessuna di queste affermazioni per gli elettroni descritti da
ψ12= ψ1+ ψ2 e’ quindi corretta:
• L’elettrone passa da una fenditura o dall’altra (esclusa
perche’ se sommiamo il contributo dei due casi con una
sola fenditura aperta non riproduciamo quello con due
fenditure aperte)
• L’elettrone passa da entrambe le fenditure (esclusa perche’
se cerchiamo di verificare sperimentalmente troviamo
l’elettrone sempre in una sola delle fenditure)
• Quindi non e’ affatto ovvio poter assumere che le particelle
quantistiche “abbiano” una posizione se non le osserviamo,
ma solo che le “troviamo” in una posizione, se ne
eseguiamo una misura, con una probabilita’ determinata
dalla funzione d’onda (Bohr,Heisenberg,Born,Jordan,Dirac,Pauli
1927): una posizione (come valore) non preesiste alla misura
La relazione particella-onda
• La relazione tra le proprieta’ di onda e di particella delle
particelle quantistiche fa comparire (dopo c) una nuova
“costante universale” della realta’ fisica : la costante di
Planck h , distantissima come scale da quelle
dell’esperienza umana
h ≈ 6·10-34 kg m2 /s=
0.0000000000000000000000000000000006 kg m2/ s
• E(energia della particella)=h ν (frequenza dell’onda)
(Planck 1900-Einstein 1905)
• p=Mv (impulso della particella)= h/λ (lunghezza
d’onda) (de Broglie 1924)
• La piccolezza di h spiega perché la natura su scala atomica si
comporti in modo così differente dall’esperienza quotidiana.
• Però senza ħ non si spiegherebbe la stabilità della materia, non
funzionerebbero i transistor e quindi …… i vostri computer, i
vostri cellulari….
Localizzazione onda/particella
• E’ evidente però che la localizzazione
spaziale di una particella (quasi un punto) è
completamente diversa da quella di
un’onda, che se ha lunghezza d’onda ben
definita è infinitamente estesa!
Consideriamo allora una «traiettoria» di una
particella quantistica in una camera a bolle,
la funzione d’onda che la descrive deve
essere ben localizzata, ma questo si può
ottenere solo sommando onde di
diversa lunghezza d’onda, quindi
corrispondenti a velocità diverse
della particella quantistica (pacchetto
d’onde). (Matematicamente: integrale di
Fourier)
Indeterminazione spazio-impulso
• Il risultato è che se a un tempo fissato conosciamo la
posizione della particella quantistica con una
indeterminazione ∆x e la sua velocità (o impulso) con una
indeterminazione ∆v (∆p) allora vale il principio di
indeterminazione di Heisenberg:
M ∆x ∆v = ∆x ∆p ≥ h
• Ecco il significato profondo di h: è un limite alla nostra
conoscenza simultanea di x e v (o p) per una particella
quantistica!
• A sua volta il principio di indeterminazione è correlato alla
natura probabilistica e non deterministica della posizione
spaziale di una particella quantistica: se la conosciamo a un
istante t precisamente, il suo impulso è molto impreciso e
la posizione a istanti successivi fortemente indeterminata!
• La MQ è una teoria non Relativistica quindi il ruolo del
tempo è assoluto, e l’esistenza stessa delle funzioni d’onda
esige una sua presenza ad istanti definiti. Tuttavia…
Indeterminazione tempo-energia
• Tuttavia si può trovare una relazione di indeterminazione
tempo-energia, che limita la possibilità di conoscere con
precisione ∆E l’energia di un sistema il cui tempo tipico di
cambiamento è ∆t.
• Consideriamo ad esempio un pacchetto d’onde
con indeterminazione ∆x nella posizione e con
velocità del picco v, allora l’istante con cui passa
per un punto (linea azzurra in fig.) sarà nota con
precisione ∆t= ∆x/v, ma l’ energia della particella
quantistica associata sarà nota con imprecisione ∆E= v ∆p.
• Ma allora ∆E ∆ t = ∆p ∆x ≥ h per il principio
d’indeterminazione. Come risultato potrà esserci anche per
un sistema isolato violazione di conservazione dell’energia ∆E
per un tempo ∆t≤h/∆E senza che sia possibile accertarla,
quindi in modo fisicamente consistente.
Relativita’ Ristretta +Meccanica Quantistica
• Se combiniamo Relativita’+Meccanica Quantisica
appaiono fenomeni nuovi:
• A ogni particella quantistica corrisponde la sua
“antiparticella” (antimateria) con uguale massa,
carica opposta [ad esempio antielettrone=positrone, antiprotone…]
• Quando una particella collide
con la sua antiparticella
entrambe si distruggono
producendo solo radiazione
Relativita’ Ristretta+Meccanica Quantistica=
Teorie di Campo Quantistiche Relativistiche
• Una radiazione o campo intenso, elettromagnetico o
gravitazionale, viceversa, puo’ produrre coppie particellaantiparticella (Relatività: si conserva l’energia non la massa)
• Quindi il numero delle particelle quantistiche
non e’ piu’ costante
• Come i fotoni (che si possono emettere e
assorbire) sono descritti dal campo elettromagnetico cosi’
a ogni particella quantistica e’ associato un campo che la
crea/distrugge assieme alla sua funzione d’onda
• Queste particelle elementari possono decadere, essere
create,annichilate…
Tempo e interazione in TCQR
• Una funzione d’onda ha senso solo a tempo fissato, ma se il
campo interagisce non sono possibili misure a tempo fissato in
una teoria di campo quantistica relativistica.
• Lo si può arguire usando le indeterminazioni posizioneimpulso, tempo-energia e v≤c.
• Ricordiamo che ∆p= ∆E/v ma poiché v≤c, ∆E/v ≥ ∆E/c, ma da
∆E ∆t ≥ h otteniamo ∆p ∆t ≥ h/c
• Quindi una misura arbitrariamente precisa di p comporta un
tempo ∆t arbitrariamente grande per effettuarla, ma allora la
velocità (o impulso) in questo tempo non cambia solo se la
particella è libera. Quindi nella
regione d’interazione è impossibile
eseguire con precisione
misure non solo nello spazio
ma anche nel tempo, è come se ci fosse una
«nebbia spazio-temporale» durante
l’interazione…li’ dentro non vale neppure la
conservazione dell’ energia e dell’impulso.
Il tempo quantistico: commenti filosofici
• Per rendere più concreto l’incredibile comportamento delle
particelle elementari quantistiche in una teoria di campo e il
derivato indeterminismo del futuro consideriamo ad esempio
un neutrone isolato (n)…dopo circa 15 minuti della sua
esistenza (nel sistema ove è «fermo»)
esso «sparisce» e lascia al suo posto
altre tre particelle diverse (p,e,ν) , ma
è impossibile predire quando precisamente (indeterminismo) per lo specifico neutrone osservato,
né misurare esattamente il punto nello spazio-tempo in cui
avviene la «trasformazione» («nebbia» spazio-temporale
dovuta alla interazione che agisce nella «trasformazione»).
• Il carattere indeterministico del futuro nei sistemi quantistici
(osservati) rende problematica l’adozione di una visione
eternista, anche se una visione presentista è anch’essa
difficilmente sostenibile nelle teorie di campo quantistiche
relativistiche per i motivi discussi in relatività.
TCQR+RG:
• La presenza della gravità G in una TCQR (teoria ?) implica che
se cerchiamo di conoscere la posizione nello spazio- tempo di
un evento con precisione ∆x -∆t allora occorre una
fluttuazione di energia ∆E ≥ h/ ∆ t che comporta la
formazione di un campo gravitazionale nel volume di raggio
∆x che incurva lo spazio-tempo. Se ∆x è troppo piccolo si crea
un buco nero e l’informazione dell’evento non può uscire
dall’orizzonte, rendendo impossibile la misura della posizione
spazio-temporale dello stesso
evento a un osservatore esterno.
Per la relatività generale perché
il buco nero non si formi occorre
che ∆x≥(G/c4) ∆E ma allora, poiché
∆E ≥ h/ ∆ t, segue ∆x ≥ hG/(c4 ∆t)
ovvero ∆x ∆ t ≥ hG/c4
Indeterminazione spazio-temporale?
• Quindi la precisione con cui può essere nota la posizione
spaziale e anche temporale di un evento in presenza di una
teoria quantistica+ relatività generale sembra limitata da
Gh/c4, in modo analogo a come in MQ la precisione della
misura di posizione e impulso è limitata da h. Questa
proprietà era legata alla natura probabilistica della posizione
che non «ha» valore se non osservata
• La limitazione di Gh/c4 vuol allora che dire che il tempo stesso,
almeno se misurato, ha natura probabilistica? In presenza di
gravità non è neppure una funzione, non ha un valore se non è
misurato ?
• Nulla rimarrebbe delle proprietà intuitive del tempo fisico
classico: non sarebbe nè indipendente dall’osservatore con
spazio-tempo come fibrato (c) , nè indipendente dalla materia
e globale (G+c), né con futuro deterministico (h) ,nè
misurabile con arbitraria precisione (h+c), e neppure continuo
(G+c+h), !!!
Con le ultime schermate siamo ormai
entrati pienamente nel regno delle
ipotesi…saranno valide?
Come sempre in fisica da Galileo lo
decideranno gli esperimenti….
Io stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che 'l disputar
lungamente delle massime questioni senza conseguir verità nissuna.
Grazie per l’attenzione
Massa = Energia
• Un altro effetto della Relativita’ che ci occorrerà e’ che
un corpo fermo ha energia per il solo fatto di avere
massa: la celebre E= m c2
Consideriamo due corpi (1 e 2) di ugual massa
m (non-relativistica ) in una scatola con massa
totale M. Il corpo 2 ha energia che
trasferisce a 1 tramite radiazione di energia E
a cui è associato un impulso p=E/c (teoria elett-magn.)
Sotto effetto di p la scatola si muove, ma quando
l’energia della radiazione è stata assorbita da 2, avendo
(non-relativ.) 2 la stessa massa il baricentro del
sistema sembra si sia mosso senza l’azione di
forze esterne. Il problema si risolve se l’assorbimento
di E ha variato la massa di δm, corrispondente, poiché
la radiazione si muove con velocità c, a un impulso
δm c= p =E/c -> E= δm c2
In un sistema relativistico isolato si conserva
l’energia ma non la massa.
1
2
Incredibili proprietà delle particelle elementari
• Se pensiamo ‘classicamente’ come di solito, il comportamento delle particelle elementari è folle…
• Due palle nere si scontrano ad
alta v e producono 3(!) palle nere
uguali ad esse + una palla verde e una rossa (E=mc2)
• Ma nelle stesse condizioni possono
anche non produrre alcuna palla
nera, ma invece due rosa una verde e
una gialla e non sappiamo mai prima quale è il risultato ,
solo la probabilità (meccanica quantistica)
• Una palla nera ferma improvvisamente,
ma non sappiamo quando, sparisce e
lascia al suo posto una gialla,rosa,rossa…
Il cubo delle costanti universali e il tempo
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• Mecc. Class./Gravità Newtoniana (G=cost. grav.):
tempo continuo, globale, indipendente
dall’osservatore e dalla materia, spaziotempo come fibrato, futuro deterministico,
misure arbitrariamente precise
• Rel. Ristretta: relativo all’osservatore,
spazio-tempo come varietà + co,g,im,fd,mp
• Rel. Generale:non globale, dipendente dalla
materia +co,do,stv,fd,mp
co=continuo
g/ng=globale/non globale
• Mecc. Quantistica:futuro indeterministico,
io/do=indipendente/dipendente
dall’osservatore
posizioni spaziali probabilistiche +co,g,io,
stf/stv=spazio-tempo
im,mp
fibrato/varietà
im/dm=indipendente/dipendente
dalla materia
• Teoria di Campo Quant. Rel.:misure non
fd/fi=futuro
arbitrariamente precise nello spazio- tempo
deterministico/indeterministico
mp=misure arbitrariamente precise
durante la interazione +co,g,do,im,fi