Esperimento di Millikan

Esperimento di Millikan
In questo esperimento fu dimostrato per la prima volta che la carica elettrica era quantizzata,e ne fu
misurato il valore minimo, ossia la carica dell'elettrone. Si veda anche l’articolo originale: Millikan,
Phys Rev 2, 109 (1913).
In figura è illustrato schematicamente il principio dell’esperimento:
Per questo esperimento Millikan
sfruttò il moto di piccole
goccioline di olio (emulsioni,
sospensioni) immesse mediante
uno spruzzatore in una camera,
sostanzialmente costituita dalle
due placche di un condensatore.
La camera viene fortemente
illuminata trasversalemente, in
modo da rendere brillanti (a
causa della diffusione Rayleigh
della luce) le goccioline, che
vengono osservate tramite un
oculare munito di una scala
graduata. Una volta individuata
una gocciolina se ne può misurare la velocità di deriva dovuta all'equilibrio fra la forza di gravità e
quella di attrito viscoso. Dato che la gocciolina avrà alla superficie delle cariche elettriche (dovute
per esempio a strofinio, o nella versione storica dell’esperimento, a radiazioni ionizzanti), se si
applica una differenza di potenziale alle armature, si può fermare la goccia, riportarla in alto, farla
ricadere etc. Se si registrano i valori del campo elettrico che fermano la goccia, si noterà, o usando
più volte la stessa goccia, o su goccie diverse, che la serie di questi valori mostra che questi siano
tutti multipli di un valore unico, che è appunto proporzionale alla carica dell'elettrone.
Millikan originariamente per la misura usò un metodo diverso, ossia misurò la velocità delle
goccioline che salivano sotto l'azione del campo elettrico. Tali velocità variano bruscamente da
goccia a goccia o per la stessa goccia dopo ripetuti cicli di salita-discesa, ed erano inversamente
proporzionali al voltaggio applicato. Millikan trovò che erano sempre multipli di una velocità
minima. Da questo valore si può ottenere la carica dell'elettrone, con una precisione dell'0.1%.
Questa è una delle tabelle originali di Millikan.
Il valore accettato oggi per la carica dell'elettrone è: e=1.6021892 10-19 C.
Conduzione dell’esperimento
La camera di Millikan ha diametro d=8 cm, e distanza tra le armature pari a 6 mm. Alle armature si
può applicare una differenza di potenziale elettrico fornita da un alimentatore. Le goccioline sono
osservabili attraverso un oculare graduato, il cui ingrandimento deve essere calibrato dagli studenti
osservando p.es. della carta millimetrata. Le velocità di caduta ed eventualmente di risalita sono
ricavabili misurando i tempi di percorrenza con un doppio cronometro, adatto alla misura di tempi
parziali. L’olio impiegato ha densità ρ=875.3 kg/m3, la viscosità dell’aria è η=1.81x10-5 Ns/m2
Analizziamo ora in dettaglio il problema fisico posto dal moto di gocce micrometriche cariche e
poste in un campo elettrico statico. Su una gocciolina di olio in caduta libera in aria agiscono tre
forze: l'attrazione gravitazionale, la forza di frenamento dovuta alla viscosità dell'aria e la spinta di
Archimede. Quest'ultima si può considerare nulla, dato che la densità dell'olio è dell'ordine di mille
volte superiore a quella dell'aria. Essendo la forza viscosa dipendente dalla velocità, dopo un certo
tempo si avrà equilibrio tra tale forza e quella gravitazionale, quindi la goccia continuerà a cadere
con velocità costante, detta velocità limite, con equazione del moto:
dove v è la velocità limite di caduta e k la costante di frenamento dovuto alle forze viscose.
f
Con l'olio utilizzato nel nostro esperimento, nebulizzato in gocce con masse nell'ordine di 10-15 Kg,
si può dimostrare che sono valide le seguenti assunzioni:
a) il regime di moto uniforme viene raggiunto in una frazione di secondo dopo l'ingresso delle
gocce nella camera
b) le gocce hanno forma sferica
Quando viene applicato un campo elettrico le equazioni del moto a regime sono:
e
a seconda della polarizzazione delle piastre del capacitore. In esse E è l'intensità di campo elettrico,
vc e vr rispettivamente le velocità limite di caduta e risalita durante l'applicazione del campo
elettrico e q la carica elettrica totale della goccia. Da ognuna delle due equazioni del moto di cui
sopra, una volta misurate le velocità limite, si può ricavare allora la carica elettrica totale della
goccia di olio, a patto di conoscerne la massa e la costante di frenamento.
La costante k è calcolabile assumendo che il moto avvenga in regime lineare, con gocce di forma
sferica, allora vale la formula di Stokes (cioè k=6πrη , con η la viscosità dell’aria, ed r il raggio
della goccia, si veda però la nota finale riguardo all’applicabilità della formula di Stokes al nostro
caso)
Analizziamo innanzitutto dal punto di vista fisico le situazioni che possono ricorrere
nell’esperimento:
1) Gocciolina (di raggio r e densità ρ) in caduta libera:
nello stato stazionario, detta v1 la velocità terminale, si ha
Fpeso-Fstokes=0
Da cui
4/3 π r3 ρ g –6πr v1 η =0
(e si può ricavare il raggio della goccia una volta misurato v1)
(1)
2) Gocciolina, di carica Q, la cui caduta è fermata applicando una differenza di potenziale U:
l’equilibrio della forza peso con il campo elettrico E=U/d (d = distanza tra le armature) dà
4/3 π r3 ρ g –QU/d =0
(2)
3) Gocciolina fatta risalire nella camera sotto l’effetto di un campo applicato E=U/d. Detta v2 la
velocità terminale, lo stato stazionario si ha quando Fpeso+ Felettrica+ Fstokes=0, cioè
4/3 π r3 ρ g –QU/d + 6πr v2 η =0
(3)
Dato che di ciascuna goccia sono incognite sia la massa che la carica, è necessario, su ciascuna
goccia, eseguire almeno due osservazioni (la pratica suggerisce poi di ripetere tali osservazioni un
congruo numero di volte e prendere la media)
Un primo modo di condurre l’esperimento: si misura la velocità di caduta v1di una goccia in
assenza di campo elettrico applicato, e quindi la velocità di salita v2 in campo applicato U.
In questo caso si ha che la carica della gocciolina è ricavabile, combinando la (1) e la (3)
Q = 18 π η d / U * (v1+v2) √( η v1/2gρ)
E’ possibile anche un secondo modo: si ferma una gocciolina applicando una differenza di
potenziale elettrico U, e poi si misura la sua velocità di caduta vl in campo nullo. La carica della
gocciolina è allora data, dalla combinazione di (1) e (2):
Q = 18 π η d v1 /U *√( η v1/2gρ)
Questo secondo modo, più semplice concettualmente, però risulta meno accurato.
NOTE:
a. Occorre fare molta attenzione ai moti convettivi che si possono instaurare all’interno della
camera di Millikan. Per ridurne l’entità, la luce proveniente dalla lampada può essere filtrata.
b. per applicare la legge di Stokes al caso di sferette così piccole (1-2µm) da essere paragonabili al
libero cammino medio delle molecole dell’aria, bisogna introdurre un fattore correttivo: la carica
corretta, Qk si ottiene da quella calcolata assumendo valida la legge di Stokes:
Qk = Q*
dove la costante b vale 6.17*10-4 cmHg*cm, p è la pressione atmosferica (76cmHg), ed a è il raggio
della gocciolina (in cm).
c. Solo attraverso l'analisi di differenti cariche di molte gocce e un certo livello di abilità
sperimentale si può ricavare il valore della carica dell'elettrone. Infatti, se si osserva che entro gli
errori sperimentali, la cariche misurate sono tutte multiple intere di un certo valore questa è una
buona indicazione della natura quantizzata della carica elettrica e ci si può aspettare
ragionevolmente che tale valore sia quello minimo.
d. Dopo avere ripetuto l’esperimento su diverse goccioline, si riporteranno quindi in un istogramma
i valori di Q misurati. E’ importante, nella formazione dell’istogramma, scegliere oculatamente la
dimensione dei “bin”: se troppo grandi, si rischia di offuscare la natura “ granulare” della carica
elettrica, se troppo piccoli viceversa ciascun “bin” risulterà statisticamente poco occupato, e
l’incertezza associata al numero d’occupazione (che segue la statistica di Poisson) risulterà
paragonabile al numero d’occupazione stesso.