CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA
DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II, A.A. 2014-15
13-10-2014 : SUCCESSIONI DI FUNZIONI. CONVERGENZA PUNTUALE E CRITERIO DI CAUCHY. ESEMPI (fra cui la
successione geometrica). CONVERGENZA UNIFORME E CRITERIO DI CAUCHY. CNS PER LA CONVERGENZA UNIFORME (dimostrazione lasciata come esercizio). ESEMPI RELATIVI ALLE PROPRIETA' DI CONTINUITA', INTEGRABILITA'
SECONDO RIEMANN E DERIVABILITA' DELLA FUNZIONE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI FUNZIONI CONTINUE,
INTEGRABILI SECONDO RIEMANN, DERIVABILI, RISPETTIVAMENTE. TEOREMA DELLO SCAMBIO DEI LIMITI.
COROLLARIO SULLA CONTINUITA' DELLA FUNZIONE LIMITE.
15-10-2014 : TEOREMA DELLA UNIFORME CONTINUITA' DELLA FUNZIONE LIMITE. TEOREMA DELLA INTEGRABILITA' SECONDO RIEMANN DELLA FUNZIONE LIMITE E PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE.
TEOREMA DELLA DERIVABILITA' DELLA FUNZIONE LIMITE. TEOREMA DI PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL
SEGNO DI INTEGRALE IMPROPRIO (enunciati). ESEMPI RELATIVI ALLA SOMMABILITA' DELLA FUNZIONE LIMITE
ED AL PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE PER L'INTEGRALE IMPROPRIO DI PRIMA SPECIE.
20-10-2014 : TEOREMA DI PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE IMPROPRIO DI PRIMA SPECIE
(dimostrazione). TEOREMI DI PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE IMPROPRIO DI SECONDA
SPECIE (dimostrazione). TEOREMA DI DINI. TEOREMA DI POLYA. TEOREMA SULLA CONVERGENZA UNIFORME DI
SUCCESSIONI DI FUNZIONI CONVESSE.
22-10-2014 : ESERCIZI SU APPLICAZIONI DELLA CONVERGENZA UNIFORME. SERIE DI FUNZIONI. CONVERGENZA
PUNTUALE (O SEMPLICE), CONVERGENZA UNIFORME, CONVERGENZA ASSOLUTA DELLE SERIE DI FUNZIONI.
CONFRONTO FRA QUESTI TRE TIPI DI CONVERGENZA.
27-10-2014 : CRITERIO DI CAUCHY PER LA CONVERGENZA PUNTUALE E QUELLA UNIFORME DELLE SERIE DI
FUNZIONI. COROLLARIO: C.N. (NON S.) PER LA CONVERGENZA PUNTUALE O UNIFORME. OSSERVAZIONE: LA
CONVERGENZA UNIFORME DI UNA SERIE DI FUNZIONI E’ CONSEGUENZA DELLA CONVERGENZA UNIFORME
DEL TERMINE GENERALE DELLA SERIE NEL CASO SIA SODDISFATTA UNA MAGGIORAZIONE DELL’ERRORE TIPO
LEIBNITZ (si vedano anche i Teoremi di Abel e Dirichlet del primo volume del libro di testo e le corrispondenti versioni per le serie
di funzioni a pag. 26, Teorema 6.6, del secondo volume del libro di testo). TEOREMA: CONDIZIONE SUFFICIENTE DI WEIERSTRASS PER LA CONVERGENZA UNIFORME DI UNA SERIE DI FUNZIONI. ESEMPI SULLA NON INVERTIBILITA’
DEL PRECEDENTE TEOREMA. CONVERGENZA TOTALE. RELAZIONE FRA I QUATTRO TIPI DI CONVERGENZA
INTRODOTTI PER LE SERIE DI FUNZIONI. TEOREMI DI SCAMBIO DI LIMITE E SERIE, DI CONTINUITA’ DELLA FUNZIONE SOMMA, DI INTEGRAZIONE PER SERIE (per l’integrale di Riemann e per gli integrali impropri; l’enunciazione di questi
ultimi risultati è lasciata allo studente), DI DERIVAZIONE PER SERIE, DI DINI E DI POLYA PER LE SERIE DI FUNZIONI.
ESEMPI DI APPLICAZIONE DEI RISULTATI PRECEDENTI.
29-10-2014 : SERIE DI POTENZE IN R O IN C. RAGGIO DI CONVERGENZA ED INTERVALLO DI CONVERGENZA.
LEMMA E TEOREMA SULLA DESCRIZIONE DELL’INSIEME DI CONVERGENZA DI UNA SERIE DI POTENZE E SUL
TIPO DI CONVERGENZA IN TALE INSIEME. CONVERGENZA ASSOLUTA IN ALMENO UN PUNTO DI FRONTIERA
DELL’INSIEME DI CONVERGENZA E CONVERGENZA TOTALE.
31-10-2014 : TEOREMA DI ABEL (solo enunciato) NEL CASO REALE E NEL CASO COMPLESSO. INTEGRAZIONE PER
SERIE DI UNA SERIE DI POTENZE. SERIE DELLE DERIVATE DI UNA SERIE DI POTENZE. COINCIDENZA DEI RAGGI
DI CONVERGENZA DI UNA SERIE DI POTENZE E DELLA SERIE DELLE DERIVATE. COMPORTAMENTO AGLI
ESTREMI DELL’INTERVALLO DI CONVERGENZA DI UNA SERIE DI POTENZE E DELLA SERIE DELLE DERIVATE.
OGNI FUNZIONE SOMMA DI UNA SERIE DI POTENZE E’ UNA FUNZIONE DI CLASSE C∞. DETERMINAZIONE DEI
COEFFICIENTI DI UNA SERIE DI POTENZE ATTRAVERSO LE DERIVATE DELLA FUNZIONE SOMMA. SERIE DI
TAYLOR (MCLAURIN). FUNZIONI ANALITICHE. ESEMPIO DI FUNZIONE DA R IN R DI CLASSE C∞, NON ANALITICA
IN R.
03-11-2014 : CONDIZIONI SUFFICIENTI PER LA SVILUPPABILITA’ (relative a maggiorazioni delle derivate). TEOREMA DI
BERNSTEIN (solo enunciato). ALCUNI SVILUPPI IN SERIE DI TAYLOR (MAC LAURIN) NOTEVOLI. DEFINIZIONE DI
SPAZIO METRICO. ESEMPI: Rn, Cn CON METRICA EUCLIDEA (CON DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ). C0
CON METRICA LAGRANGIANA E METRICA INTEGRALE. C1 CON METRICA LAGRANGIANA. SPAZIO METRICO
DELLE FUNZIONI LIMITATE CON LA METRICA LAGRANGIANA.
05-11-2014 : ESEMPI DI SPAZI METRICI DI SUCCESSIONI LIMITATE, CONVERGENTI, INFINITESIME E DEFINITIVAMENTE NULLE. SPAZI lp o lp, DISUGUAGLIANZA DI HOLDER-RIESZ, DISUGUAGLIANZA DI MINKOWSKI.
METRICHE PRODOTTO. METRICA d/(1+d) IN SPAZIO METRICO. METRICA NEL PRODOTTO CARTESIANO NUMERABILE DI SPAZI METRICI. INTORNO SFERICO E INTORNO. OSSERVAZIONE SULLA CHIUSURA DI UN INTORNO
SFERICO. PUNTI INTERNI, ESTERNI, DI ACCUMULAZIONE, DI FRONTIERA, ISOLATI. INSIEMI APERTI, INSIEMI
CHIUSI. PROPRIETA’. ESEMPIO DI INSIEME APERTO E CHIUSO CONTEMPORANEAMENTE NON COINCIDENTE CON
TUTTO LO SPAZIO NE’ VUOTO. INSIEMI LIMITATI, DIAMETRO. CONVERGENZA IN SPAZI METRICI. METRICA IN R*
NELLA QUALE UNA SUCCESSIONE CONVERGE SE E SOLO SE CONVERGE O DIVERGE NELLA METRICA EUCLIDEA. CARATTERIZZAZIONE DEI PUNTI DI ACCUMULAZIONE E DEI PUNTI DELLA CHIUSURA DI UN INSIEME.
OSSERVAZIONI SULLA POSSIBILITA’ DI ESTENDERE RISULTATI VALIDI IN R AL CASO DI SPAZI METRICI
ASTRATTI. ESEMPI SULL’IMPOSSIBILITA’ DI ESTENDERE IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS, IL TEOREMA
DI WEIERSTRASS ED IL TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI AL CASO DI SPAZI METRICI ASTRATTI.
12-11-2014: COMPLETEZZA DI lp, 1 ≤ p < ∞. COMPLETEZZA DELLA METRICA PRODOTTO DELLO SPAZIO PRODOTTO
DI UNA SUCCESSIONE DI SPAZI METRICI. COMPLETEZZA E’ INVARIANTE PER METRICHE EQUIVALENTI SECONDO LIPSCHITZ, MA NON PER METRICHE EQUIVALENTI (esempio). TEOREMA DI BANACH-CACCIOPPOLI. APPLICAZIONE ALLO STUDIO DELLA CONVERGENZA UNIFORME DI UNA OPPORTUNA SUCCESSIONE DI FUNZIONI.
14-11-2014 : ESTENSIONE DEL TEOREMA DI BANACH-CACCIOPPOLI. MAGGIORAZIONE DELL’ERRORE NEL
TEOREMA DI BANACH-CACCIOPPOLI. ESEMPI RELATIVI ALLE IPOTESI DEL TEOREMA DI BANACH-CACCIOPPOLI.
CARATTERIZZAZIONE DI CANTOR DELLA COMPLETEZZA DI SPAZI METRICI. COMPLETAMENTO DI UNO SPAZIO
METRICO (con definizione di isometria) ATTRAVERSO L’USO DELLO SPAZIO DELLE FUNZIONI LIMITATE. ESERCIZI.
17-11-2014 : PROCEDIMENTO DI CANTOR PER IL COMPLETAMENTO DI UNO SPAZIO METRICO (tutto spiegato, tranne
la densità dell’insieme immagine di X mediante l’isometria φ nell’insieme quoziente delle successioni di Cauchy). METRICA INDOTTA. INTORNI, INSIEMI APERTI E INSIEMI CHIUSI NELLA METRICA INDOTTA. ESERCIZIO: INVESTIGAZIONE
DELLE RELAZIONI FRA INSIEMI APERTI, CHIUSI, PUNTI INTERNI, ESTERNI, DI ACCUMULAZIONE, DI FRONTIERA,
ISOLATI IN UNO SPAZIO METRICO E IN UN SOTTOSPAZIO CON LA METRICA INDOTTA. LIMITI DI FUNZIONI. LEGAME FRA LIMITI DI FUNZIONI E LIMITI DI SUCCESSIONI. UNICITA’ DEL LIMITE. LIMITI DI FUNZIONI COMPOSTE.
OSSERVAZIONE SU ALCUNI TEOREMI RELATIVI AI LIMITI DI FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE CHE
NON SI POSSONO ESTENDERE ALLE FUNZIONI FRA SPAZI METRICI. SPAZI VETTORIALI (LINEARI) METRICI.
ESEMPIO DI SPAZIO METRICO CHE E’ ANCHE SPAZIO VETTORIALE, MA NON E’ VETTORIALE METRICO. LIMITI DI
RESTRIZIONI E LIMITI, CON PARTICOLARE RIFERIMENTO AI LIMITI DI FUNZIONI DI n VARIABILI REALI. RESTRIZIONI ALLE RETTE (osservazioni varie). ESEMPI. FUNZIONI CONTINUE. COROLLARIO: DUE METRICHE SU UNO STESSO SPAZIO METRICO SONO EQUIVALENTI SE E SOLO SE OGNI SUCCESSIONE CONVERGENTE IN UNA DELLE DUE
METRICHE AD UN LIMITE CONVERGE NELL’ALTRA ALLO STESSO LIMITE.
19-11-2014 : ESERCIZI SU ARGOMENTI VARI (serie di funzioni, limiti di funzioni, iniettivita’ e suriet-tivita’ di funzioni
vettoriali, studio di proprieta’ topologiche di sottoinsiemi di Rn) .
21-11-2014 : ESERCIZIO SULL’USO DELLE COORDINATE POLARI NEL CALCOLO DI LIMITI (deduzione di tali coordinate
in R2 ed in R3. Si veda l’Osservazione 1.2 di pag. 143 del testo per il caso generale in Rn). CARATTERIZZAZIONE DELLA CONTINUITA’ MEDIANTE L’IMMAGINE INVERSA DI INSIEMI APERTI /CHIUSI. CONTINUITA’ DELLA FUNZIONE PROIEZIONE. USO DELLE FUNZIONI PROIEZIONE PER TESTARE LA CONTINUITA’ DI FUNZIONI A VALORI NELLO SPAZIO METRICO PRODOTTO (con applicazione alle funzioni di più variabili ed alle funzioni vettoriali). OMEOMORFISMI. COMPATTEZZA E RELATIVA COMPATTEZZA. PROPRIETA’ DELL’INTERSEZIONE FINITA. OGNI INSIEME COMPATTO E’
CHIUSO. UN CHIUSO IN UN COMPATTO E’ COMPATTO. SEQUENZIALE COMPATTEZZA E RELATIVA SEQUENZIALE
COMPATTEZZA.
24-11-2014 : LA (RELATIVA) SEQUENZIALE COMPATTEZZA IMPLICA LA LIMITATEZZA. TOTALE LIMITATEZZA.
DIMOSTRAZIONE DELLA EQUIVALENZA DI COMPATTEZZA, SEQUENZIALE COMPATTEZZA, TOTALE LIMITATEZZA+COMPLETEZZA NELLA METRICA INDOTTA. OGNI INSIEME COMPATTO E’ CHIUSO E LIMITATO E
CONTROESEMPI ALL’IMPLICAZIONE INVERSA. DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS E
DEL TEOREMA DI BOREL-HEINE IN Rn. TEOREMA DI WEIERSTRASS GENERALIZZATO E TEOREMA DI WEIERSTRASS. CONTINUITA’ DELLA FUNZIONE INVERSA. UNIFORME CONTINUITA’. TEOREMA DI CANTOR-HEINE (dimostrazione lasciata allo studente). LIMITATEZZA DI OPPORTUNE FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE (dimostrazione lasciata allo studente). PROLUNGABILITA’ DI FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE (dimostrazione lasciata allo
studente). DISTANZA DI DUE INSIEMI ED INSIEMI CON DISTANZA NULLA. ENUNCIATO DEL TEOREMA DI ASCOLIARZELA’.
26-11-2014 : ESERCIZI SUL CALCOLO DELLA FUNZIONE SOMMA DI SERIE DI POTENZE. DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI ASCOLI-ARZELA’. OSSERVAZIONI SULL’ESTENSIONE DEL TEOREMA AL CASO DELLO SPAZIO METRICO
C0(K,Rn), K COMPATTO ARBITRARIO (con dimostrazione che ogni compatto in uno spazio metrico contiene insieme numerabile
denso). INSIEMI CONNESSI. CARATTERIZZAZIONE DEGLI INSIEMI CONNESSI. CONNESSIONE DI INSIEMI UNIONE
DI CONNESSI E COROLLARI. DEFINIZIONE DI COMPONENTE CONNESSA DI UN INSIEME X GENERATA (O DETERMINATA) DA UN SUO PUNTO.
28-11-2014 : DUE COMPONENTI CONNESSE O COINCIDONO O SONO DISGIUNTE. SE A E’ CONNESSO ED X LO
CONTIENE, MA E’ CONTENUTO NELLA SUA CHIUSURA, ALLORA ANCHE X E’ CONNESSO. OGNI COMPONENTE
CONNESSA DI X E’ UN CHIUSO NELLA METRICA INDOTTA. SE OGNI INTORNO SFERICO E’ CONNESSO, LE COMPONENTI CONNESSE DI APERTI SONO DEGLI APERTI. TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI GENERALIZZATO.
OGNI CONNESSO IN R E’ INTERVALLO. TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI. TEOREMA DI DARBOUX DEI VALORI INTERMEDI.
01-12-2014 : OGNI INTERVALLO IN R E’ UN CONNESSO E VICEVERSA. OGNI APERTO DI R E’ UNIONE AL PIU’
NUMERABILE DI INTERVALLI APERTI A DUE A DUE DISGIUNTI (con enunciazione nel caso di Rn e di spazi metrici
separabili). ESERCIZI SU SPAZI METRICI, SU INSIEMI CONNESSI (in particolare si è provato che X è connesso se e solo se
ogni f:X → {0,1}, dotato della metrica indotta da quella euclidea di R, continua è costante), SU CONNESSIONE DELL’INSIEME
PRODOTTO DI DUE CONNESSI, SU LIMITI E LIMITATEZZA DI FUNZIONI.
02-12-2014 : DEFINIZIONE DI ARCO IN SPAZIO METRICO. ARCO UNIONE. CONNESSIONE PER ARCHI. SEGMENTI IN
SPAZI VETTORIALI. SPEZZATE (O POLIGONALI) IN SPAZI VETTORIALI, SPEZZATE SEMPLICI. INSIEMI CONVESSI,
INSIEMI CONNESSI PER SPEZZATE IN SPAZI VETTORIALI. CONFRONTO FRA LE NOZIONI DI CONNESSIONE IN
SPAZI (VETTORIALI) METRICI. INTERNA CONNESSIONE E CONFRONTO CON CONNESSIONE PER SPEZZATE. IN
SPAZI VETTORIALI METRICI IN CUI OGNI INTORNO SFERICO E’ CONVESSO GLI APERTI CONNESSI SONO CONNESSI INTERNAMENTE. ESERCIZI SU SUCCESSIONE DI FUNZIONI E SU INSIEMI CONNESSI (ogni sottoinsieme proprio
non vuoto di connesso ha frontiera non vuota).
03-12-2014 : DERIVATE DIREZIONALI E DERIVATE PARZIALI PER FUNZIONI REALI DI n VARIABILI REALI. DIFFERENZIABILITA’ SECONDO GATEAUX E DIFFERENZIALE SECONDO GATEAUX. CONFRONTO FRA TALI NOZIONI.
OMOGENEITA’ DELL’APPLICAZIONE CHE AD OGNI VETTORE DI R^n ASSOCIA LA DERIVATA DIREZIONALE
NELLA DIREZIONE ASSEGNATA. ESEMPIO DI FUNZIONI NON CONTINUE, MA DIFFERENZIABILI SECONDO
GATEAUX. DIFFERENZIABILITA’ SECONDO FRECHET PER FUNZIONI REALI DI n VARIABILI REALI E DIFFERENZIALE SECONDO GATEAUX. F-DIFFERENZIABILITA’ IMPLICA CONTINUITA’ E G-DIFFERENZIABILITA’. NON
VALIDITA’ DELLE IMPLICAZIONI INVERSE. STUDIO DEL DIFFERENZIALE SECONDO FRECHET, QUANDO ESISTE, E
RELAZIONE CON IL VETTORE GRADIENTE. DIREZIONE DI MASSIMA PENDENZA.
05-12-2014 : ESERCIZI SU ARGOMENTI VARI. ENUNCIAZIONE DEL TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE.
10-12-2014 : DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE ED ESEMPIO DI NON VALIDITA’
DELL’IMPLICAZIONE INVERSA. ESTENSIONE DEI CONCETTI DI DERIVATA DIREZIONALE, PARZIALE, DI G.DIFFERENZIABILITA’ E DI F.-DIFFERENZIABILITA’ AL CASO DI FUNZIONI VETTORIALI. MATRICE JACOBIANA.
DETERMINANTE JACOBIANO. DERIVAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE. G.-DIFFERENZIABILITA’ DI FUNZIONI
COMPOSTE. LA IPOTESI DI F.-DIFFERENZIABILITA’ FATTA NEL PRECEDENTE TEOREMA NON PUO’ ESSERE
INDEBOLITA: ESEMPIO.
12-12-2014 : F.-DIFFERENZIABILITA’ DI FUNZIONI COMPOSTE. CAMMINI CONTINUI. SOSTEGNO O TRAIETTORIA DI
CAMMINI CONTINUI. PARAMETRIZZAZIONI E CAMBI AMMISSIBILI DI PARAMETRIZZAZIONE. PUNTI DI UN
CAMMINO E PUNTI IMMAGINE. CAMMINI APERTI E CAMMINI CHIUSI. CAMMINI SEMPLICI. RETTA TANGENTE
RISPETTO AD UNA PARAMETRIZZAZIONE. ESEMPI DI PARAMETRIZZAZIONI EQUIVALENTI CHE HANNO COMPORTAMENTI DIVERSI RISPETTO ALL’ESISTENZA DELLA RETTA TANGENTE. INDIPENDENZA DELLA RETTA
TANGENTE DALLA PARAMETRIZZAZIONE.
15-12-2014 : SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA F.-DIFFERENZIABILITA’. IPERPIANO TANGENTE E SUA EQUAZIONE. ESEMPIO DI FUNZIONE g NON F.-DIFFERENZIABILE IN UN PUNTO X0 IL CUI GRAFICO NON AMMETTE
IPERPIANO TANGENTE NEL PUNTO (X0,g(X0)). TEOREMA DEL VALOR MEDIO (LAGRANGE) PER FUNZIONI DI PIU’
VARIABILI SCALARI E VETTORIALI (ESEMPIO). TEOREMA DEL GRADIENTE NULLO. ESTREMI RELATIVI ED
ASSOLUTI. TEOREMA DI FERMAT. DERIVATE E DIF-FERENZIALI SUCCESSIVI. INVERTIBILITA’ DELL’ORDINE DI
DERIVAZIONE. ESEMPIO DI FUNZIONE CON DERIVATE SECONDE MISTE DIFFERENTI IN UN PUNTO. TEOREMA DI
SCHWARTZ (al momento senza dimostrazione).
17-12-2014 : FORMULA DI TAYLOR CON RESTO DI PEANO E CON RESTO DI LAGRANGE (al momento senza dimostrazione). FORME QUADRATICHE IN Rn. DISUGUAGLIANZA DELL’AUTOVALORE MASSIMO o MINIMO DELLA
MATRICE DI UNA FORMA QUADRATICA (con dimostrazione). FORME QUADRATICHE DEFINITE, SEMIDEFINITE,
INDEFINITE E SEGNO DEGLI AUTOVALORI (con dimostrazione). DETERMINAZIONE DEL SEGNO DEGLI AUTOVALORI DI UNA MATRICE ATTRAVERSO IL SEGNO DEI COEFFICIENTI DEL POLINOMIO CARATTERISTICO (regola di Cartesio). FORMA QUADRATICA HESSIANA. CONDIZIONE SUFFICIENTE (con dimostrazione) E CONDIZIONE NECESSARIA
(al momento non dimostratata) PERCHE’ UN PUNTO CRITICO DI UNA FUNZIONE DI CLASSE C2 SIA DI ESTREMO
RELATIVO. PUNTI DI SELLA O COLLE. ESEMPI DI RICERCA DI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO RELATIVO ED
ASSOLUTO.
12-01-2015 : ESERCIZI SU ARGOMENTI VARI
14-01-2015 : DEFINIZIONE DI FUNZIONE IMPLICITA E SPIEGAZIONE DEL PROBLEMA. TEOREMA DEL DINI (CASO
SCALARE). ESERCIZI.
16-01-2015 : TEOREMA DELLA DERIVABILITA’ DELLA FUNZIONE IMPLICITA (CASO SCALARE). ESERCIZIO
SULL’ESISTENZA DI UNA FUNZIONE IMPLICITA E STUDIO DELLA STESSA.
19-01-2015 e 21-01-2015 : ESERCIZI SU ARGOMENTI VARI
13-03-2015 : ESERCIZI SU FUNZIONI IMPLICITE. TEOREMA DEL DINI (CASO VETTORIALE): ENUNCIATO E
SPIEGAZIONE DELLA IDEA DELLA DIMOSTRAZIONE DELL’ESISTENZA DELLA FUNZIONE IMPLICITA ATTRAVERSO L’USO DEL TEOREMA DELLE CONTRAZIONI. ENUNCIATO DEL TEOREMA DI DERIVABILITA’ DELLA
FUNZIONE IMPLICITA (CASO VETTORIALE). INSIEMI DI LIVELLO E ORTOGONALITA’ DEL GRADIENTE, COME
APPLICAZIONE DEL TEOREMA DEL DINI.
16-03-2015 : ESTREMI VINCOLATI: DEFINIZIONE ED OSSERVAZIONI SULLA DIPENDENZA LINEARE DEL GRADIENTE DELLA FUNZIONE DI CUI E’ NOTO UN PUNTO DI ESTREMO VINCOLATO E DEI GRADIENTI DEI VINCOLI.
TEOREMA DEL MOLTIPLICATORE DI LAGRANGE (ENUNCIATO NEL CASO GENERALE. DIMOSTRAZIONE NEL
CASO DI FUNZIONI DI DUE VARIABILI CON UN SOLO VINCOLO). ESEMPIO DI FUNZIONE AVENTE UN PUNTO DI
ESTREMO VINCOLATO CHE E’ PUNTO DI NON REGOLARITA’ PER IL VINCOLO.
20-03-2015 : DIREZIONI TANGENZIALI AI VINCOLI. CONDIZIONE SUFFICIENTE PERCHE’ UN PUNTO CRITICO
VINCOLATO SIA DI ESTREMO PER UNA FUNZIONE DI CLASSE C2. CONDIZIONE NECESSARIA PERCHE’ UN PUNTO
CRITICO VINCOLATO SIA DI ESTREMO PER UNA FUNZIONE DI CLASSE C2 (solo enunciato da controllare dal libro).
23-03-2015 : ESERCIZI. FUNZIONI CONVESSE DI PIU’ VARIABILI REALI, EPIGRAFICO, PRIMA CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER LA CONVESSITA’ (dimostrazione analoga a quella fatta per le funzioni di una variabile), STRETTA CONVESSITA’. TEOREMA DI LOCALE LIMITATEZZA SUPERIORE. TEOREMA DI LOCALE LIPSCHITZIANITA’.
CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER LA CONVESSITA’ DI FUNZIONI DIFFERENZIABILI UNA VOLTA (monotonìa del gradiente e posizione del grafico rispetto agli iperpiani tangenti).
30-03-2015 : CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER LA STRETTA CONVESSITA’ DI FUNZIONI DIFFERENZIABILI UNA VOLTA. CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER LA CONVESSITA’ DI UNA FUNZIONE
DIFFERENZIABILE DUE VOLTE (semidefinita positività della forma quadratica Hessiana), CONDIZIONE SOLO SUFFICIENTE
PER LA STRETTA CONVESSITA’ DI UNA FUNZIONE DIFFERENZIABILE DUE VOLTE. DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI LIMITE DESTRO (σ+) E LIMITE SINISTRO (σ-) DEL RAPPORTO INCREMENTALE DI UNA FUNZIONE CONVESSA
NELLA DIREZIONE DI UN VETTORE є Rn COME FUNZIONI DI E DETERMINAZIONE DI ALCUNE UTILI PROPRIETA’. TEOREMA: PER UNA FUNZIONE CONVESSA DEFINITA IN UN APERTO CONVESSO, LA LINEARITA’ DI σ+ ,
L’ESISTENZA DELLE DERIVATE PARZIALI , LA DIFFERENZIABILITA’ SECONDO FRECHET SONO FATTI EQUIVALENTI.
13-04-2015 : ESERCIZI SU FUNZIONI IMPLICITE E SU RICERCA DI ESTREMI VINCOLATI. METODO DEGLI INSIEMI DI
LIVELLO. MISURA DI LEBESGUE DELL’INSIEME VUOTO, DEI RETTANGOLI SUPERIORMENTE SEMIAPERTI E DEI
PLURIRETTANGOLI. ALCUNE QUESTIONI DI COERENZA DELLE PRECEDENTI DEFINIZIONI. ALCUNE PROPRIETA’
DEGLI INSIEMI ELEMENTARI MISURABILI E DELLA LORO MISURA (senza dimostrazioni. Si veda il libro per un elenco).
17-04-2015 : SUCCESSIONI DI INSIEMI. CONCETTO DI LIMITE MINIMO, MASSIMO E DI LIMITE PER SUCCESSIONI
D’INSIEMI. SUCCESSIONI CHE INVADONO IL PROPRIO LIMITE. TEOREMA. OGNI SUCCESSIONE DI APERTI INVADE
IL PROPRIO LIMITE (con dimostrazione). TEOREMA: DATO UN APERTO ESISTE UNA SUCCESSIONE DI
PLURIRETTANGOLI IN ESSO CONTENUTA CHE INVADE L’APERTO (CON OSSERVAZIONI SULLE SUCCESSIONI
DELL’INTERNO E DELLA CHIUSURA DEI SUDDETTI PLURIRETTANGOLI) (con dimostrazione). MISURA DEGLI
APERTI LIMITATI E SUE PROPRIETA’ (senza dimostrazioni. Si veda il libro per un elenco).
20-04-2015 : DATO UN CHIUSO LIMITATO E’ POSSIBILE COSTRUIRE UN APERTO LIMITATO CHE LO CONTIENE E
DIFFERISCE “DI POCO” DA ESSO. MISURA DEGLI INSIEMI CHIUSI LIMITATI E SUE PROPRIETA’ (senza dimostrazioni.
Si veda il libro per un elenco). COINCIDENZA DELLA MISURA DI UN PLURIRETTANGOLO, DELLA MISURA DEL SUO
INTERNO E DELLA MISURA DELLA SUA CHIUSURA (con cenno della dimostrazione). MISURABILITA’ DI UN ARBITRARIO INSIEME LIMITATO E SUA MISURA. PROPRIETA’ DELLA FAMIGLIA DEGLI INSIEMI LIMITATI MISURABILI E
DELLA LORO MISURA (senza dimostrazioni. Si veda il libro per un elenco). QUESTIONI DI COERENZA DELLA NUOVA
DEFINIZIONE. ESEMPIO DI INSIEME (PIANO) NON MISURABILE SECONDO PEANO-JORDAN, MA MISURABILE
SECONDO LEBESGUE (con dimostrazione). MISURABILITA’ DI INSIEMI NON NECESSARIAMENTE LIMITATI E LORO
MISURA. QUESTIONE DI COERENZA DELLA NUOVA DEFINIZIONE. PROPRIETA’ DELLA FAMIGLIA DEGLI INSIEMI
MISURABILI E DELLA LORO MISURA (senza dimostrazioni. Si veda il libro per un elenco). ESEMPIO DI SUCCESSIONE DI
INSIEMI MISURABILI PER LA QUALE NON VALE LA PROPRIETÀ DI CONTINUITÀ VERSO IL BASSO.
24-04-2015 : ESERCIZI SU FUNZIONI IMPLICITE. ESERCIZI SULLA MISURABILITA’ DI SOTTOINSIEMI DI Rn E SU
PROPRIETA’ DELLA MISURA DI LEBESGUE. INVARIANZA PER TRASLAZIONE DELLA MISURA DI LEBESGUE.
INSIEME NON MISURABILE SECONDO LEBESGUE. σ – ALGEBRE SU INSIEMI ARBITRARI. ALCUNE PROPRIETA’
DELLE σ - ALGEBRE. σ – ALGEBRA GENERATA DA UNA PARTICOLARE FAMIGLIA DI SOTTOINSIEMI (in particolare: σ –
algebra di Borel in spazi metrici e σ – algebra prodotto).
27-04-2015 : ESERCIZI SU ARGOMENTI VARI. LA σ – ALGEBRA DI BOREL COINCIDE CON QUELLA GENERATA DAI
RETTANGOLI SUPERIORMENTE SEMIAPERTI E CON QUELLA GENERATA DAI PLURIRETTANGOLI. DECOMPOSIZIONE DI
OGNI INSIEME MISURABILE SECONDO LEBESGUE NELL’UNIONE DI UN BORELIANO E DI UN SOTTOINSIEME DI UN
BORELIANO DI MISURA NULLA DISGIUNTI. LA σ – ALGEBRA DI BOREL DI Rn COINCIDE CON LA σ – ALGEBRA PRODOTTO
DELLE σ – ALGEBRE DI BOREL DI Rh E DI Rk , h+k = n. SEZIONI DI PIEDE ASSEGNATO DI UN INSIEME DI UN
PRODOTTO CARTESIANO. MISURABILITA’ DI OGNI SEZIONE DI UN QUALUNQUE ELEMENTO DELLA σ – ALGEBRA
PRODOTTO. INSIEME MISURABILE SECONDO LEBESGUE CHE HA ALMENO UNA SEZIONE NON MISURABILE SECONDO
LEBESGUE. FUNZIONI MISURABILI (E DEFINIZIONI EQUIVALENTI). LE FUNZIONI CONTINUE, MONOTòNE E GENERALMENTE CONTINUE SONO MISURABILI. LA FUNZIONE DI DIRICHLET (NON INTEGRABILE SECONDO RIEMANN) E’ MISURABILE.
29-04-2015 : ESERCIZI SU ARGOMENTI VARI. PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI MISURABILI. DEFINIZIONE DI PROPRIETA’
VERA QUASI OVUNQUE.
04-05-2015 : ESERCIZI SU ARGOMENTI VARI. DEFINIZIONE DEL PRIMO TIPO DI INTEGRALE DI LEBESGUE (con
dimostrazione del Teorema 8.1 del testo) E SUE PRIME PROPRIETA’.
08-05-2015 : ESERCIZI SU RICERCA DI PUNTI DI ESTREMO RELATIVO ED ASSOLUTO LIBERI E VINCOLATI. ULTERIORI
PROPRIETA’ DEL PRIMO TIPO DI INTEGRALE DI LEBESGUE (con dimostrazione della Proposizione 8.9 del testo). DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI LEBESGUE DI SECONDO E TERZO TIPO E LORO PROPRIETA’ (con dimostrazione della Proposizione
8.12 del testo). SOMMABILITA’ ED ASSOLUTA SOMMABILITA’ (con dimostrazione del Teorema 8.14 del testo). CONFRONTO
CON L’INTEGRALE DI RIEMANN E CON L’INTEGRALE IMPROPRIO DI CAUCHY. TEOREMA DI VITALI-LEBESGUE*.
11-05-2015 : INTEGRALE DI QUARTO E QUINTO TIPO. PROPRIETA’ (con le dimostrazioni della proprietà seguenti: se f è non
negativa e l’integrale vale 0, allora f è quasi ovunque nulla; se f è sommabile, allora f è finita quasi ovunque; f è sommabile se e
solo se è assolutamente sommabile, da fare come esercizio. Si veda il libro di testo per un elenco completo delle proprietà
dell’integrale di Lebesgue). CONVERGENZA QUASI OVUNQUE E CONVERGENZA QUASI UNIFORME (con dimostrazione del
fatto che la convergenza quasi uniforme implica quella quasi ovunque e presentazione di un contro-esempio all’implicazione
inversa). TEOREMA DI SEVERINI-EGOROFF. DUE LEMMA AL TEOREMA DELLA CONVERGENZA DOMINATA DI LEBESGUE (se
f è sommabile il valore dell’integrale “si concentra” su un insieme di misura finito; continuità dell’integrale di una funzione
sommabile rispetto alla misura dell’insieme di integrazione).
15-05-2015 : ESERCIZI. TEOREMA DELLA CONVERGENZA DOMINATA DI LEBESGUE. TEOREMA DI BEPPO-LEVI. INTEGRAZIONE PER SERIE. DEFINIZIONE DI FUNZIONE SEMPLICE.
18-05-2015 : INTEGRALE DI FUNZIONI SEMPLICI. COSTRUZIONE DI UNA SUCCESSIONE DI FUNZIONI SEMPLICI CHE
APPROSSIMA Q.O. (UNIFORMEMENTE) UNA FUNZIONE MISURABILE NON NEGATIVA (LIMITATA). SEZIONI DI UN INSIEME
DELLO SPAZIO Rh x Rk E LORO MISURABILITA’ Q.O..
22-05-2015 : TEOREMA DI TONELLI. ESEMPIO RELATIVO ALLA NECESSITA’ DELL’IPOTESI DI NON NEGATIVITA’ DELLA
FUNZIONE INTEGRANDA PRESENTE NEL TEOREMA DI TONELLI. TEOREMA DI FUBINI. OSSERVAZIONI SUI DUE TEOREMI
PRECEDENTI. DIFFEOMORFISMI E TEOREMA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILI (solo enunciato).
25-05-2015 : CORDINATE POLARI NEL PIANO, COORDINATE CILINDRICHE E POLARI NELLO SPAZIO. ESERCIZI SUL
CALCOLO DI INTEGRALI MULTIPLI.
29-05-2015 : TEOREMI DI CONTINUITA’ E DERIVABILITA’ PER INTEGRALI DIPENDENTI DA PARAMETRI. ESERCIZI SU
ARGOMENTI VARI DELLA TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE
01-06-2015 : RICHIAMI SUI CAMMINI CONTINUI. CAMMINI REGOLARI (A TRATTI) E DI CLASSE C1 (A TRATTI). CAMMINI
RETTIFICABILI. CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UN CAMMINO DI CLASSE C1 (A TRATTI). ALCUNE OSSERVAZIONI SU POSSIBILI ESTENSIONI DELLA FORMULA OTTENUTA PER LA LUNGHEZZA DI UN CAMMINO DI CLASSE C1 (A TRATTI).
05-06-2015 : ESERCIZI SUI CAMMINI. ASCISSA CURVILINEA. INTEGRALE CURVILINEO DI PRIMA SPECIE E SUE PROPRIETA’.
APPLICAZIONE FISICA AL CALCOLO DELLA MASSA DI UN FILO. DEFINIZIONE DI FORMA DIFFERENZIALE LINEARE. SIGNIFICATO FISICO DI UNA FORMA DIFFERENZIALE LINEARE (LAVORO ELEMENTARE). CAMMINI ORIENTATI. INTEGRALE DI
FORMA DIFFERENZIALE LINEARE SU UN CAMMINO ORIENTATO E SUE PROPRIETA’.
08-06-2015 : PRIMITIVE O POTENZIALI. FORME DIFFERENZIALI ESATTE. CNS PER L’ESATTEZZA DI UNA FORMA
DIFFERENZIALE (INDIPENDENZA DEL CAMMINO – VALORE NULLO DELL’INTEGRALE SU UN CAMMINO CHIUSO).
COSTRUZIONE DI POTENZIALI. FORME DIFFERENZIALI LINEARI CHIUSE. INSIEMI STELLATI E CS PERCHE’ UNA FORMA
DIFFERENZIALE DEFINITA IN INSIEMI STELLATI SIA ESATTA. FUNZIONI POSITIVAMENTE OMOGENEE E LORO PROPRIETA’
(fare dal libro). TEOREMA DI EULERO. ALTRA CS PERCHE’ UNA FORMA DIFFERENZIALE LINEARE A COMPONENTI POSITIVAMENTE OMOGENEE SIA ESATTA. OMOTOPIA E SEMPLICE CONNESSIONE. CS PER L’ESATTEZZA DI UNA FORMA
DIFFERENZIALE IN INSIEMI SEMPLICEMENTE CONNESSI (solo enunciato). CURVE DI JORDAN. TEOREMA DI JORDAN NEL
PIANO (solo enunciato). SEMPLICE CONNESSIONE DI INSIEMI PIANI E CURVE DI JORDAN (solo enunciato). DOMINI A
CONNESSIONE MULTIPLA. CS PER L’ESATTEZZA DI FORME DIFFERENZIALI LINEARI CHIUSE IN INSIEMI PIANI A
CONNESSIONE MULTIPLA (solo enunciato). FORMULE DI GAUSS-GREEN (solo enunciato).
10-06-2015 : DEFINIZIONE DI EQUAZIONE DIFFERENZIALE DI ORDINE n E DI SISTEMA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL
PRIMO ORDINE. PROBLEMA DI CAUCHY. EQUIVALENZA DEL PROBLEMA DI CAUCHY CON L’EQUAZIONE INTEGRALE DI
VOLTERRA. TEOREMA DI ESISTENZA ED UNICITA’ IN PICCOLO PER IL PROBLEMA DI CAUCHY.
12-05-2015 : TEOREMA DI PEANO (sola ipotesi di continuità – solo enunciato). PROLUNGABILITA’ DI SOLUZIONI ED
ESISTENZA DI SOLUZIONI MASSIMALI (solo enunciato). ENUNCIATO DEI TEOREMI DI ESISTENZA E UNICITA’ E DI SOLA
ESISTENZA IN GRANDE. STUDIO DEI SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI. MATRICE WRONSKIANA E CNS PER
L’INDIPENDENZA LINEARE DI n SOLUZIONI DI UN SISTEMA OMOGENEO DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL
PRIMO ORDINE. DESCRIZIONE DELL’INSIEME DELLE SOLUZIONI DI UN SISTEMA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
DEL PRIMO ORDINE (con metodo della variazione delle costanti di Lagrange). CASO DEI COEFFICIENTI COSTANTI :
APPLICAZIONE DELLE ITERAZIONI SUCCESSIVE PER LA COSTRUZIONE DI UNA SOLUZIONE (MATRICE ESPONENZIALE)
NEL CASO DI SISTEMA OMOGENEO. PROPRIETA’ DELLA MATRICE ESPONENZIALE (fare dal libro, senza dimostrazioni).
TEOREMA DI PUTZER (solo enunciato).
