Elementi di Dinamica ELEMENTI DI DINAMICA Mentre la cinematica si limita allo studio delle possibilità di movimento di un certo sistema ed alla relativa descrizione matematica, la dinamica si occupa delle cause che determinano il moto stesso. Il legame tra le grandezze dinamiche (forze, momenti, proprietà inerziali dei corpi etc.) ed il moto che ne consegue è regolato dalle leggi di Newton. Lo studio di un sistema dinamico è articolato in diverse fasi: • Definizione di un modello fisico del sistema in esame • Definizione del diagramma di corpo libero • Definizione del modello matematico e soluzione • Confronto con le evidenze sperimentali. FORZE Forza: azione di un corpo su un’altro corpo (unità di misura: Newton [N]) e tende a spostare il corpo lungo la direzione in cui agisce. La forza è una grandezza vettoriale, pertanto essa possiede • modulo • direzione • verso • punto di applicazione Nel caso di forze applicate ai corpi rigidi ci si può svincolare dal punto di applicazione e si può considerare la forza come applicata in un punto qualsiasi della sua retta d’azione (pricipio di trasmissibilità): considerare la forza F come applicata in A o in B non cambia nulla dal punto di vista delle reazioni sui vincoli in C e D OPERAZIONI SULLE FORZE Composizione di due forze: Date due forze F1 ed F2 agenti sullo stesso punto di un corpo rigido, esse possono essere composte secondo la regola del parallelogramma. La risultante R della composizione ha sul corpo il medesimo effetto del sistema di forze. Scomposizione di due forze: Analogamente una forza R può essere sostituita dalla scomposizione nelle sue componenti F1 ed F2 lungo due direzioni, facendo attenzione che le rette d’azione passino per il punto di applicazione di R OPERAZIONI SULLE FORZE Composizione di due forze parallele: La forza F1 è applicata nel punto A1 e la forza F2 è applicata al punto A2. F1 ed F2 sono parallele. La risultante R delle due forze ha direzione parallela alla direzione di F1 ed F2 . La retta di applicazione di R passa per il punto A. Il punto A si trova sommando e sottraendo una forza ausiliaria F diretta lungo la congiungente i punti A1 e A2. Una forza F è applicata in A1 e la forza opposta –F in A2. Si determinano le risultanti R1 ed R2 nei punti A1 e A2 e si determina la risultante R= R1 + R2 con il metodo già visto. r F1 A1 r r F R1 r F r R2 A r R2 r A2 F2 r R r R1 OPERAZIONI SULLE FORZE Composizione di due forze parallele: Per determinare analiticamente la posizione geometrica della retta di azione r della risultante R, si consideri che la retta r interseca il segmento A1A2 nel punto AR. I triangoli A1ARA e il triangolo F-F1-R1 costruito in A sono simili, così come sono simili i triangoli A2ARA ed il triangolo F-F2-R2. Pertanto si può scrivere: A1A R A R A = F F1 A2AR ARA = F F2 A1A R A2AR = A R A F2 F ⋅ = 2 F1 A R A F1 A1 r F r r F1 F2 r r r R F R2 r R1 r r R1 AR A r r R2 F r F2 A2 F F1 r MOMENTO DI UNA FORZA Misura la tendenza di una forza applicata ad un corpo a far ruotare il corpo stesso attorno a un punto (nel piano) o ad un’asse (nello spazio). Se F è la forza applicata al punto A del corpo, il momento di F rispetto al generico punto O è dato dal prodotto vettoriale: r j r r r r r M O = r ∧ F = r ⋅ F ⋅ sin(α ) ⋅ k = b ⋅ F ⋅ k r i Il momento della forza può essere espresso in funzione delle componenti della forza stessa. Teorema di Varignon: il momento di una forza intorno ad un punto qualsiasi è pari alla somma dei momenti delle componenti della forza intorno allo stesso punto. r r r r r r r r r r r r M OR = r ∧ R = r ∧ (P + Q) = r ∧ P + r ∧ Q = M OP + M OQ r r r momento di P rispetto ad O M OP = r ∧ P r r r momento di Q rispetto ad O M OQ = r ∧ Q COPPIA DI FORZE Coppia di forze: insieme di due forze uguali in modulo e direzione, verso opposto e non allineate. La risultante della coppia di forze è nulla. Il momento della coppia di forze non dipende dal punto intorno al quale lo si calcola (vettore libero): r r r r r r r r r M O = rB ∧ (−F) + rA ∧ F = −rB ∧ F + rA ∧ F = r r r r r r M O = (rA - rB ) ∧ F = r ∧ F Il momento della coppia di forze (o semplicemente coppia), dipende solamente dal modulo delle forze e dalla distanza d tra le rette di applicazione detto braccio della coppia r r r M = [(a + d) ⋅ F − a ⋅ F] ⋅ k = d ⋅ F ⋅ k TRASPOSIZIONE DI UNA FORZA In generale, una forza 1) tende sempre a spostare il corpo a cui è applicata nella sua direzione e verso 2) tende a far ruotare il corpo a cui è applicata intorno ad un punto non appartenente alla sua retta d’azione Sistema iniziale: forza applicata in A con momento rispetto a B non nullo Si aggiunge e sottrae una forza in B, pari alla forza iniziale in A Il sistema finale: l’effetto è quello di una “trasposizione” della forza nel punto di interesse. La forza F applicata in A può essere trasportata in B a patto di aggiungere al sistema una coppia (momento di trasposizione) pari al momento che F applicata in A ha rispetto a B. RISULTANTE DI UN SISTEMA DI FORZE Se su un corpo agiscono diverse forze, il sistema può essere semplificato mediante il calcolo della risultante. Occorre determinare sia la somma R delle forze che il suo punto di applicazione Il calcolo della risultante di un sistema di forze agenti su un corpo si può eseguire mediante la successiva applicazione della regola del parallelogramma. Può risultare un metodo laborioso. RISULTANTE DI UN SISTEMA DI FORZE Se su un corpo agiscono diverse forze, il sistema può essere semplificato mediante il calcolo della risultante. Occorre determinare sia la somma R delle forze che il suo punto di applicazione 1 - Si sceglie un punto arbitrario O 2 - Si portano tutte le forze in O e si calcola la somma R 3 - Si calcolano tutti i momenti delle forze rispetto ad O 4 - Si sostituisce al sistema originario la somma R delle forze in O più una coppia MO pari alla somma dei momenti delle singole forze rispetto ad O. 5 – Si sposta R in un punto generico B aggiungendo il momento di trasporto. 6 – Si determina la distanza d del punto B da O imponendo l’uguaglianza del momento di trasporto M con MO Tipi di forze Le forze possono essere classificate secondo diversi criteri. Alcuni esempi: • Forze concentrate: la zona su cui sono applicate si può ritenere puntiforme rispetto alle dimensioni del corpo. • Forze distribuite: la zona su cui sono applicate non può essere trascurata rispetto alle dimensioni geometriche del corpo • Forze esterne: sono applicate al corpo (o al sistema di corpi) dall’esterno • Forze interne: sono forze scambiate tra gli elementi del sistema considerato • Forze di contatto: dovute all’interazione diretta (contatto fisico) tra due corpi • Forze di massa: sono correlate alle proprietà di massa del corpo (es: forza peso, forze elettromagnetiche, forze di inerzia) Nello studio di un sistema meccanico è importante identificare le forze in gioco sulla base della natura dei fenomeni fisici coinvolti, della modalità con cui le forze che ne derivano sono applicate. È altresì importante impostare il problema coerentemente con i modelli meccanici scelti per la rappresentazione del fenomeno in esame.