Lezione 1 - I blog di Unica

Il campo magnetico generato da correnti
Siamo in Danimarca nel 1820: durante alcuni
esperimenti all’Università di Copenhagen, il fisico
danese Hans Christian Oersted si accorge che l'ago
di un compasso magnetico viene deflesso se
avvicinato ad un circuito elettrico, ovvero il circuito
elettrico è in grado di generare un campo
magnetico, così come i poli di un magnete !!
Hans Christian Ørsted
(1777 –1851)
E’ un momento storico, che segna l’unificazione di
due fenomeni fino ad allora considerati totalmente
distinti, ovvero elettricità e magnetismo. Nasce
l’elettromagnetismo.
Legge di Biot-Savart
P
Biot e Savart stabilirono la legge che lega un filo
percorso da corrente col campo magnetico da esso
generato. Sia ds una porzione infinitesima di filo
percorso da corrente i; il campo magnetico dB
generato da ds in un punto P dello spazio è dato da:
  0  i ds  r
dB  

3
4

r


Il campo dB è quindi perpendicolare al piano individuato dall’elemento di filo ds e
dalla distanza r tra ds ed il punto P; nel caso in figura, se ds ed r sono entrambe
paralleli alla pagina, dB è perpendicolare ed entrante nella pagina.
 dB dipende dal quadrato della distanza dal filo, in analogia con campo elettrico che
dipende dal quadrato della distanza dalla carica che lo genera;
 0 è una costante detta permeabilità magnetica del vuoto, il cui valore è:
T m
6  T m 

1
.
26

10



 A 
 A 
0  4 107 
NB: 0 non ha la dimensione
fisica del dipolo magnetico
Campo magnetico generato da una filo
rettilineo percorso da corrente
Applicando Biot-Savart, il campo dB generato da ds nel
punto P è entrante in figura, ed in modulo:
r 2  s 2  R2
 
 0
dB  
 4
 i ds sen 

2
r

Definiamo lo zero del filo il punto più vicino a P, ed
integriamo lungo il filo tra 0 ed  (ovvero sulla metà
superiore del filo):
 0i   sen 
B
0 ds
2
4

r


r sin    r sin      R
 sin   
R
r
ds
 0i  
B
 R 0 2
2
 4 
s R


3/ 2
Soluzione dell’integrale
I 
 I  R
s
Operiamo la sostituzione di variabile s t:
ds
2
R

dt
s  R tan(t )  ds  R
cos 2 (t )
2 3/ 2

dt
cos (t ) R tan (t )  R
2
2
2

2 3/ 2
1
dt
 2
3/ 2
2
2
R
cos (t ) tan (t )  1

1
dt
1
1
I  2
 2  cos(t ) dt  2 sin(t )
3/ 2
2

2
R
R
R
cos (t ) cos (t )


s
s
tant    sin(t ) 
R
s2  R2
I 
s
R2 s2  R2

1
R 2 1  ( R / s)2

Campo magnetico generato da una filo
rettilineo percorso da corrente
ds
 0i  
B
 R 0 2
2
 4 
s R

r 2  s 2  R2
 
 

ds

r

3/ 2
1
 0i 


 4R  1  ( R / s)2



1/ 2
0
0i

4R
Consideriamo che a ciascun elemento infinitesimo ds
nella metà superiore del filo corrisponde un ds nella
metà inferiore, disposto alla stessa distanza r da P, il
quale genera lo stesso campo dB in modulo, direzione
e verso; dunque il campo generato da un filo rettilineo
infinito è dato da:
0i
B
2 R
Campo magnetico di un filo infinito
0i
B
2 R
 il modulo di B in un punto qualsiasi dipende solo da R,
dunque le sue linee di forza (linee verdi in figura) sono
circonferenze concentriche; la densità delle linee si
riduce allontanandoci dal filo, ovvero per R 
 la direzione di B è sempre perpendicolare al filo e alla
distanza R dal filo
 regola della mano destra: tenendo il pollice nel verso
di i, le 4 dita indicano il verso di B (in figura la croce
indica che la corrente è entrante nella pagina)
Spargendo limatura di ferro su
una superficie perpendicolare al
filo si può osservare la simmetria
del campo magnetico generato
dal filo percorso da corrente
Campo magnetico di un filo piegato ad arco
Calcoliamo il campo magnetico generato da un arco nel
suo centro di curvatura (C). Chiaramente in questo caso
ds ed r sono sempre perpendicolari, per cui applicando
Biot-Savart il modulo del campo dovuto a ds è
semplicemente
 0  i ds
dB  
 2
 4  R
La direzione di B è perpendicolare ed uscente dalla
pagina, come dettato dalla regola della mano destra. Per
ottenere il campo dell’intero arco è necessario integrare
in ds; poiché l’integrando non dipende da s si ha:
 0
B
 4
 i s  0
 2 
 R  4
 i Rf 0if
 2 
4R
 R
Nell’ultima espressione abbiamo espresso la lunghezza dell’arco in
termini dell’angolo sotteso f, espresso in radianti.
Un caso particolarmente rilevante è il campo generato da una spira
lungo il proprio asse, che si ottiene semplicemente ponendo f = 2:
B
 0i
2R
Campo magnetico dovuto all’attività cerebrale
Applicazione importante del campo magnetico generato da
circuiti elettrici è la magnetoencefalografia (MEG), ovvero il
monitoraggio del campo magnetico generato dalle correnti
elettriche cerebrali. Una qualsiasi attività cerebrale genera
impulsi elettrici che connettono le cellule cerebrali viaggiando
attraverso canali conduttivi. Stimiamo il campo magnetico
prodotto dalle correnti cerebrali in un punto P distante r=2 cm
dalla corteccia; ipotizziamo che la corrente sia perpendicolare ad
r; un tipico impulso cerebrale è caratterizzato da correnti i= 10
A, che viaggiano per distanze del mm; dunque assumo ds=1
mm, e da Biot-Savart ottengo:

dB   0
 4
 i ds
7  T m  10 A 10 m
11

10

0
.
25

10
T  2.5 pT
 2


4 2
 r
 A  4 10 m
3
E’ un campo piccolissimo, non certo rivelabile avvicinando una
bussola alla testa… esistono però strumenti molto sofisticati detti
SQUID (superconducting quantum interference device) usati per la
MEG, capaci di rivelare campi magnetici inferiori al pT
Problema 29.1
Consideriamo il filo in figura, parallelo al piano
della figura. Si calcoli il campo magnetico nel
punto C.
Possiamo applicare il principio di sovrapposizione,
e calcolare B come somma dei campi dovuti a 3
elementi distinti: i due tratti rettilinei è l’arco di
curva nel mezzo
I tratti rettilinei non contribuiscono al campo, poiché per ogni
tratto infinitesimo del filo i vettori ds ed r sono paralleli,
dunque il corrispondente dB è nullo.
Per l’arco applichiamo la formula:
Dalla figura si vede chiaramente che
l’angolo sotteso è f = /2: per cui:
 0 if
B
4R
B
 0i
8R
Infine dalla regola della mano destra si ha che il campo è
diretto in verso entrante nella pagina.
Problema 29.2
In figura è mostrata la sezione di due lunghi fili
paralleli, in cui scorrono correnti i1 = 15 A e i2 =32 A
dirette in verso opposto. Determinare il campo
magnetico totale nel punto P; sia d=5.3 cm (si noti
che i segmenti R sono tra loro perpendicolari)
La direzione di B1, B2 è tangenziale alle linee di flusso
circolari del campo di ciascun filo; il verso è dato dalla
regola della mano destra. Inoltre, dall’analisi degli
angoli risulta che B1, B2 sono entrambe orientati con
un angolo a=45° rispetto all’asse x; il modulo di B1, B2
è dato dalla legge di Biot-Savart per il filo rettilineo:
R  d / 2  3.75cm
a  45o
a  45o
B1 
0i1
Tm
15 A
5
 2 107

8

10
T
2
2 R
A 3.75 10 m
B2 
0i2
Tm
32 A
5
 2 107

17
.
06

10
T
2
2 R
A 3.75 10 m
Problema 29.2
Dalle componenti lungo x ed y dei campi B1, B2
B1x   B1 cos(a )
B1 y  B1 sin(a )
B2 x  B2 cos(a )
B2 y  B2 sin(a )

a  45o
a  45o
ricaviamo le componenti del campo risultante B
Bx  B2  B1 cos(a )  6.4 105T
By  B2  B1 sin(a )  17.7 105T
Infine da queste ricavo modulo e direzione del campo lungo l’asse x:
5
B  B  B  18.8 10 T
2
x
2
x
tan( ) 
By
Bx
 2.76    70.10
Forze tra due fili conduttori paralleli
ẑ

Bb

Fab
ŷ
x̂
Calcoliamo la forza esercitata tra due fili
conduttori paralleli a, b, percorsi da
correnti ia, ib di verso concorde.
Consideriamo un sistema di riferimento
cartesiano con l’asse x parallelo ai fili, e
l’asse z perpendicolare al piano dei fili;
chiamiamo Ba il campo generato da ia, e
Bb il campo generato da ib
Applicando Biot-Savart e la regola della mano destra si ha che il B   0ia zˆ
a
campo generato dal filo a in un qualunque punto del filo b è:
2 d
Applicando Lorentz, calcoliamo la forza che agisce F  i L  B  i LB yˆ  0iaib L yˆ
ba
b
a
b
a
su una sezione L del filo b:
2 d

i
Viceversa, il campo generato dal filo b in un qualunque
Bb  0 b zˆ
2 d
punto del filo a è:

 

La forza che agisce su una sezione L Fab  ia L  Bb  ia LBb yˆ   0iaib L yˆ   Fba
2 d
del filo a:
Dunque, due fili percorsi da correnti concordi si attraggono con una forza uguale in
modulo e direzione ed opposta in verso (principio di azione e reazione)
Forze tra due fili conduttori paralleli

Fab
ẑ
ŷ
Invertiamo il verso di ib e ricalcoliamo le
forze per le due correnti discordi

Bb

L
ia
ib

Fba
x̂

Ba
il campo generato dal filo b:
La forza che agisce sul filo a:
campo generato dal filo a in
un qualunque punto del filo b:

i
Ba   0 a zˆ
2 d
la forza che agisce su una sezione L del filo b:
(si noti che L ha cambiato verso, e dunque
anche la forza cambia verso)

 
iiL
Fba  ib L  Ba  ib LBa yˆ   0 a b yˆ
2 d

i
Bb   0 b zˆ
2 d

 

0iaib L
Fab  ia L  Bb  ia LBb yˆ 
yˆ   Fba
2 d
Due fili percorsi da correnti discordi si respingono con una forza uguale in modulo e
direzione ed opposta in verso (principio di azione e reazione);
Aspetto curioso: l’interazione magnetica tra fili percorsi da corrente segue una logica
opposta all’interazione Coulombiana tra cariche elettriche
Legge di Ampère
André-Marie
Ampere (Lione
1775-1836). Il suo
nome è inciso sulla
Torre Eiffel
James Clerk Maxwell
(Edimburgo 18311879). Al pari di
Newton ed Einstein, è
tra i più grandi fisici
teorici della storia
La legge di Ampère è l’analogo magnetico della legge di Gauss per
l’elettrostatica: sfruttando principi di simmetria, essa permette il
calcolo del campo magnetico generato da correnti in modo
semplificato rispetto alla formulazione di Biot-Savart. La legge
prende il nome dal fisico francese André-Marie Ampère, a cui è
storicamente attribuita. In realtà la formulazione rigorosa si deve al
grande fisico e matematico scozzese James Clerk Maxwell, il vero
fondatore della teoria classica dell’elettromagnetismo.
Legge di Ampère: l’integrale di linea (curvilineo) del campo
magnetico lungo un cammino chiuso è uguale alla corrente
complessiva che attraversa la superficie delimitata dal circuito
chiuso, moltiplicata per la permeabilità magnetica del vuoto
 
 B  ds  0iint
T m

A


0  4 107 
Legge di Ampère
Consideriamo il campo B generato da 3 correnti,
perpendicolari al piano della figura, ed il
cammino chiuso disegnato; tutte e 3 le correnti
contribuiscono a generare B, ma per la legge di
Ampère, soltanto le correnti i1 e i2 che
attraversano la superficie interna al circuito
contribuiscono all’integrale di linea
Con che segno ciascuna corrente contribuisce
all’integrale? Il segno dipende dal verso di integrazione:
Supponiamo che il verso di integrazione (ovvero ds) sia
data dalla freccia lungo il percorso: orientando le 4 dita
della mano destra nel verso d’integrazione, sono
positive le correnti con verso concorde col pollice,
negative quelle opposte al pollice. Dunque:
 
 B  ds  0iint  0 i1  i2 
Campo magnetico all’esterno di un filo infinito
Utilizziamo la legge di Ampère per calcolare il
campo magnetico generato da un filo rettilineo
infinito in cui scorre corrente i
r
Sfruttiamo un principio di simmetria: sappiamo da
Biot-Savart che il campo magnetico è
perpendicolare alla direzione del filo e al vettore r,
e che in modulo dipende soltanto dalla distanza r,
ovvero il campo ha simmetria cilindrica.
La scelta più semplice per risolvere l’integrale sul circuito è quindi quella di
prendere un circuito circolare centrato attorno al filo, poiché lungo il cerchio il
campo è costante in modulo e sempre parallelo al vettore spostamento ds. Dunque,
l’integrale si risolve facilmente come:
 
 B  ds   B ds B ds B2r 
Applicando quindi la legge di Ampère, si trova (molto più semplicemente di quanto
fatto in precedenza integrando la formula di Biot-Savart):
0i
B2r   0i  B 
2r
Campo magnetico all’interno di un filo infinito
Calcoliamo il campo magnetico generato dal filo
rettilineo infinito in un punto interno alla sezione
del filo (sia R il raggio della sezione). Si supponga
la corrente i distribuita uniformemente nel filo.
Il campo magnetico ha ancora simmetria cilindrica,
e stessa direzione e verso che all’esterno del filo;
dunque consideriamo di nuovo l’integrale lungo un
cerchio centrato sull’asse del filo, con r< R:
 
 B  ds   B ds B ds B2r 
Nella legge di Ampère dobbiamo però considerare non tutta la corrente i del filo, ma
solo quella che scorre internamente al cilindro di raggio r. Dall’ipotesi di corrente
uniforme si deduce che, se A è l’area della sezione, la densità di corrente J = i/A è
costante in ogni punto dell’area. Dunque, la corrente interna al cilindro di raggio r è:
2
2
i

r
r
iin  J  r 2   r 2  i
i 2
2
A
R
R
 
B
0iin
i
 02r
2r 2R
Campo magnetico di un filo carico

B

ds
0i
B
2 r
esterno al filo

r
0i
B
r
2
2R
B
R
interno al filo
B(r) ha stesso andamento del campo elettrico
E(r) di un cilindro isolante uniformemente
carico: all’interno crescono linearmente,
all’esterno decadono come 1/r; per la sfera
isolante uniformemente carica E(r) è ancora
lineare all’interno, mentre all’esterno decade
come 1/r2.
Problema 29.3
Consideriamo cilindro cavo, di raggio interno a=2 cm ed
esterno b=4 cm; nel cilindro scorre una corrente uscente
dal piano di densità non uniforme J = cr2, con c=3106
A/m4; calcolare il campo magnetico B in un punto
distante r=3 cm dall’asse del cilindro.
Sfruttiamo la simmetria cilindrica del campo magnetico e
calcoliamo l’integrale di linea su un cerchio di raggio r
centrato sull’asse del cilindro:
r
 
 B  ds  B2r 
Dalla legge di Ampère si ricava:
0iin (r )
B2r   0iin (r )  B 
2r
Problema 29.3
essendo la densità di corrente non uniforme, la
corrente interna al cerchio chiuso di raggio r deve
essere calcolata dalla formula generale:
r'
iin (r )  
dr '
r
a


J (r ' )  dA
La corrente è perpendicolare all’area della sezione,
per cui il prodotto scalare si può eliminare; inoltre
come area infinitesima possiamo prendere la corona
di raggio r’ e spessore dr’ disegnata in giallo in figura:
dA  2r ' dr '
 iin (r )  2 
r
a
4
4
r

a
J (r ' )r ' dr '  2c  r '3 dr  2c
a
4
r
4
4
r 4  a4
7  T m 
6 A 3 2
 B  0 c
  10 
106 m3    65 107 T  0.2 104 T
3 10 4
4r
m
3
 A 
Il Solenoide
Un caso estremamente importante in cui la legge di
Ampère è utile è il solenoide, ovvero un filo di
corrente estremamente lungo, avvolto in spire
molto strette. In pratica il solenoide è una bobina
cilindrica in cui la lunghezza del filo avvolto è
molto maggiore del diametro della bobina
Un solenoide infinitamente lungo e formato da spire strettamente unite si dice
ideale. Nel solenoide ideale il campo magnetico è nullo al di fuori del solenoide,
uniforme e parallelo all’asse del solenoide all’interno. In pratica il solenoide è lo
strumento più comune per generare campi magnetici uniformi; dunque è l’analogo del
condensatore per i campi elettrici.
Considerare il campo nullo all’esterno del
solenoide è ragionevole anche per un
solenoide reale, purché la sua lunghezza
sia molto maggiore del diametro, ed i
punti in cui consideriamo il campo
sufficientemente lontani dai bordi.
All’interno del solenoide l’assunzione di
campo uniforme è realistica se non si
considerano punti troppo vicini alle spire
Campo magnetico del solenoide reale
Il campo magnetico del solenoide è la somma
vettoriale dei campi prodotti da ciascuna spira.
Per ottenere un’idea qualitativa del campo
generato dal solenoide, ‘stiriamo’ il solenoide,
in modo da visualizzare più distintamente le
linee di campo.
 Vicino a ciascuna spira le linee del campo sono
cerchi concentrici poiché il campo tende ad
assomigliare a quello prodotto dal filo rettilineo.
 Nel mezzo di due spire adiacenti il campo
tende a cancellarsi, poiché i cerchi concentrici di
ciascuna spira hanno verso opposto e si elidono.
 Al di fuori del solenoide (ad es. nel punto P) il
campo tende ad annullarsi poiché i contributi
delle spire superiori (corrente uscente dal foglio)
ed inferiori (entrante nel foglio) si compensano
Internamente al solenoide, a distanza
ragionevolmente lontana dal filo, il campo è circa
uniforme, con linee parallele all’asse del
solenoide
Campo magnetico del solenoide ideale
Orientando le 4 dita nel verso della
corrente, il pollice dà la direzione del
campo interno al solenoide. Applichiamo
Ampère: calcoliamo l’integrale di linea
del campo lungo il circuito chiuso
rettangolare abcd in figura.
  b  c  c  a 
 B  ds   B  ds   B  ds   B  ds   B  ds
a
b
d
d
Solo l’integrale tra a e b contribuisce: sui lati verticali B e ds sono perpendicolari ed il
prodotto scalare è nullo, mentre sul lato orizzontale superiore B è nullo.
  b
 B  ds   B ds  Bh
a
Se i è la corrente nel solenoide ed n il numero di spire per unità di lunghezza, la
corrente totale che attraversa la superficie del circuito è ovviamente i(nh), per cui:
Bh  0inh  B  0in
Campo magnetico del toroide
Il toroide è un solenoide ripiegato a ciambella; si
intuisce che le linee di campo magnetico interne al
toroide debbano essere circonferenze centrate nel
centro del toroide.
Calcoliamo il campo magnetico interno al toroide
utilizzando Ampère; consideriamo come circuito
d’integrazione la circonferenza arancione di raggio
r, percorsa in senso orario (si noti che le spire
interne alla circonferenza sono entranti nel foglio).
Per simmetria circolare, il campo è costante e
tangenziale ad ogni punto del circuito, per cui:
 
 B  ds  B(2r )
Il numero di spire che attraversa la superficie
delimitata dal circuito sono tutte le N spire del
toroide, per cui:
0i N 1
B(2r )  0i N  B 
2 r
Esternamente alla ciambella il campo è nullo in
tutti i punti
Problema 29.4
Consideriamo un solenoide lungo L=1.23 m, e diametro interno d=3.55 cm, composto
da 5 strati di spire, ciascuno con 850 spire, in cui scorre una corrente i=5.57 A.
Calcolare B nel centro del solenoide.
La lunghezza del solenoide è molto maggiore
h
del diametro; si può quindi supporre il
solenoide ideale. Dall’integrale di linea sul

circuito chiuso in rosso ricaviamo:
B
d
  b
 B  ds   B ds  Bh  0i 5Nh
a
L
Nh è il numero di spire di un singolo strato contenute all’interno del segmento h;
ipotizzando la densità di spire n uniforme, si ha
850
850
n
 Nh  n h 
h
L
L
5  850
4250
7 Tm
 B  0i
 4 10
5.57 A
 2.4 102 T
L
A
1.23m
NB: d non entra nell’espressione di B, serve soltanto a definire il carattere ideale del
solenoide
Campo magnetico generato dalla bobina
Abbiamo visto che la bobina in campo magnetico si
comporta come un dipolo magnetico di momento  =
NiA n, la cui direzione dipende dal verso della
corrente, come stabilito dalla regola della mano
destra (in figura).
Analogamente ad un dipolo magnetico e ad ogni
circuito percorso da corrente, anche la bobina
produce il suo campo magnetico; il problema però
non ha simmetria così elevata da poter applicare la
legge di Ampère, per cui il calcolo di B necessita l’uso
della formula generale di Biot-Savart.
Il campo prodotto dalla spira lungo l’asse è
effettivamente simile a quello di un dipolo
magnetico, con la faccia superiore della spira che
funge da polo nord, e quella inferiore da polo sud
Nei dintorni della spira il campo si discosta totalmente da quello tipico del dipolo
magnetico, e approssima piuttosto quello del filo rettilineo, con centri concentrici che
si diradano allontanandosi dal filo
Campo magnetico generato dalla bobina
Per una singola spira circolare il campo B generato lungo
l’asse z perpendicolare al piano della spira e passante per il
centro è (diamo il risultato senza dimostrazione):
ẑ

B

B( z ) 
Per punti lontani
dalla spira: (z >> R)


R
i

B( z ) 

0iR 2

2 3/ 2
2 R z
0iR 2
2

zˆ

2z (R / z)  1
3
2
3/ 2
zˆ 
0iR 2
2z
3
zˆ

0 NiA
B( z ) 
zˆ
3
2 z


0 
B( z ) 
2 z 3


1 p
E( z) 
2 0 z 3
Se sostituiamo l’area Ar2
e consideriamo N spire:
Riscriviamo il campo in termini di
momento di dipolo della bobina:
In forte analogia col campo del dipolo
elettrico lungo l’asse del dipolo:

  NiA zˆ;


p  qd ;

risultato ottenuto in precedenza applicando
i
Nel centro della spira (z=0): B(0)  0 zˆ
Biot-Savart nel centro di curvatura dell’arco
2R
Sommario: campi magnetici generati da correnti
P
Legge di Biot e Savart
Permeabilità
magnetica del vuoto
0  4 107 
 0 if
B
4R
0i
B
2 R

Bb

Fab
ŷ
x̂
T m

A


Nel centro di
curvatura dell’arco:
Filo rettilineo infinito:
simmetria cilindrica
ẑ
 
 i ds  r

3
 r
  0
dB  
 4
Forza tra fili paralleli
0iaib L
F
2 d
Sommario: campi magnetici generati da correnti
Legge di Ampère
 
 B  ds  0iint  0 i1  i2 
Nel solenoide ideale:
esterno al filo:
i
B 0
2 r
interno al filo:
i
B 0 2r
2R

r
B  0in
Lungo l’assedella
bobina:
B( z ) 

0iR 2
2 R z
2

2 3/ 2
zˆ
lontano dalla bobina
(anche per un qualsiasi
dipolo magnetico):
Nel toroide
0i N 1
B
2 r


0 
B( z ) 
2 z 3