xi P(xi)

Esercizi del 13-15 maggio 2012
Esercizio
Due dadi hanno le facce numerate nel modo seguente:
1,1,2,2,2,3
Trovare la p. che il punteggio totale sia:
a) Uguale a 4;
b) minore di 4;
c) maggiore di 4
Soluzione
Costruiamo lo spazio campionario:
(all’interno delle tabella compare la somma delle facce e ciascuna di queste somme ha p. =1/36)
dado1\ dado 2
1
1
2
3
2
3
totale
1
2
2
3
4
3
4
1
2
2
3
4
3
4
2
3
3
4
5
4
5
2
3
3
4
5
4
5
2
3
3
4
5
4
5
3
4
4
5
6
5
6
Px  4 
12
36
14
b) P x  4  
36
10
c) P x  4  
36
a)
Gli eventi presi in esame formano una partizione la cui somma è uguale a 1.
1
Esercizio
Si effettui il lancio di un dado:
Calcolare:
1)
2)
3)
4)
La p. che esca un 2 oppure un 5;
La p. che esca un numero pari;
La p. che esca un numero divisibile per 3;
Dati gli eventi:
Evento A1 = ‘’esce 1 oppure 2’’;
Evento A2 =’’es ce 2 oppure 3’’
Calcolare P A1  A2 
Soluzione
Nel lancio di un dado si possono verificare gli eventi uscita 1,2,3,4,5,6 con p. pari a 1/6:
P1 
1
1
1
1
1
1
 P2   P3   P4   P5   P6 
6
6
6
6
6
6
1
1
2
1
P2  5  P   P   P   P 
6
6
6
3
1
1
1
3
1
2) P2  4  6   P   P   P   P   P 
6
6
6
6
2
1)
3)
1
1
2
1
P3  6  P   P   P   P 
6
6
6
 3
Calcoliamo le proprietà unione relative ad A1 e A2
4)
1
1 1
P A1  A2   P A1   P A2   P   P  
6
6 3
1
1 1
P A2  A3   P A2   P A3   P   P  
6
6 3
Per quanto riguarda la probabilità unione A1 e A2 occorre notare che i due eventi hanno in comune
l’evento uscita faccia 2 e quindi si
1
1
1 1
P A1  A2   P A1   P A2   P A1  A2   P   P   P  
 3
 3
6 2
2
Esercizio
Si consideri la variabile aleatoria doppia la cui funzione di p. è esposta nella tabella che segue:
x\Y
2
0
4
totale
1/6 1/12
3/12
1 1/12 5/12
6/12
2
1/6 1/12
3/12
totale 5/12 7/12
1
1)Determinare la funzione di p. della v.c. K=XY e Z =X+Y;
2) verificare se esiste dipendenza tra le due variabili;
3) calcolare il coefficiente di correlazione4)Si calcolino inoltre le seguenti probabilità:
P2  4;
P1 2;
P2 / 2
Soluzione
Calcoliamo la media e la devianza delle due distribuzioni
Prospetto di calcolo
xi
0
1
2
totale
P(xi) xip(xi) xi2 xi2p(xi)
3/12
0 0
0
6/12 6/12 1
6/12
3/12 6/12 4 12/12
12/12
1
18/12
 x   xi p  xi   1
i
 x2   xi2 pxi    x2  1,5  1  0,5
i
3
Prospetto di calcolo
yj
p(yj)
2 5/12
4 7/12
totale
1
yjp(yj) yj2 yj2p(yj)
10/12 4 20/12
28/12 16 112/12
38/12
132/12
 y   y j py j  
j
38
 3,17
12
 y2   y 2j p  y j    y2 
j
132
 3,17 2  11  10,05  0,95
12
Costruiamo la tabella che mostra la f. di p. del prodotto xy:
K
P(k)
0
1/6
0
1/12
2
1/12
4
5/12
4
1/6
8
1/12
totale 12/12=1
Calcoliamo la media della distribuzione prodotto:
K
P(k)
Kp(k)
0
2/12
0
0
1/12
0/12
2
1/12
2/12
4
5/12
20/12
4
2/12
8/12
8
1/12
8/12
totale 12/12=1 38/12
 k   k i pki  
i
38
 3,17
12
 xy   x   y  1  3,17  3,17
4
Calcolo del coefficiente di correlazione
Tabella dei prodotti :
  x y pxy
i
i
x\Y
2
4
0
0
1
j
j
totale
0
0
2/12 20/12 22/12
2
4/6
8/12 16/12
totale 10/12 28/12 38/12
cov xy    xi y j pxy   x   y 
i

j
cov xy
 x y

38
 3,17  1  3,17  3,17  0
12
0
0

0
0,71  1,84 1,31
Non esiste relazione di tipo lineare.
Dipendenza in media
1° distribuzione condizionata
xi
nij
xinij
0 2/12
xi2 xi2p(xi)
0
0
0
1 1/12 1/12
1
1/12
2 2/12 4/12
4
8/12
totale 5/12 5/12
1
9/12

x
1

 x pxy
i
i
p y.1 
5
 12  1
5
12
2
5 
9 5
4
dev x1   x pxy  x1    1 
12
12 12
12
i
2
i
5
2° distribuzione condizionata
xi
nij
xinij
0 1/12
0
0
0
1 5/12 5/12
1
5/12
2 1/12 2/12
4
4/12
totale 7/12 7/12
1
9/12

x
2

 x pxy
i
i
p y.2 
7
 12  1
7
12
dev x2   xi2 pxy 
i
x/ y
xi2 xi2p(xi)
2
9 
9 7 2 2

 1 
x
12 2 12 12
12
6
devE
 1
 1  12  1  1  0
devx
0,5
Rapporto di correlazione y a x
1° distribuzione condizionata
yjnij
Yj 2
Yj2nij
2 2/12 4/12
4
8/12
yj
nij
4 1/12 4/12 16 16/12
totale 3/12 8/12

y
 y pxy
j
1

j
px1 .
8
8
 12 
3 3
12
3
dev y1   y pxy 
12
i
2
j
24/12
 2
y
1
24 3  8 
24 3 64 24 16 72  64 8 2
   
 

 


12 12  3 
12 12 9 12 9
36
36 9
2

6
2° distribuzione condizionata
yj
nij
yjnij
Yj 2
Yj2nij
2/12
4
4/12
2 1/12
4 5/12 20/12 16 80/12
totale 6/12 22/12

j
y
2

dev y2

 y pxy
j
px 2. 
84/12
22
11
 12 
6
3
12
6
  y p xy 
12
j
2
j
 2
y
2
2
84 6  11 
84 6 121 84 1 121 84 121

   
 

 



12 12  3 
12 12 9
12 2 9
12 18
256  242 14 7


36
36 18
3° distribuzione condizionata
yjnij
Yj 2
Yj2nij
2 2/12 4/12
4
8/12
Yj
nij
4 1/12 4/12 16 16/12
totale 3/12 8/12

y
 y pxy
j
3

j
px3. 
8
8
 12 
3 3
12
3
dev y3   y pxy 
12
j
2
j
dev E 
24/12
 2
y
3
24 3  8 
24 3 64 24 16 72  64 8 2

   
 

 


12 12  3 
12 12 9 12 9
36
36 9
2
2 7 2 4  7  4 15
  

9 18 9
18
18
7
y/x
15
devE
0,83
 1
 1  18  1 
 1  0,87  0,13
devy
0,95
0,95
Esiste una debole dipendenza in media della y rispetto alla x , mentre non esiste dipendenza in
media della x rispetto alla y.
Punto 4)
P2  4  P2  P4  P2  4 
P1  2 
3 7 1
9
  
12 12 12 12
1
12
2
P0  2 12 2
P0 / 2 


5 5
P2
12
8
Esercizio
Un’azienda produttrice di prodotti di bellezza ha realizzato confezioni di crema idratante con un contenuto
medio pari a 75 ml e d.s. pari a 5 ml- Il lotto di produzione è composto da 250 vasetti. Si chiede:
a) di trovare il numero dei vasetti che hanno un contenuto pari ad almeno 65 ml supponendo che la
distribuzione si distribuisca normalmente;
b) il numero minimo di vasetti cn una quantità di crema compresa tra 68 e 82 ml supponendo che non
sia nota la distribuzione del carattere.
Soluzione
a) la distribuzione si presenta secondo una normale e quindi occorre trovare la frazione dei casi
standardizzando nel modo che segue:
65  75 

P x  65  P z 
  P z  2  0,5  0,4772  0,9772
5 

Abbiamo circa il 98% dei vasetti che presentano un contenuto maggiore di 65 ml e il numero dei vasetti è
dato da:
250  0,9772  244
b) la forma della distribuzione non è nota e quindi per trovare la frazione dei casi dobbiamo ricorrere
al teorema di Chebyshev. In base ai dati a disposizione risulta che:
P70  x  90  1 
1
k2
L’intervallo considerato è simmetrico e allora il valore di k sarà dato da:
k
68  75
 1,4 nella parte sinistra della curva e + 1,4 nella parte destra
5
la frazione dei casi quindi è data da:
P68  x  82  1 
1
 1  0,5102  0,49
1,4 2
e il numero dei vasetti:
250  0,49  122,5
9
Esercizio
Si approssimi con la d. normale la distribuzione bernoulliana con n = 90 e proporzione dei successi pari a
0,3. In particolare si trovi la seguente probabilità:
P20  x  37
Soluzione
Se vogliamo approssimare con la d. normale occorre conoscere il valore della media e della d. s. della
distribuzione osservata:
  n  90  0,3  27
 2  n 1     90  0,3  0,7  18,9
  n 1     90  0,3  0,7  18,9  4,3474
Usando l’approssimazione per la probabilità richiesta si avrà:
 19  20  27 
 37  38  27 
P20  x  37   P
 z
  P 1.73  z  2.42  0,4582  0,4922  0,95
4,3474 
4,3474 


Esercizio
Da un’urna contenente tre palline numerate da 1 a 3 si estraggono senza reimmissione 2 palline.
a) si costruisca la distribuzione congiunta x = più piccolo dei numeri estratti e y = somma dei numeri
estratti;
b) dimostrare che le due variabili non sono indipendenti.
c) la distribuzione condizionata di x/ y = 4;
Soluzione
Per prima cosa costruiamo lo spazio campionario delle possibili estrazioni senza ripetizione:
X1\X2
1
2
3 p(xi)
1
/ 1/6 1/6 1/3
2 1/6
/ 1/6 1/3
3 1/6 1/6
/ 1/3
totale 1/3 1/3 1/3
1
10
Punto a)
La tabella da costruire è la seguente:
x\y
3
4
5
totale
1 2/6 2/6
/
4/6
2
/
/ 2/6
2/6
totale 2/6 2/6 2/6
1
b)Le due variabili sono sicuramente dipendenti dal momento che nella tabella sono presenti diverse caselle
vuote.
c)la distribuzione condizionata è data da:
x\y
4
totale
1 2/6
2/6
2
/
0
totale 2/6
2/6
Esercizio
I carichi di rottura ,in kg, di 6 pezzi selezionati da una linea di produzione sono risultati i seguenti:
xi
190
204
195
210
200
198
1197
1) Trovare le stime corrette ed efficienti dei pezzi selezionati;
2) Costruire l’intervallo di confidenza al 95% della media e della varianza della popolazione.
3) Se si vuole un grado di precisione della stima di 5 che dimensione avrebbe dovuto avere il
campione?
11
Soluzione
Calcoliamo le stime corrette ed efficienti della media e della varianza predisponendo la seguente tabella:
xi 2
xi
190
36100
204
41616
195
38025
210
44100
200
40000
198
39204
1197
239045

1)
x
xi 1197

 199,5
n
6
 2
dev x  x  n x  239045  6  199,5 2  239045  238801,5  243,5
2
i
s2 
dev x 243,5

 48,7
n 1
5
s  48,7  6,978539
2)Intervallo di confidenza

  x  t
2
, n 1

s
n
 199,5  2,571 
6,978
6
 199,5  2,571 
6,978
 199,5  2,571  2,8487 
2,4495
 199,5  7,3241
L’intervallo per la media è quindi:
192,17    206,82
possiamo essere confidenti al 95% che la media della popolazione dei carichi di rottura sia compresa tra
192,17 e 206,82.
12
Intervallo di confidenza per la varianza

 n  1s 2

n  1s 2
2
P
  2
2
 
   , n 1
1 , n 1
2
2



  0,95


243,5 
 243,5
P
2 
  P18,98   2  293,37 
0,83 
 12,83
3) dimensione del campione
Il grado di precisione della stima è dato da:
  t
2
, n 1

s
e sostituendo i valori noti si avrà:
n
5  2,571
6,978
25  6,61 
48,6925
e la numerosità necessaria per avere il grado di precisione richiesto sarà:
n
n
n
elevando al quadrato l’espressione si otterrà:
6,61  48,6925 321,86

 12,87
25
25
Il campione deve essere composto di 13 unità per avere un grado di precisione di 5.
13