ESERCIZI
DI
ELETTROTECNICA
IN CORRENTE CONTINUA
( SOLO TESTO )
a cura del
Prof. Michele ZIMOTTI
1
RICHIAMI DI MATEMATICA
DAL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE DECIMALE
Dato il numero decimale scrivere la frazione decimale corrispondente:
Es: 0.23 = 23/ 100
7.7523 = 77523 / 10000
REGOLA:
Si scrive il numero decimale senza la virgola e si divide 1 seguito da tanti zeri quante
sono le cifre decimali.
DALLA FRAZIONE DECIMALE AL NUMERO DECIMALE
Data la frazione decimale scrivere il numero decimale corrispondente:
Es: 12/100= 0.12
4/1000= 0.004
REGOLA:
Si scrive il numeratore e a partire dalla cifra unità si sposta la virgola verso sinistra di tanti
posti quanti sono gli zeri a denominatore
POTENZE DECIMALI
ad esponente positivo
ad esponente negativo
101= 10
10-1= 0.1
102= 100
10-2= 0.01
103= 1000
10-3= 0.001
104= 10000
10-4= 0.0001
2
GRANDEZZE ELETTRICHE E LORO UNITA’ DI MISURA
UNITA’ DI MISURA
SIMBOLO
TENSIONE EL
VOLT
V
CORRENTE EL
AMPERE
A
RESISTENZA EL
OHM
Ω
POTENZA EL
WATT
W
ENERGIA EL
JUOLE
J
CALORIA
Cal
DENOMINAZIONE
ENERGIA TERMICA
SCALA DEI MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
multipli
DENOMINAZIONE SIMBOLO VALORE DEC
GIGA
G
109
MEGA
M
106
KILO
K
103
milli
m
10-3
micro
µ
10-6
nano
n
10-9
sottomu
ltipli
base
EQUIVALENZA
Quando si scende si multipla la base 10 3 *n, dove n rappresenta il numero di posti che
separa il valore iniziale da quello finale; viceversa quando si sale si divide per lo stesso
fattore 103 *n.
Esempio:
12 kW = 12*(103 *1) W = 12.000 [W]
25,4 mA = 25,4 / (103 *1) A = 25,4/1000 A = 0.0254 [A]
3
SISTEMA METRICO DECIMALE
MISURE DI LUNGHEZZA
Simbolo
Val Decimale
Mm
10 4
Km
103
hm
102
dam
101
m
1
dm
10-1
cm
10-2
mm
10-3
MISURE DI SUPERFICIE
Miriametro Quad Mm2
10 8
Denominazione
Miriametro
Chilometro
Ettometro
Decametro
metro
decimetro
centimetro
millimetro
Chilometro Quad Km2
106
Ettometro Quad hm2
104
ettaro
ha
Decametro Quad dam2
102
ara
a
Metro Quadr
m2
1
Decimetro quad dm2
10-2
Centimetro quad cm2
10-4
Millimetro quad
mm2
10-6
MISURE DI VOLUME
Decastero
das
10 1
Metro cubo
m3
1
stero
s
1
decistero
ds
10-1
decimetrocubo
dm3
10-3
Centimetro cubo cm3
10-6
Millimetro cubo
mm3
10-9
4
RESISTIVITA’ DEI MATERIALI CONDUTTORI
Più usati
Nome
Resistività a 0°C
o
[Ω*mm2/m]
Coefficiente di temperatura a
0°C
o
0.016
0.00426
0.0265
0.0043
ACCIAIO
0.14
0.0039
FERRO
0.13
0.0047
OTTONE
0.085
0.0039
PIOMBO
0.198
0.0043
NICHELIO
0.118
0.006
PLATINO
0.103
0.0036
ARGENTO
0.015
0.0038
ARGENTANA
0.37
0.00017
0.4
0.0001
0.44
0.00001
0.5
0.00002
NICROMO
1.06
0.000051
MERCURIO
0.94
0.00089
0.0505
0.0042
RAME
ALLUMINIO
NICHELINA
MANGANINA
COSTANTANA
TUNGSTENO
5
(T) =o*(1+ o*T)
RESISTIVITA’ A T°C
INTENSITA’ DI CORRENTE
Dove
Q = quantità di elettricità
t = tempo in secondi
I = Q / t [A]
DENSITA’ DI CORRENTE
= I /s [A/mm2 ]
Dove
s sezione del conduttore s = 3.14*d 2/4 [mm2]
d= diametro del conduttore = rad.q.( 4*s/ 3.14)
FORMULE USATE PER LA RISOLUZIONE DEI CIRCUITI
1a LEGGE DI OHM
VAB= RAB*IAB
IAB = VAB/RAB
RAB = VAB / IAB
2a LEGGE DI OHM
R = T *L/ s
Dove
T è la resistività del materiale conduttore alla temperatura T°C
L è lunghezza del conduttore in metri
S è la sezione del conduttore in mm2
LEGGE DI OHM PER UN CIRCUITO CHIUSO
Dove
EAB è la fem del generatore
Ri è la resistenza interna del generatore
R è la resistenza totale del circuito esterno
IAB= EAB / ( Ri +R)
CADUTA DI TENSIONE INTERNA AL GENERATORE
CADUTA DI TENSIONE %
Dove
VLè la caduta di tensione sulla linea
Va è la tensione di arrivo
Vi = Ri *I
vL% = 100* (V L/ Va)
TENSIONE DISPONIBILE AI MORSETTI DEL GENERATORE
CORRENTE DI C.TO C.TO DEL GENERATORE
VAB = E—Vi
ICC = E / Ri
LEGGI DI KIRCHHOFF
1A LEGGE AI NODI: la somma aritmetica delle correnti entranti ai nodi è uguale alla
somma delle correnti uscenti.
2A LEGGE ALLE MAGLIE: la somma algebrica di tutte le fem che agiscono in una maglia
è uguale alla somma algebrica delle cadute di tensione lungo i lati appartenenti alla
stessa maglia.
6
COLLEGAMENTI PRATICI IMPORTANTI
SERIE DI RESISTENZE
1. L’intensità di corrente è la stessa per tutte le resistenze della serie
2. Le ddp tra i capi delle singole resistenze sono proporzionali alle singole resistenze
3. La ddp totale agente agli estremi della serie è la somma aritmetica delle singole
ddp
4. L’intera serie equivale ad un'unica resistenza di valore pari alla somma aritmetica
delle singole resistenze che la compongono:
RS = R1 +R2 +R3+R4+…..
PARALLELO DI RESISTENZE
1. La ddp applicata è la stessa per tutte le resistenze del parallelo
2. Le correnti nelle singole resistenze sono inversamente proporzionali alle rispettive
resistenze
3. La corrente totale che attraversa il complesso delle resistenze in parallelo
costituisce la corrente nel circuito principale ed è la somma delle correnti nelle
singole resistenze derivate.
4. L’intero parallelo o arco multiplo equivale ad un'unica resistenza di valore pari al
reciproco della somma dei reciproci delle singole resistenze :
Rp = 1/ (1/R1+1/R2+1/R3+1/R4 +…..)
CASI PARTICOLARI
1. Se le resistenze del parallelo sono due, la relazione precedente si semplifica:
Rp = ( R1*R2 ) / ( R1+R2 )
2. Se le resistenze del parallelo sono tutte uguali ad R:
Rp = R / n
CONCETTI ENEREGETICI
POTENZA ELETTRICA
P = L / t [W ]
POTENZA GENERATA:
P = E *I [W ]
POTENZA ASSORBITA
P = V*I = R*I 2 = V2 / R
PERDITA SULLA LINEA
PL = R*I 2
PERDITA % SULLA LINEA
p% = 100* R*I 2 / Pu
RENDIMENTO DEL GENERATORE
Rend = Pd/Pg
Dove Pd è la potenza disponibile ai morsetti del generatore
Pg è la potenza dello stesso generatore
RENDIMENTO DELL’ UTILIZZATORE
Rend = Pu/Pg
Dove Pu è la potenza assorbita dall’utilizzatore
Pg è la potenza dello stesso generatore
ENERGIA ELETTRICA
W = P * t [J] oppure [Ws]
ENERGIA TERMICA
ET = 0.000238 * R*I 2 * t(s)
[ cal]
2
ET = 0.856 * R*I * t(h)
[ cal]
COSTO ENERGIA ELETTRICA
Costo = ET * pu
Dove pu è il prezzo unitario
PESO SPECIFICO:
ps = Peso / Volume [Kg/dmc]
[ g / mmc]
7
RISOLUZIONE DEI CIRCUITI COL METODO ZIM
Introduzione
In un circuito funzionante a vuoto c’è la presenza di una tensione, ma non scorre
corrente.
In un circuito funzionante a carico c’è la presenza di una tensione e la circolazione di una
corrente.
Il metodo ZIM consiste nell’applicazione di 54 fasi:
1a fase: INDIVIDUAZIONE
Individuare tutti i morsetti e punti di connessione dei componenti attivi (
generatori) e passivi ( resistenze) presenti nel circuito funzionante a carico;
2a fase: IDENTIFICAZIONE
identificare tutti i punti di connessione con una lettera dell’alfabeto ad esclusione
delle seguenti V R I G E , con il seguente criterio: assegnare la stessa lettera a quei punti
di connessione uniti da un tratto di conduttore, mentre lettere diverse a quei punti di
connessione separati dal simbolo del generatore o del resistore.
3a fase: SEMPLIFICAZIONE
Semplificare il circuito applicando le conoscenze della serie: componenti
attraversati dalla stessa corrente ( oppure quando la fine di uno è l’inizio solo di un altro) ;
del parallelo, componenti che presentano la stessa ddp oppure che presentano le stesse
lettere agli estremi). Il procedimento termina quando si arriva ad una sola resistenza da
collegare ai morsetti del generatore. Naturalmente è necessario riscri vere tanti circuiti
quante sono le semplificazioni usate. Per ogni circuito modificato è necessario conservare
la stessa identificazione dei morsetti per la parte non modificata.
4a fase: ANALISI
Dall’ultimo circuito calcolare la corrente erogata dal ge neratore applicando la
legge di OHM.
Risalire al primo circuito e per esso applicare tante leggi di OHM quante sono le correnti
incognite.
5a fase: RICERCA
Dopo aver scritto tutte le relazioni di OHM per il calcolo delle correnti, si
riprende la prima relazione: se in essa è noto il valore della ddp. Basta eseguire il calcolo
per avere il valore della corrente.
In caso contrario , a partire dall’ultimo circuito fino al primo, individuare quel circuito
in cui sono presenti i due punti della ddp, con un solo componente tra essi, e calcolare la
ddp incognita per il calcolo della corrente richiesta.
Procedere in modo analogo per le atre correnti.
8
ES.1
Eseguire le seguenti trasformazioni
12 mA= …….A
25 KV= ……..V
2,4 mW= …...:W
29,4 A= …….mA
12,3 KΩ= …..Ω
12,345 MW= ….W
ES.2
Calcolare la resistenza elettrica che deve presentare un conduttore di piombo di
lunghezza L = 4 Km . di diametro di 2mm , alla temperatura di 0°C.
SOLUZIONE
DATI
CALCOLARE
Pb
1. R= ?
L = 4 Km
d= 2mm
T =0 °C
ES.3
Calcolare la sezione di un conduttore di ferro , lungo 5 Km, alla temperatura di 15°C, con
resistenza elettrica di 2,3 KΩ.
SOLUZIONE
DATI
CALCOLARE
Fe
1. s= ?
L = 5 Km
R = 2,3 KΩ.
T = 15°C
ES.4
Calcolare la lunghezza di un conduttore di rame che deve presentare una resistenza
elettrica da 120 Ω, di diametro d= 2,5 mm, alla temperatura di 20°C.
SOLUZIONE
DATI
CALCOLARE
Cu
1. L= ?
R = 120 Ω
d= 2,5 mm
T =20 °C
ES.5
Un generatore di corrente continua con E = 120 V e resistenza interna Ri = 2 Ω , alimenta
un utilizzatore che presenta una resistenza di 10 Ω. Calcolare:
La corrente erogata dal generatore
La cdt interna del generatore
La tensione disponibile ai suoi morsetti
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
CALCOLARE
1.E = 120 V
1.I AC=
2.Ri = 2 Ω
2.Vi =VBC
3.Ru=10 Ω
3.Vd =VAB
9
ES .6
Un utilizzatore presenta una resistenza Ru= 100 Ω e viene attraversato da una
corrente I = 10 mA erogata da un generatore di tensione con resistenza interna Ri = 1 Ω.
Calcolare la fem del generatore.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
1.Ru= 100 Ω
2.Ri = 1 Ω
3. IAB = 10 mA
CALCOLARE
1.E=
ES.7
Un generatore di corrente continua con fem E = 220 V , resistenza interna
Ri =5
Ω alimenta un utilizzatore che presenta le seguenti caratteristiche nominali: Vn= 250V, In=
2,5 A.
Calcolare:
la corrente assorbita dall’utilizzatore
La c.d.t. interna del generatore
La ddp ai capi dell’utilizzatore
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
1.E = 220 V
2.Ri = 5 Ω
3.Vn=250 V
4. In= 2,5 A
CALCOLARE
1.I AB=
2.Vi =VBC
3.VAB
10
ES.8
Un generatore di corrente continua con fem E = 220 V, Ri=5 Ω alimenta due
utilizzatori collegati in parallelo di cui le caratteristiche nominali sono rispettivamente le
seguenti:
Vn1= 250 V - In1= 25 A
Vn2 = 260 V - In2 = 13 A
Calcolare:
la corrente erogata dal generatore
La cdt interna del generatore
La tensione disponibile ai morsetti del generatore
La corrente assorbita da ciascun utilizzatore
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
CALCOLARE
1.E = 220 V
1.I AC=
2.Ri = 5 Ω
2.Vi =VBC
3.Vn1=250 V
3.VAB
4. In1= 25 A
4. I1=
5. V2n=260 V
5. I2 =
6. In2= 13 A
ES.9
Un generatore di corrente continua, di resistenza interna trascurabile, alimenta
tramite una linea lunga 1 km un utilizzatore.
La linea è costruita con conduttore di rame
( cu=0,0175 [Ω*mm2/ m] ) a
sezione costante, avente un diametro di 25/10 di mm. La resistenza dell’utilizzatore è il
90% della resistenza complessiva.
Calcolare:
1.la resistenza della linea
2. la resistenza dell’utili zzatore
3. In un secondo tempo si allaccia in parallelo al 1° carico un 2° carico per cui la resistenza
complessiva del circuito si abbassa del 30%. Calcolare la resistenza del 2° carico.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
CALCOLARE
L = 1 km
1 RL
2
cu=0,0175 [Ω*mm / m]
2. Ru1
d = 25/10 di mm.
3. Ru2
Ru1 = 90% RT
RT’ = R T - 30% R T
11
ES.10
Una linea a due conduttori, lunga 3 km, di rame , diametro 35/10 mm, alimenta all’’arrivo
un utilizzatore.
Calcolare :
la resistenza della linea
La resistenza dell’utilizzatore sapendo che la resistenza della linea è uguale
all’8% della resistenza totale del circuito
In un secondo tempo si deriva dal punto intermedio della linea un secondo
carico per cui la resistenza complessiva del circuito si abbassa del 20%.
Calcolare la resistenza del secondo carico.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
CALCOLARE
L = 3000 m
1. RL
d = 3,5 mm
2. Ru1
cu= 0,0175 Ω*mm2 / m
3. Ru2
RL = 8% RT
RT = RT - 20% R T
ES.11
Una linea a due conduttori lunga 1200 m , di rame , con diametro da 28/10 mm,
alimenta all’arrivo un utilizzatore da 50 Ω .
In un secondo tempo si allaccia alla linea a 800 m di distanza dall’origine , un 2°
utilizzatore avente una resistenza di 60 Ω , e a 200 metri dall’origine un 3° utilizzatore
avente una resistenza di 35 Ω .
Calcolare:
la resistenza complessiva del circuito con i tre utilizzatori allacciati
La resistenza complessiva del circuito col 2° e 3° utilizzatore allacciato.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
CALCOLARE
L = 1200 m
1. RT12
d = 2,8 mm
2. RT23
2
cu= 0,0175 Ω*mm / m
Ru3= 50 Ω
Ru2= 60 Ω
Ru1= 35 Ω
12
ES.12
Un generatore di cc alimenta tramite una linea di rame lunga 200 m un utilizzatore.
La densità di corrente nel conduttore di linea è uguale a 4 A/mm 2; la resistenza
interna del generatore è i 2/3 della resistenza della linea; la cdt percentuale della linea
riferita alla tensione in arrivo è uguale all’8%; la resistenza totale del circuito è uguale a 15
Ω.
Calcolare :
la fem del generatore
Il diametro del conduttore di linea
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
CALCOLARE
L= 200 m
1. E=
2
cu= 0,0175 Ω*mm / m
2. d=
2
= I/s = 4 A/mm
Ri = 2/3 RL
RT = 15 Ω
vL% = 8%
ES.13
Un generatore di c.c. sviluppa una tensione costante di 300 V e alimenta tramite
una linea di rame due utilizzatori aventi ubicazioni diverse.
Il primo è posto alla distanza di 180 m dal generatore, e alla tensione nominale di
250 V assorbe la corrente nominale di 12A; Il secondo è posto alla distanza di 400 m dal
generatore e alla tensione nominale di 230 V assorbe la corrente nominale di 14 A .
La linea è costruita con conduttore di sezione costante da 35/10 di mm. La
corrente di corto circuito del generatore è di 350 A. Si supponga che i valori delle
resistenze degli utilizzatori possano ritenersi costanti alle diverse condizioni di carico.
Calcolare la corrente assorbita da ciascun utilizzatore.
SOLUZIONE
CIRCUITO EL.
DATI
E=300 V
cu= 0,0175 Ω*mm2 / m
d=3.5 mm
Icc= 350A
L1= 180 m
Vn1= 250V
In1 = 12A
L2=400 m
Vn2= 230V
In2 =14A
CALCOLARE
1. I1
2. I2
13
ESERCIZI DA SVOLGERE
N.1
Un generatore in cc con resistenza interna trascurabile, alimenta attraverso una linea lunga 1 Km un
utilizzatore. La linea è costruita con conduttore di rame a sezione costante avente un diametro di 25/ 10 mm.
La resistenza dell’utilizzatore è il 90% della resistenza complessiva del circuito.
Calcolare:
1. la resistenza della linea
2. la resistenza dell’utilizzatore
3. in un secondo tempo si allaccia in parallelo al 1° carico un 2° utilizzatore per cui la resistenza
complessiva del circuito si abbassa del 30%. Calcolare la resistenza del 2° utilizzatore
N.2
2
Si deve costruire una linea a 2 conduttorii lunga 10 Km per una portata di 200 A, s= 60 mm di rame .
Calcolare :
1. il diametro del conduttore di linea
2. resistenza elettrica del conduttore di linea
3. il peso del conduttore di linea
N.3
Una linea a conduttori lunga 15 Km è costruita con conduttore di rame da 35/10 di mm e aliment a
all’arrivo un utilizzatore. Calcolare:
1. la resistenza della linea
2. la resistenza dell’utilizzatore sapendo che la resistenza della linea è uguale all’8% della
resistenza complessiva del circuito.
3. in un secondo tempo si deriva dal punto intermedio della linea un 2° utilizzatore per cui la
resistenza complessiva del circuito si abbassa del 20%.
N.4
Una linea a 2 conduttori lunga 1200 metri , di rame da 28/10 mm di diametro alimenta all’arrivo un
utilizzatore di 50 ohm.
In un secondo tempo si allaccia alla linea a 800 metri di distanza dall’origine un 2° utilizzatore avente una
resistenza di 60 ohm e a 200 metri di distanz a dall’originer un terzo utilizzatore avente una resistenza di 35
ohm.
Calcolare :
1. la resistenza complessiva del circuito con i tre utilizzatori allacciati
2. la resistenza complessiva del circuito col 2° e 3° utilizzatore allacciati
14
