Misura della carica elettrica elementare

Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 1
Misura della carica elettrica elementare
Misura della carica elettrica elementare
Relazione sperimentale
Scopo dell’esperienza è la misura della carica elettrica elementare dell’elettrone
con il metodo sviluppato da Thompson e perfezionato da Millikan: si osserva il
moto di caduta di particelle d’olio cariche con un multiplo intero della carica
elementare, in presenza di campi elettrici noti di direzioni equiverse.
Apparato sperimentale
La strumentazione ideata da Millikan (Figura 1) è composta da una camera cilindrica di isolante
termico, nella quale sono posti due dischi di metallo a distanza nota, costituenti le due armature
(superiore ed inferiore) di un condensatore a facce piane. La camera è provvista di un foro sulla
superficie superiore, dal quale entrano goccioline di olio nebulizzato elettricamente cariche,
opportunamente ridotte in numero mediante un tappo con foro micrometrico. All’interno della
camera è presente, inoltre, una sorgente radioattiva di Torio-232 schermabile mediante una
levetta al fine di incrementare (quando necessario) la carica elettrica presente sulle gocce.
Figura 1: Camera di Millikan
Pagina 1 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 2
Misura della carica elettrica elementare
Nel cilindro esterno isolante sono presenti due fori, per una sorgente luminosa di grande intensità
(lampada alogena) e per il cannocchiale con il quale si osservano le gocce (in questo modo
opportunamente illuminate dalla lampada). Sull’oculare del cannocchiale è disegnata una griglia di
misura (passo della griglia 0.1 mm). Lo strumento impiegato in laboratorio è fornito dalla PASCO
ed è dotato, inoltre, di uno switch per l’alimentazione del condensatore, di un nebulizzatore per
olio e di un termistore per la misura della temperatura interna alla camera (Figura 2).
Figura 2: Dispositivo PASCO completo per l'esperienza di Millikan
La dotazione di laboratorio inoltre comprende una livella a bolla di precisione (di circa 30 cm) per il
corretto posizionamento orizzontale dell’apparato; un generatore di tensione nell’ordine dei 500V
stabilizzato; un calibro centesimale (sensibilità 1/20 di mm) per la misura dello spessore del
distanziatore del condensatore; un cronometro (sensibilità 1/100 s) per la misura del tempo di
caduta delle particelle d’olio.
Pagina 2 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 3
Misura della carica elettrica elementare
Cenni teorici
Il principio di funzionamento della camera a caduta di Millikan si basa sullo studio dell’interazione
fra il campo elettrico artificiale le particelle d’olio in caduta ionizzate per strofinio al momento
della nebulizzazione. Studiamo separatamente i due casi di maggior interesse: in assenza di campo
elettrico (
ed in presenza di campo elettrico (
.
Caduta in assenza di campo elettrico (E=0)
La particella d’olio, in assenza di campo elettrico esterno, subisce unicamente due forze: la forza
peso (orientata verso il basso) e la forza di attrito viscoso dell’aria (orientata verso l’alto). La
particella si trova in condizione di equilibrio dinamico, cioè la risultante delle forze esterne è nulla;
questa condizione è dovuta alla natura stessa della forza di attrito viscoso, che aumenta in
funzione della velocità della particella. Sperimentalmente si osserva che una particella di raggio
dell’ordine di 10-7 m assume la velocità massima di caduta libera in pochi millisecondi1, tempo del
tutto trascurabile ai nostri fini. Vale la relazione
dove è la massa della particella, è il coefficiente di attrito fra l’aria e la particella e è la
velocità di caduta della particella. Dalla velocità di caduta è possibile ricavare il raggio della
particella d’olio impiegando la legge di Stokes per l’attrito di un corpo sferico immerso in un fluido
viscoso; il raggio risulta
dove
è la densità dell’aria (calcolabile tramite equazione barometrica, nota la pressione
dell’aria) e è il coefficiente di viscosità di Stokes (noto anche come eta di Stokes) calcolabile
mediante la legge empirica in funzione della temperatura (in gradi Celsius)
Tuttavia, è necessario operare una correzione a questa legge, poiché la velocità delle particelle
d’olio (fra 0.01 e 0.001 cm/s) è piccola e i raggi sono dello stesso ordine di grandezza del libero
cammino medio delle molecole d’aria. Sperimentalmente, il gruppo di lavoro di Millikan ha
ricavato la seguente relazione per la correzione del coefficiente:
dove
è una costante, è la pressione dell’aria e è nuovamente il raggio
della particella d’olio.
Come è possibile effettuare questo calcolo, visto che il raggio dipende da eta ed eta dipende dal
raggio? La soluzione più auspicabile e semplice è fornita dal Teorema delle contrazioni o Teorema
1
Fonte: manuale PASCO ftp://ftp.pasco.com/Support/Documents/English/AP/AP-8210/012-06123d.pdf
Pagina 3 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 4
Misura della carica elettrica elementare
di Banach-Caccioppoli, grazie al quale è possibile impostare un metodo iterativo di calcolo che
converge ai valori esatti. Chiaramente questo metodo non fornisce una soluzione esatta, ma
permette di approssimare con precisione arbitraria i valori numerici. Verrà illustrato in seguito il
dettaglio dell’algoritmo di calcolo.
Caduta in presenza di campo elettrico (E>0)
In presenza di campo elettrico E, valgono le stesse considerazioni svolte sopra per il caso E=0,
senonchè l’equilibrio dinamico delle forze è raggiunto con la presenza di un terzo termine dovuto
alla forza elettrostatica. Scrivendo l’equazione delle forze (supponendo che la particella si muova
verso l’alto sotto effetto del campo)
e sostituendo la relazione del caso precedente si ottiene
La massa è facilmente calcolabile ricorrendo al volume della sfera e alla densità dell’olio
ma è noto per il calcolo del caso precedente! L’equazione finale per la carica risulta pertanto
Il valore ottenuto di carica non è la carica elementare dell’elettrone, bensì un suo multiplo intero
positivo (a priori non è nota la quantità di ioni liberi in ciascuna particella d’olio); sarà necessario
ricorrere ad un metodo per estrapolare dai valori ottenuti il valore di carica che meglio li divida
tutti in valori interi (la trattazione è svolta in seguito).
Procedimento sperimentale
Preparazione della camera
La prima fase dell’esperimento consiste nell’orientare la lampada alogena in modo che la luce
speculare riflessa dalle particelle di olio cada esattamente in asse con l’oculare; a tal fine è fornito
insieme alla piattaforma un ago inseribile all’interno della camera con il quale è rapido effettuare
l’orientazione e la messa a fuoco della griglia dell’oculare.
La messa in bolla dell’apparecchio è fortemente condizionante sulla qualità delle misure ottenute,
quindi è opportuno effettuarla con grande cura: un primo aggiustamento si ottiene con la livella a
bolla ruotata su entrambi gli assi; tuttavia, l’unico metodo realmente efficace è osservare delle
gocce di prova e lentamente compensare con i piedi regolabili finché le traiettorie di caduta sono
perfettamente rettilinee e le gocce non vanno rapidamente fuori fuoco (testimonianza del fatto
che si sono spostate avanti o indietro sull’asse ottico). Questa fase di messa a punto è
Pagina 4 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 5
Misura della carica elettrica elementare
fondamentale, poiché senza di essa il tempo di permanenza nella camera della singola goccia è
insufficiente a prendere tutti i dati.
Prima di iniziare a effettuare le misure, è buona norma verificare la temperatura interna alla
camera; se essa dovesse risultare superiore a 26 °C, i moti convettivi dell’aria nella camera
risulterebbero del tutto preponderanti sul moto delle cariche influenzando molto negativamente
le misure (soprattutto del tempo di caduta libero, in assenza di campo elettrico). La soluzione che
abbiamo trovato all’inconveniente della camera troppo calda (anche a causa della lampada
alogena) è ricorrere ad una bomboletta di ghiaccio secco (accertandosi che si tratti di anidride
carbonica o di un qualunque altro gas inerte, e non di un aerosol che disturba le particelle).
Misura del distanziatore del condensatore
La prima misura riguarda il distanziatore di isolante posto nel condensatore; di esso è importante
conosce lo spessore (medio) in modo da poter stimare con precisione il campo elettrico nel suo
asse centrale. È buona norma non assumere che il distanziatore sia perfettamente cilindrico, per
cui svolgere le misure con il calibro ruotando il distanziatore (Tabella 1).
Misure del distanziatore (mm)
7,46
7,48
7,51
7,47
7,49
7,482
σ (mm)
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,022
Tabella 1: Misura del distanziatore
Misura del raggio di una goccia
Abbiamo quindi proceduto alla misura principale dell’esperienza, la misura del tempo di caduta
delle gocce in presenza di campo elettrico. Procediamo spruzzando l’olio nella cavità superiore
fino a vedere nell’oculare un numero accettabile di gocce, che si possono facilmente ridurre
azionando diverse volte il campo elettrico fino a farne depositare una parte. Si seleziona quindi
una goccia particolarmente facile da seguire a occhio e si misura mediante cronometro il tempo di
caduta in assenza di campo elettrico, con campo elettrico orientato verso l’alto (moto della goccia
in salita) e verso il basso (moto di discesa più rapido che la normale caduta). Al fine di ridurre il
peso dell’errore umano nella misura dei tempi, si sono considerati cinque passi della griglia come
intervallo di spostamento della goccia (spostamento totale 0.5 mm). Delle misure in presenza di
campo elettrico discuteremo nel prossimo paragrafo. Il primo punto da risolvere è calcolare il
raggio della goccia che stiamo osservando, per potere calcolare la carica.
Come già discusso, è necessario operare una correzione sul coefficiente di viscosità dell’aria,
poiché esso dipende non solo dalla temperatura e dalla pressione dell’aria, ma anche dal raggio
della goccia, in quanto le dimensione della stessa sono dello stesso ordine di grandezza del libero
cammino medio delle molecole del gas in cui essa è immersa. Sperimentalmente, il gruppo di
lavoro di Millikan ha ricavato la seguente relazione per la correzione del coefficiente:
Pagina 5 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 6
Misura della carica elettrica elementare
dove
è la eta di Stokes, b è una costante, p è la pressione dell’aria e
è il raggio
della particella. Poiché la relazione di correzione dipende a sua volta dal raggio della particella,
cioè dalla nostra incognita, è evidente che il calcolo non può essere svolto in maniera usuale; è
necessario procedere con un processo iterativo che faccia convergere il raggio al suo valore
migliore; per far ciò si:
1. Calcola il valore di con la relazione di Stokes per la temperatura
2. Calcola il valore di r con il valore corrente di
3. Calcola il valore di
con il valore corrente di r e ; quindi si ritorna al punto 2.
sostituendo al valore di quello corretto di
.
Il metodo risulta particolarmente efficace, e converge ad un valore di r che rientra nell’intervallo di
confidenza in poche iterazioni (tre o quattro).
A titolo del tutto esemplificativo, riportiamo il calcolo del raggio nel caso della prima goccia con il
metodo iterativo; per le successive, si consideri questo procedimento del tutto analogo (non
riportato per brevità).
corrente
1,85E-05
1,55E-05
1,53E-05
1,52E-05
r
4,17E-07
3,78E-07
3,75E-07
3,75E-07
1,55E-05
1,53E-05
1,52E-05
1,52E-05
Tabella 2: Calcolo iterativo del raggio della Goccia 1. Il primo valore di
Stokes
corrente è ottenuto con la relazione di
Anticipiamo che nel corso dell’analisi dei dati, ci siamo trovati diverse volte nella condizione di
dover rigettare i valori dei tempi di caduta in assenza di campo elettrico, a causa dell’azione
preponderante dei moti convettivi che rendevano del tutto inaffidabili le misure. Per stimare la
velocità di caduta libera della particella, senza avere a disposizione la misura diretta, siamo ricorsi
alle due velocità in presenza di campo elettrico (che invece sono sempre abbastanza affidabili); la
velocità di discesa è senz’altro maggiore di quella in salita , e la differenza fra di esse è proprio
il doppio della velocità di caduta libera, che pertanto è indirettamente calcolabile come
Misura del tempo di caduta delle gocce in presenza di campo elettrico
Svolgiamo ora le misure principali dell’esperienza, cioè quelle dei tempi di caduta delle gocce in
presenza di campi elettrici orientati nei due sensi (in realtà, come è chiaramente evidente, nella
pratica le misure sono svolte in contemporanea con quelle della caduta libera). Ciascuna delle due
misure permette di ottenere un valore di carica indipendente poiché dipende da una misura
diversa: questo è il primo “banco di prova” dell’affidabilità di tutte le misure svolte finora; un
errore nel calcolo della velocità di caduta farebbe si che si ottenessero due valori di carica
sostanzialmente diversi per la salita e per la discesa.
Questo fatto, cioè una sensibile differenza fra la carica in salita e quella in discesa, è riscontrabile
praticamente in tutte le misure che abbiamo preso; in virtù di questo fatto, abbiamo scelto ove
possibile di calcolare sempre la velocità di caduta con il metodo illustrato sopra (da uno studio
preciso dei dati, questa scelta appare decisamente convincente).
Pagina 6 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 7
Misura della carica elettrica elementare
t salita (s)
3,29E+00
3,53E+00
3,38E+00
3,71E+00
t discesa (s)
2,60E+00
2,57E+00
2,63E+00
2,83E+00
Vdd (V)
5,44E+02
5,45E+02
5,44E+02
5,45E+02
q salita (C)
-2,18E-19
-1,62E-19
-2,04E-19
-1,89E-19
q discesa (C)
2,18E-19
1,62E-19
2,04E-19
1,89E-19
Goccia 2
Raggio finale:
5,54E-07
1,18E+00
9,90E-01
5,44E+02
-9,40E-19
9,40E-19
Goccia 3
2,94E+00
3,15E+00
2,72E+00
2,68E+00
2,77E+00
2,65E+00
5,45E+02
5,45E+02
5,45E+02
-9,02E-20
-1,14E-19
-1,59E-20
9,02E-20
1,14E-19
1,59E-20
Goccia 4
Raggio finale:
5,31E-07
3,21E+00
2,16E+00
3,72E+02
-5,44E-19
5,44E-19
Goccia 5
Raggio finale:
2,51E-07
2,14E+00
1,95E+00
3,72E+02
-2,48E-19
2,48E-19
Goccia 6
Raggio finale:
6,63E-07
2,44E+00
//
3,72E+02
-9,68E-19
//
Goccia 7
Raggio finale:
2,99E-07
1,43E+00
1,32E+00
3,72E+02
-4,76E-19
4,76E-19
Goccia 8
Raggio finale:
4,22E-07
1,22E+00
//
5,48E+02
-6,16E-19
//
Goccia 9
Raggio finale:
2,81E-07
4,36E+00
//
5,49E+02
-1,03E-19
//
Goccia 1
Raggio corretto:
3,75E-07
Tabella 3: Misura dei tempi di caduta delle gocce e cariche ottenute. Tutte le misure sono svolte a una temperatura
T = 26 °C. La goccia 3 è stata rigettata perché le sue misure sono risultate incompatibili
A una prima vista, i valori di carica ottenuti (trascurando quelli della goccia 3, che sono stati
scartati per evidente incompatibilità) non quagliano molto con il valore teorico di 1,60E-19; è
necessario ricorrere ad un’analisi più precisa per ricavare il valore della carica, poiché è necessario
considerare prima di trarre alcuna conclusione, che ciascuna goccia è un portatore di multipli interi
della carica fondamentale.
Determinazione del valore della carica fondamentale
Per ricavare il valore della carica fondamentale si deve ragionare in questa ottica: tutte le
grandezze di carica ottenute sono multipli interi della carica fondamentale, quindi si deve
determinare quel valore che rende minimi gli errori dovuti all’approssimazione all’intero più vicino
del rapporto fra la misura e la carica fondamentale. Lo strumento statistico più efficiente per
questo fine è il test di χ2. Abbiamo proceduto in questo modo: definiamo x il valore possibile della
Pagina 7 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 8
Misura della carica elettrica elementare
carica fondamentale (che sappiamo essere compreso fra 1,5 e 1,7 dalle precedenti esperienze di
Thompson). La funzione
, calcolata per gli N valori di carica ottenuti nel passo
precedente, risulta
χ²
Al netto di un fattore di normalizzazione Z del tutto indifferente ai nostri fini. La funzione int(x) è
l’approssimazione di x all’intero più vicino; si può scrivere come
. Proprio per
come è definito Chi-quadro (somma degli scarti quadratici medi), è evidente che il miglior valore
della carica fondamentale debba risultare un minimo assoluto della funzione
;
supponendo di non conoscere una stima teorica della carica, procediamo ignorantemente
calcolando la funzione per valori di x compresi fra (per esempio) -4 e 4, ottenendo il seguente
grafico.
-3
-2
-1
0
1
2
3
x - Valore guessato della carica fondamentale
Figura 3: Andamento della χ2 calcolata fra -4 e 4
Se da un punto di vista analitico è immediato osservare che un minimo assoluto della funzione
debba esistere per x=0 e per x=q, da un punto di vista sperimentale non è per niente ben definito il
secondo minimo assoluto. Questo fatto è dovuto principalmente all’imprecisione delle misure di
carica ottenute e dal loro numero esiguo; al gruppo di Millikan occorsero quasi sei mesi di
esperimenti prima di avere la certezza del valore 1.6E-19.
Supponiamo adesso di avere a disposizione un esperimento precedente che ci abbia indirizzato ad
un intervallo 1.5-1.7 E-19; cerchiamo in questo intervallo un minimo relativo della funzione
assumendo che il miglior valore della carica fondamentale debba trovarsi in tale intervallo (questa
supposizione è tutt’altro che banale!).
Pagina 8 di 9
Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri – Gruppo Gi10 9
Misura della carica elettrica elementare
1,00E-01
9,50E-02
9,00E-02
χ2
8,50E-02
8,00E-02
7,50E-02
7,00E-02
6,50E-02
1,5
1,52
1,54
1,56
1,58
1,6
1,62
1,64
1,66
1,68
1,7
Carica elementare (C)
Figura 4: Funzione χ2 plottata fra 1.5 e 1.7 (omesso l’ordine di grandezza aggiuntivo 10
evidente il minimo relativo
-19
per brevità). E' ben
In questo caso, il minimo relativo della funzione χ2 è ben evidente e cade in 1,596E-19 a soli sei
millesimi di distanza dal valore accettato di 1,602E-19. Il lavoro è quasi completo; resta da
determinare l’errore della misura ottenuta, ma questo è già stato determinato perché è pari al
valore assunto dalla funzione χ2 nel punto 1,596E-19. Il valore finale della carica risulta pertanto
La strumentazione Pasco stima la precisione della strumentazione a circa l’1%, contro il 5% di
errore relativo osservato. E’ evidente che l’errore della misura sia sovrastimato rispetto alla
discrepanza rispetto al valore vero: questo è dovuto principalmente alla imprecisione nel
determinare i valori di carica per le singole gocce.
Discussione sugli errori sistematici di misura
Questa esperienza richiese al gruppo di lavoro di Millikan quasi sei mesi di esperimenti e prese
dati, per riuscire a stimare il valore migliore per la carica con ragionevole rigore fisico.
Sicuramente, costituisce un problema il fatto che il minimo posto in 1.6 non sia assoluto, ma
relativo. Probabilmente, con un attento lavoro di misura e di rigetto delle gocce inefficaci, si
migliorerebbe la stima sensibilmente, giungendo probabilmente ad ottenere un minimo assoluto
in 1.6.
Pagina 9 di 9