INDUZIONE ELETTROMAGNETICA (I campi magnetici creano corrente
elettrica)
aspetto qualitativo
L'esperienza di Oersted, con la quale si dimostrava che le correnti elettriche
generano campi magnetici, aveva indotto gli scienziati a chiedersi se fosse vero
anche il contrario; cioè se fosse possibile ottenere correnti elettriche mediante un
campo magnetico. Faraday nel 1831 scoprì con una serie di esperimenti che " in
un circuito elettrico si generano correnti elettriche quando esso è immerso in
un campo magnetico che varia nel tempo". Questo fenomeno si chiama
induzione elettromagnetica; le correnti che esso genera sono dette correnti
indotte.
Esperienza. Il solenoide della figura solenoide
composto da N spire è collegato ad un
amperometro mediante un circuito che non
contiene generatori; pertanto in questo circuito
non dovrebbe circolare alcuna corrente.
Inserendo un magnete nel solenoide
l'amperometro segnala un passaggio di
corrente che cessa quando il magnete viene
fermato. Se il magnete viene estratto dal
solenoide, si osserva ancora un passaggio di
corrente ma in verso opposto.
Il verso della corrente indotta si determina con
la legge di Lenz. "La corrente indotta ha il verso tale da produrre un campo
magnetico che tende ad opporsi alla variazione del campo magnetico che l'ha
generata"
Infatti la corrente che viene indotta nel solenoide durante l'introduzione del
magnete produce un campo magnetico che tende a respingere il magnete verso
l'esterno del solenoide. Al contrario, la corrente che viene indotta mentre si estrae il
magnete produce un campo che attrae il magnete verso il solenoide.
Gli stessi risultati di questa esperienza si ottengono:
1) Se si tiene fermo il magnete e si muove il solenoide.
2) Se si sostituisce il magnete con un solenoide (detto induttore) in movimento nel
quale circola una corrente costante.
1
3) Se il magnete è sostituito da un solenoide fermo (induttore) nel quale circola
una corrente variabile, prodotta, ad esempio, aprendo e chiudendo il circuito
oppure alimentando il solenoide con una corrente alternata.
4) Se si fa ruotare il magnete o il solenoide.
aspetto quantitativo
Dagli esperimenti sopra descritti si è tentati a concludere che ciò che conta per la
produzione delle correnti indotte è la variazione del campo magnetico in cui è
immerso il solenoide. In realtà una attenta analisi delle esperienze di tipo (4) cioè
con il solenoide in rotazione ci si rende conto che svolge un ruolo importante il
modo con cui l'area S della spira è investita dalle linee di forza del campo
magnetico. In particolare si osserva che se tale area è disposta parallelamente alle
linee del campo magnetico (fig.c) la corrente indotta è nulla perché nessuna linea
di forza attraversa la spira. Invece se tale area è collocata perpendicolarmente
(fig.a) la corrente è massima in quanto essa è attraversata da un gran numero di
linee di forza. Se l'area ha una posizione obliqua (fig.b) solo una parte delle linee di
forza attraversano la superficie e quindi la corrente indotta ha valore intermedio.
Per descrivere questi aspetti del fenomeno si introduce la grandezza flusso del
campo magnetico (B) attraverso la superficie S di una spira di corrente così
definita:
S ( B) B S cos
(1)
Nel caso di una bobina di N spire la (1) diventa:
(1')
S ( B) NBS cos
Il flusso magnetico si misura in weber dove 1Wb = 1Tx1m2
2
dove è l'angolo che la normale alla superficie S forma con le linee di forza del
campo magnetico. Nel primo caso = 90° e pertanto il flusso è nullo. Nel secondo
caso il flusso ha valore massimo BS. Nel terzo caso ha valore intermedio. Pertanto
il flusso misura, per così dire, quante linee di campo attraversano una superficie.
In conclusione le esperienze descritte in precedenza hanno come caratteristica
comune la variazione del flusso di B attraverso la superficie del circuito indotto. Si
può affermare che compare una corrente indotta ogni volta che varia il flusso del
vettore B attraverso la superficie del solenoide.
Poiché ogni corrente è prodotta da una tensione, si deve assumere che nel
solenoide si crea una ddp, chiamata anche forza elettromotrice f.e.m., che fa
circolare la corrente indotta. Una relazione nota come legge di Faraday-NewmannLenz afferma che "La f.e.m. indotta è direttamente proporzionale alla
variazione del flusso magnetico e inversamente proporzionale all'intervallo di
tempo in cui avviene tale variazione”:
(2)
Vindotta
( finale iniziale )
( B)
t
t
Il segno - stabilisce che la ddp indotta è tale da creare un campo magnetico che si
oppone alla causa che l'ha generata (Legge di Lenz). Le due barrette verticali
(modulo) stanno ad indicare che la variazione di flusso deve essere considerata
positiva. Ovviamente la corrente indotta nel circuito, avente una resistenza
elettrica"R, sarà data da:
(3)
I
V
1
R
R t
INDUTTANZA DI UN CIRCUITO
Per l’esperienza del fisico danese Oersted un circuito percorso da corrente genera
un campo magnetico, perciò ci sarà un flusso attraverso la superficie del
circuito che viene detto Flusso Autoconcatenato e sarà proporzionale all’intensità
di corrente secondo la seguente espressione:
3
Li
L è una costante di proporzionalità che dipende dalla geometria del circuito ed è
chiamata INDUTTANZA o Coefficiente di Autoinduzione.L’unità di misura è
l’Henry (H).
In elettrotecnica un’induttanza è un elemento passivo del circuito a 2 terminali
costituito da un conduttore avvolto a spirale (BOBINA) in cui la tensione ai capi è
proporzionale alla variazione di corrente che lo attraversa.
4
CORRENTI ALTERNATE
Consideriamo una bobina ruotante, con velocità angolare costante all'interno di
⃗ . Gli estremi della spira sono collegati a due
un campo magnetico uniforme 𝐵
anelli chiamati collettori su cui poggiano due spazzole che rappresentano i poli del
generatore. Sappiamo che dalla rotazione di una spira in un campo magnetico si
origina una corrente indotta ed una f.e.m. indotta. Se la spira è parallela al campo
magnetico, il flusso è nullo, per cui
BS cos t , mentre se la spira è perpendicolare al campo magnetico
BS cos t = BS
Dopo che la spira è ruotata di in certo angolo in un tempo t si ha
t
Poiché l'angolo di cui è ruotata la spira è anche l'angolo formato dalla normale alla
spira
con il vettore B si ha
BS cos t
La f.e.m. sarà
Cioè
Dove
è il massimo valore della f.e.m.
5
Si produce quindi tra le due estremità della spira una differenza di potenziale
variabile sinusoidalmente nel tempo, chiamata f.e.m. alternata. Per un circuito
ohmico se R è la resistenza totale, si ha una corrente alternata
cioè del tipo
dove
è il valore massimo dell'intensità di corrente.
La velocità angolare, detta anche pulsazione sarà
La corrente alternata è caratterizzata dal suo massimo valore I0 chiamato ampiezza,
dal periodo
e dalla frequenza
6
Circuiti in corrente alternata.
Consideriamo un circuito alimentato da una f. e. m. alternata del tipo:
Circuito Ohmico.
Un circuito Ohmico alimentato da una tensione alternata circola una corrente
alternata:
𝑖 = 𝐼𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑜𝑣𝑒
con la stessa fase, periodo e frequenza della tensione.
7
Circuito induttivo.
Si consideri un circuito nel quale un elemento induttore (bobina) risulta collegato
in serie con un generatore di corrente alternata. Al variare della corrente
nell’induttanza si genera una f.e.m. indotta dovuta alla variazione del flusso
magnetico attraverso l’elemento considerato. Supponiamo che il valore di detta
f.e.m. indotta sia molto maggiore della caduta di tensione dovuta al passaggio della
corrente nell’elemento induttore, per cui il circuito nel suo complesso possa essere
valutato come puramente induttivo. In altri termini, la resistenza interna
dell’elemento induttore può essere considerata del tutto trascurabile. Applicando il
secondo principio di Kirchhoff al circuito in esame, possiamo scrivere, dalla legge
di Lenz:
Applicando l’operazione matematica di integrazione in un certo intervallo di tempo
dt si ha:
8
Ponendo:
Si ha:
Poiché:
Questo dimostra che la corrente ha lo stesso periodo e la stessa frequenza della
tensione ma è rispetto a questa sfasata di /2, o meglio si dice che la corrente è in
ritardo rispetto alla tensione di /2. Si definisce REATTANZA INDUTTIVA XL
il prodotto L, la cui unità di misura è l’ohm ().
9
Circuito capacitivo.
Si consideri ora il circuito consistente in un condensatore di capacità C collegato in
serie ad un generatore di corrente alternata nel caso ideale di resistenza nulla.
Per capire il comportamento in regime alternato bisogna ricordarsi il fenomeno
della carica e scarica del condensatore. In corrente continua all’istante t=0 le
armature del condensatore cominciano a caricarsi e circolerà corrente nel circuito
fino a quando la differenza di potenziale ai capi del condensatore non raggiunge un
valore max, oltre il quale la corrente non circolerà più. Nel regime di scarica
invece la tensione diminuisce e la corrente da un zero passerà a un valore massimo
di segno opposto rispetto al regime di carica. Se il condensatore è collegato a un
generatore di tensione alternata nell’istante di carica tensione e corrente avranno lo
stesso segno e la corrente precede la tensione (cioè passa da un valore max a zero,
mentre la tensione passa da zero a un valore massimo), mentre nell’istante di
scarica tensione e corrente avranno segno opposto e la tensione passa da un valore
massimo a un valore nullo mentre la corrente passa da un valore nullo a un valore
massimo negativo. Si dice che tensione e corrente sono sfasate di /2 e che la
corrente precede la tensione.
10
Matematicamente si possono scrivere le seguenti espressioni per tensione e
corrente:
V=V0sint e I=I0sin(t+/2)
I0 dipende da C e V in quanto maggiori saranno maggiore sarà la corrente. Inoltre
maggiore è e maggiore è la variazione di carica nel tempo (cioè la corrente);
perciò si può scrivere I0=C V0. Si definisce REATTANZA CAPACITIVA
Xc=1/C. Come la reattanza induttiva anche la reattanza capacitiva si misura in
ohm ().
Circuito RLC
Dopo aver analizzato separatamente il comportamento degli elementi fondamentali
(resistenze, induttori e condensatori) costituenti i circuiti elettrici, possiamo
affrontare lo studio di un generico circuito in corrente alternata, contenente
contemporaneamente tutti gli elementi citati, detti anche elementi passivi.
Applichiamo ai capi di un circuito di questo tipo una tensione alternata sinusoidale
della forma:
Sappiamo che quando si dà tensione, si producono dei fenomeni transitori, ma il
termine di resistenza, inevitabile in tutti i circuiti non fosse per i fili di
collegamento, ci permette di essere certi che il regime transitorio si attenua e tende
a zero al crescere del tempo. Supponiamo che il circuito funzioni dopo un tempo
assai lungo in modo da poter trascurare i fenomeni transitori ed avremo quindi da
ricercare la sola soluzione stazionaria che deve essere una corrente di stessa
pulsazione della tensione sinusoidale applicata e che si scrive quindi:
dove la quantità viene detta differenza di fase tra tensione applicata e corrente.
11
Il problema che vogliamo risolvere consiste nella determinazione dei valori di i e
in funzione degli altri parametri del circuito.
Notiamo innanzi tutto che essendo gli elementi costituenti il circuito collegati in
serie, la corrente ha lo stesso valore, in ogni istante, in tutti i punti del circuito.
Avvalendosi poi dei risultati ottenuti studiando separatamente i circuiti elementari
contenenti un solo elemento, possiamo dedurre lo sfasamento della tensione
rispetto alla corrente ai capi di ciascun elemento e precisamente sarà:
Dove con VR,max , VC,max e VL,max abbiamo indicato i valori massimi delle
tensioni a i capi dei vari elementi.
La somma dei tre termini sopra riportati deve necessariamente essere uguale alla
tensione V erogata dal generatore.
Il modulo del vettore risultante V è dato da:
e quindi:
Questa relazione ci permette di ricavare il valore Imax della corrente ossia:
La grandezza che compare al denominatore della precedente equazione viene detta
impedenza Z del circuito e si misura in ohm (), essendo a tutti gli effetti la
somma quadratica di elementi passivi che si misurano in ohm. Per cui:
12
che possiamo pensare come ad una generalizzazione della legge di Ohm per i
circuiti in corrente alternata.
Analizzando il diagramma dei vettori siamo infine in grado di determinare il valore
dell’angolo che definisce la differenza di fase tra la corrente e la tensione. Dal
triangolo rettangolo rappresentato in figura 1 si deduce infatti:
da cui semplificando si ottiene:
L’ultima relazione permette di fare le seguenti considerazioni:
Se XL>XC la differenza che compare al numeratore, e quindi l’angolo ,
risultano essere positivi. In questo caso la corrente è in ritardo rispetto alla
tensione.
13
Se XL<XC l’angolo risulta negativo per cui la corrente è in anticipo rispetto
alla tensione.
Se poi XL=XC segue =0. In questo caso l’impedenza del circuito Z (=R) è
pari al valore della resistenza R, mentre la corrente ha un valore massimo
dato da Vmax/R. La frequenza alla quale si verifica quest’ultima condizione
viene detta frequenza di risonanza:
Quindi la velocità angolare e la frequenza di risonanza saranno
rispettivamente:
e
14
