Appunti ed esercizi di geometria analitica
PRIMA PARTE
Per la teoria studiare su il libro di testo “ La retta e i sistemi
lineari”, modulo E, da pagina 594 a pagina 597.
Esercizi da pagina 617 a pagina 623.
1. Le coordinate di un generico punto del piano cartesiano.
Figura 1. Rappresentazione del piano cartesiano e dei
quattro quadranti Si può osservare il quadrilatero ABCD
con A (1;3),B(-2;5), C(-4;-5) e D(4;-2).
Sia dato un sistema di assi cartesiani
ortogonali,monometrico ( cioè l'unità di
misura presente sull'asse delle ascisse e
sull'asse delle ordinate è lo stesso). Ogni
punto del piano è individuato da due valori
numerici che ordinatamente sono l’ascissa
del punto e l'ordinata del punto secondo il
sistema di riferimento utilizzato.
L'ascissa del punto individua la proiezione
del punto sull'asse delle ascisse (l'asse
orizzontale); l'ordinata del punto individua
la proiezione del punto sull'asse delle
ordinate (l'asse verticale).
Gli assi cartesiani dividono il piano
cartesiano in quattro regioni, dette
quadranti.
2. Distanza tra due punti
Per calcolare la distanza tra due punti assegnati A(xA;yA) e B(xB;yB) piano cartesiano si utilizza la
seguente formula
− + − 3. Punto medio di un segmento
Conoscendo le coordinate degli estremi di un segmento AB si può risalire alle coordinate
del punto medio del segmento stesso utilizzando le seguenti formule:
Indicando con le con M il punto medio si ha : =
e =
1
Imperia, 28 ottobre 2008
Verifica di matematica
Classe quarta sezione E
1. Determina la natura del triangolo AOB di vertici A(-2;2) , O(0;0) e B(3;3)
2. Calcola il perimetro dell'area di tale figura.
3. Considera il punto M, punto medio del lato AB, determina la lunghezza della mediana
OM
4. Determina le coordinate del punto C ottenuto prolungando la mediana dalla parte di O
in modo tale che OM sia congruente a OC
( verifica svolta in 50 minuti)
Soluzione:
1. Disegniamo il triangolo ABC.
Calcoliamo le misure dei lati, utilizzando per ogni
lato la regola della distanza tra due punti:
= −2 − 3 + +2 − 3 =√25 + 1 = √26 u
= −2 − 0 + 2 − 0 =√4 + 4 =
√8 = 2√2 u
= 3 − 0 + 3 − 0 = √9 + 9 = √18 =
3√2 u ( u è l’unità di misura )
Pertanto il triangolo avendo tutti i lati di misure diverse è scaleno.
Verifichiamo che il triangolo AOB è un triangolo rettangolo. Per esserlo deve valere il teorema di
Pitagora ( caratteristica esclusiva dei triangoli rettangoli ): il lato maggiore dei tre lati del triangolo
al quadrato deve essere uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati.
Pertanto si dovrà verificare : 2= 2+ 2. Proviamo : #√26$ =#2√2$ + #3√2$ .
Quindi 26= 4×2+ 9×2. Quindi 18=18.
2. Il perimetro si calcola sommando i tre lati : 2p= √26 + 2√2+3√2 % = √26 + 5√2 u
L’area si calcola come semiprodotto dei due cateti, quindi:
Area=
&'×)'
=
√ ×*√
= 6 u2
2
3. Per calcolare la lunghezza della mediana OM, è necessario calcolare le coordinate del
punto medio M.
Applicando le formule per determinare il punto
medio del lato AB si ha:
=
+*
=
,
e =
*
=
La mediana OM si calcola utilizzando nuovamente la
distanza tra due punti:
, - ,
. = /00 − 1 + 00 − 1 = /2 +
2
,
= √26 u
Se consideriamo il segmento MC, il punto
O è per questo segmento il punto medio.
Dalle formule inverse del punto medio
applicate al segmento di estremi MC con il
punto medio corrispondente a O si ha che:
,
3 = 2' − = − -
3 = 24 − = − 3
Imperia, 6 novembre 2008
VERIFICA DI RECUPERO
1) Determina la natura del quadrilatero con A(-3;3) , O(0,0), B(3;3) e C(0;6)
2) Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero AOBC.
3) Calcola le lunghezze delle diagonali del quadrilatero e per ciascuna di esse calcola il
rispettivo punto medio.
4) Determina il punto P sull’asse delle x equidistante dai punti O e B e calcola l’area del
triangolo AOP.
SOLUZIONE.
Disegno il quadrilatero AOBC.
Per verificare che il quadrilatero è un
parallelogrammo dobbiamo verificare
che i lati opposti del parallelogramma
sono congruenti.
Calcoliamo la misura dei lati:
5555
= −3 − 0 + 3 − 0 =
√9 + 9 = 3√2 u
(u = unità)
5555 = 3 − 0 + 3 − 6 =
6
√9 + 9 = 3√2 u
5555 = 3 − 0 + 3 − 0 = √9 + 9 = 3√2 u
5555
6 = −3 − 0 + 3 − 6 = √9 + 9 = 3√2 u
I lati della figura sono tutti uguali quindi il quadrilatero AOBC è un parallelogramma
particolare ; inoltre, si osserva direttamente dalla figura che la diagonale AB è uguale alla
diagonale OC perché entrambe misurano 6 u; pertanto la figura è un quadrato.
2) perimetro = 4 × 3√2 u = 12√2 u
Area del quadrato = #3√2$ = 18 u2
3) Le diagonali misurano 6 u e il punto M è collocato nel punto (0;3)
4
5) Per determinare ALGEBRICAMENTE le coordinate del punto P equidistante da O e da B si
procede in questo modo:
Il punto P appartiene all’asse delle x per ipotesi, quindi le sue coordinate saranno (x;0)
Calcolo: 5555
7 = − 0 + 0 − 0 = √ u
Calcolo 5555
7 = − 3 + 0 − 3 = √ − 6 + 9 + 9 = √ − 6 + 18 u
7
Imponiamo che 5555
7 = 5555
Quindi si ottiene:
= − 6 + 18
Elevando entrambi i membri
alla seconda si ottiene:
= − 6 + 18
Semplificando i termini di II grado si
ottiene:
0 = −6 + 18
Si risolve l’equazione portando il termine con la x al primo membro:
18
6 = 18 → =
→=3
6
Quindi il punto P, come si osserva anche dal disegno, ha coordinate (3;0).
Per calcolare l’area del triangolo AOP si procede direttamente al calcolo:
AREA =
'I×&J
=
*×*
K
= %
5
