A1. Una macchina disposta su un asse orizzontale è alimentata da una portata di 10 kg/s di aria (R = 287 J/kg K, cp = 1004 J/kg K) alla pressione P1= 10 bar e alla temperatura T1= 100 °C, da un condotto circolare di diametro D1= 100 mm. All’uscita della macchina la stessa portata di aria è nelle condizioni P2 = 2 bar, T2 = 20°C ed è scaricata da un condotto di diametro D2 = 300 mm. Dalle pareti non adiabatiche della macchina si rileva una fuga termica verso l’esterno pari a PT=500 kW. Si verifichi se la macchina è motrice o operatrice e a quanto ammonta la potenza meccanica scambiata con l’esterno. Soluzione Dall’equazione dell’energia per unita’ di massa si puo’ calcolare il lavoro e vedere se risulta positivo (macchina operatrice, lavoro fatto sul fluido) o negativo (macchina motrice, lavoro fatto dal fluido). L h02 h01 Q h02 h01 Q L • Il calore Q per unita’ di massa e’ negativo (ceduto all’esterno) e vale: Q • PT 500kW 50kJ / kg m 10kg / s L’entalpia totale e’ data dalla somma dell’entalpia statica e dell’energia cinetica, e per l’aria sotto l’ipotesi di gas perfetto, la differenza tra uscita e ingresso risulta: h02 h01 h2 u22 2 h1 u12 2 c pT2 u22 2 c pT1 u12 2 Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 1 A1. • La velocita’ in ingresso e in uscita puo’ essere calcolata dalla portata e diametro di ingresso e uscita, considerando la legge dei gas perfetti per trovare la densita’ (note pressione e temperature in ingresso e uscita) m m 10kg / s 136.3m / s p1 D12 9.34kg / m3 0.007854m 2 1 A1 RT1 4 m m 10kg / s U2 59.48m / s p2 D22 2.378kg / m3 0.07069m 2 2 A2 RT2 4 U1 • Conoscendo le velocita’, le temperature e il calore specifico cp, possiamo calcolare il salto di entalpia totale ingress/uscita. h02 h01 c pT2 u22 2 c pT1 u12 2 87.84kJ / kg • Quindi nell’equazione dell’energia otteniamo L h02 h01 Q 87.84kJ / kg 50kJ / kg 37.84kJ / kg che risulta negativo, quindi si tratta di una MACCHINA MOTRICE. La potenza scambiata con l’esterno risulta: P L m 378.4kW Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 2 A2. Una macchina è alimentata da un condotto di diametro 30 mm, da una portata di aria (R = 287 J/kg K, cp = 1004 J/kg K) pari a 100 g/s nelle condizioni di pressione P1 = 5 bar e temperatura T1 = 300 °C. All'uscita il condotto ha diametro 50mm e l'aria si trova a 2 bar e 200 °C. Supponendo la macchina isolata termicamente si calcoli la potenza reale, specificando se motrice o operatrice, ed il rendimento adiabatico. Soluzione Anche in questo caso dall’equazione dell’energia per unita’ di massa si puo’ calcolare il lavoro e vedere se risulta positivo o negativo. L h02 h01 Q • • In questo caso il calore scambiato e’ nullo in quanto la macchina e’ isolate termicamente (Q=0). La variazione di entalpia totale si puo’ calcolare come nel caso precedente, calcolando prima la velocita’ in ingresso e in uscita: m m 0.1kg / s U1 46.53m / s p1 D12 3.04kg / m3 0.000707m 2 1 A1 RT1 4 m m 0.1kg / s U2 34.56m / s p2 D22 1.47kg / m3 0.00196m 2 2 A2 RT2 4 Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 3 A2. La variazione di entalpia totale puo’ quindi essere calcolata (ed e’ uguale al lavoro): L h02 h01 c pT2 u22 2 c pT1 u12 2 100.88kJ / kg Da cui si ricava la potenza: P L m 10.1kW • Per calcolare il rendimento adiabatico, basta utilizzare la formula tt (h00 h02 ) 1 T02 T00 (h00 h02ss ) 1 p p 1 02 00 e sostituendo i valori che si possono calcolare in ingress e in uscita della temperatura e pressione di ristagno tt 1 T02 T01 1 1 p02 p01 Corso di Macchine – A.A. 2013-14 h 02 cp 1 h 01 cp 2 u 2 1 p2 2 2 u12 p2 1 2 1 0.758 Pagina 4 A3. Una macchina è alimentata da un tubo di diametro 500 mm e opera con aria (R = 287 J/kg K; cp = 1000 J/kg K). Alla flangia di ingresso si misura una velocità di 50 m/s, una temperatura di 450 K e una pressione di 4 bar. Allo scarico il fluido di lavoro si trova alla temperatura di 300 K e alla pressione di 1 bar. La sezione di scarico è costituita da un tubo di diametro uguale a quello di ingresso ed è posto ad una quota di 10 m sopra la flangia di ingresso. Nella macchina si sviluppano reazioni esotermiche che producono una potenza termica di 1000 kW. Sulla base dell'applicazione del principio di conservazione dell'energia per un sistema fluente si chiede di determinare: • Se la macchina sta operando come motrice o operatrice • Il lavoro specifico scambiato con il fluido di lavoro • La potenza scambiata con l'esterno. Soluzione Anche in questo caso dall’equazione dell’energia per unita’ di massa si puo’ calcolare il lavoro e vedere se risulta positivo o negativo. L h02 h01 Q o anche (h u 2 / 2 gz) 2 (h u 2 / 2 gz)1 L Q La portata si calcola conoscendo la velocita’ e l’area (dati), e calcolando la densita’ in ingresso. p1 400000Pa D12 m 1 m 2 1 A1U1 A1U1 50m / s 30.41kg / s RT1 287 450K 4 Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 5 A3. Dalla conservazione della portata si calcola la velocita’ in uscita U2 m 2 30.41kg / s 133.3m / s p2 D22 2 A2 RT2 4 Il calore Q per unità di massa è positivo e vale: Q PT 1000kW 32.9kJ / kg m 30.41kg / s Si puo’ quindi calcolare il lavoro specifico L Q c pT2 u22 2 gz2 c pT1 u12 2 gz1 175.2kJ / kg che risulta negative quindi la macchina e’ MOTRICE. La potenza scambiata con l’esterno risulta: P L m 5.3MW Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 6 A4. In un impianto di sollevamento acqua si valuti il bilancio energetico fra due sezioni: la sezione (1) di aspirazione, di diametro D1 = 100 mm e la sezione (2), di mandata di diametro D2 = 80 mm, posta ad una quota di 500 m sopra la (1). Supponiamo uguali le due pressioni e assumiamo una portata è di 100 l/s. L'acqua all'ingresso della pompa ha una temperatura di 45°C, e tra le sezioni a monte e a valle della pompa si misura una differenza di temperatura di 0.5°C. Si determini la potenza assorbita dalla pompa e il rendimento idraulico. ( Cal. spec. Acqua = 4186 J/kg K) Soluzione Come nei casi precedenti si calcola il lavoro specifico e quindi, moltiplicando per la portata in massa, la potenza. (h u 2 / 2 gz) 2 (h u 2 / 2 gz)1 L Q Prima si deve calcolare la velocità in ingresso e un uscita Q 0.1m3 / s U1 12.7m / s D12 A1 4 Q 0.1m3 / s U2 19.9m / s 2 D2 A2 4 Il lavoro quindi risulta L cT gz u 2 2 19.92 17.7 2 2 2 m / s 7.11kJ / kg 2 u 2 4186J / kgK 0.5K 9.81m / s 500m 2 2 1 2 (positivo, quindi la macchina risulta operatrice come era da aspettarsi) La potenza si calcola moltiplicando per la portata in massa dell’acqua (considerando la densita’ pari a 1000kg/m3) : P L m 711.5kW Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 7 A4. Il rendimento idraulico è Hp L Con Hp prevalenza della pompa (in kJ/kg). La prevalenza della pompa di calcola dall’equazione di Bernoulli tra l’aspirazione e la mandata della pompa in assenza di perdite u12 p1 u22 p gz1 Hp gz2 2 2 2 Le pressioni sono uguali quindi si semplificano e z2-z1=500m. Quindi la prevalenza della pompa Hp = 5.02 kJ/kg Il rendimento idraulico quindi vale: H p 5.02kJ / kg 0.705 L 7.11kJ .kg Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 8 A5. Una macchina è alimentata con 10 kg/s di aria (R = 287 J/kg K, cp = 1004 J/kg K) alle condizioni P1= 3 bar e T1 = 800 K da un condotto di sezione S1 = 0.1 m2 . La macchina fornisce all’esterno una potenza meccanica di 3MW. Nella sezione di scarico S2 = 0.02 m2 si misura una temperatura di 280 K ed una pressione di 1 bar. In ipotesi di flusso monodimensionale nelle sezioni di ingresso e di uscita si vuole calcolare il calore disperso dalla macchina. Soluzione Dall’equazione di stato dei gas perfetti è possibile ricavare la densità del fluido in ingresso ed uscita dalla macchina. Una volta note le densità facendo uso della formulazione della portata massica e dell’equazione di continuità è possibile ricavarsi le velocità del flusso in ingresso ed in uscita dalla macchina. m m 76.9m / s 2 p D 1 A1 1 1 RT1 4 m m U2 403.2m / s 2 p D 2 A2 2 2 RT2 4 U1 • Il bilancio energetico, scritto in termini di lavoro specifico risulta: h02 h01 Q L Corso di Macchine – A.A. 2013-14 [ J / kg ] Pagina 9 A5. Per passare ad esprimerlo in termini di potenza si moltiplica per la portata in massa : m (h02 h01 ) m h0 m Q m L [W ] L’entalpia totale e’ data dalla somma dell’entalpia statica e dell’energia cinetica. Per l’aria, sotto l’ipotesi di gas perfetto, la differenza tra uscita e ingresso risulta: m (h02 h01 ) m h2 U 22 2 h1 U12 2 m c pT2 U 22 2 c pT1 U12 2 4.44MW Per calcolare la Potenza termica dispersa dalla macchina si sfrutta il bilancio energetico precedentemente riportato: Ptermica m Q m (h02 h01 ) m L 1.44MW Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 10 A6. Una macchina elabora aria (R = 287 J/kg K, cp = 1004 J/kg K) secondo una trasformazione adiabatica isentropica tra una pressione P1 = 1 bar (ingresso) ed una pressione P2 = 2 bar (uscita). La temperatura dell’aria in ingresso è di 300 K. Le velocità all’ingresso ed all’uscita della macchina sono rispettivamente 100 m/s e 10 m/s. Considerata una portata di 3 kg/s si calcoli il lavoro massico scambiato e la potenza scambiata, specificando se si tratta di macchina motrice od operatrice. Soluzione Considerando la trasformazione isentropica fra l’ingresso e l’uscita si ottiene la temperature isentropica allo scarico. T2 T1 p1 p2 (1 ) 365.7 K Per calcolare il lavoro massico scambiato si utilizza il bilancio energetico: h02 h01 Q L Essendo nullo il calore scambiato, il lavoro risulta uguale alla variazione di entalpia totale h02 h01 h2 u22 2 h1 u12 2 c pT2 u22 2 c pT1 u12 2 61kJ / kg Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 11 A6. Essendo positivo il lavoro si tratta di una macchina operatrice. Per calcolarne la potenza si moltiplica per la portata in massa: Pcomp m L m h0 183kW Corso di Macchine – A.A. 2013-14 Pagina 12