Esercitazione_Bilanci

A1.
Una macchina disposta su un asse orizzontale è alimentata da una portata di 10 kg/s di aria (R = 287 J/kg K, cp =
1004 J/kg K) alla pressione P1= 10 bar e alla temperatura T1= 100 °C, da un condotto circolare di diametro D1= 100
mm. All’uscita della macchina la stessa portata di aria è nelle condizioni P2 = 2 bar, T2 = 20°C ed è scaricata da un
condotto di diametro D2 = 300 mm. Dalle pareti non adiabatiche della macchina si rileva una fuga termica verso
l’esterno pari a PT=500 kW. Si verifichi se la macchina è motrice o operatrice e a quanto ammonta la potenza
meccanica scambiata con l’esterno.
Soluzione
Dall’equazione dell’energia per unita’ di massa si puo’ calcolare il lavoro e vedere se risulta positivo (macchina operatrice,
lavoro fatto sul fluido) o negativo (macchina motrice, lavoro fatto dal fluido).
L  h02  h01  Q
h02  h01  Q  L
•
Il calore Q per unita’ di massa e’ negativo (ceduto all’esterno) e vale:
Q
•
PT 500kW

 50kJ / kg
m 10kg / s
L’entalpia totale e’ data dalla somma dell’entalpia statica e dell’energia cinetica, e per l’aria sotto l’ipotesi di gas
perfetto, la differenza tra uscita e ingresso risulta:

 
 
 
h02  h01  h2  u22 2  h1  u12 2  c pT2  u22 2  c pT1  u12 2
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
Pagina 1
A1.
•
La velocita’ in ingresso e in uscita puo’ essere calcolata dalla portata e diametro di ingresso e uscita, considerando la
legge dei gas perfetti per trovare la densita’ (note pressione e temperature in ingresso e uscita)
m
m
10kg / s


 136.3m / s
p1 D12 9.34kg / m3  0.007854m 2
1 A1

RT1 4
m
m
10kg / s
U2 


 59.48m / s
p2 D22 2.378kg / m3  0.07069m 2
 2 A2

RT2 4
U1 
•
Conoscendo le velocita’, le temperature e il calore specifico cp, possiamo calcolare il salto di entalpia totale
ingress/uscita.

 

h02  h01  c pT2  u22 2  c pT1  u12 2  87.84kJ / kg
•
Quindi nell’equazione dell’energia otteniamo
L  h02  h01  Q  87.84kJ / kg  50kJ / kg  37.84kJ / kg
che risulta negativo, quindi si tratta di una MACCHINA MOTRICE. La potenza scambiata con l’esterno risulta:
P  L  m  378.4kW
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Pagina 2
A2.
Una macchina è alimentata da un condotto di diametro 30 mm, da una portata di aria (R = 287 J/kg K, cp = 1004
J/kg K) pari a 100 g/s nelle condizioni di pressione P1 = 5 bar e temperatura T1 = 300 °C. All'uscita il condotto ha
diametro 50mm e l'aria si trova a 2 bar e 200 °C. Supponendo la macchina isolata termicamente si calcoli la potenza
reale, specificando se motrice o operatrice, ed il rendimento adiabatico.
Soluzione
Anche in questo caso dall’equazione dell’energia per unita’ di massa si puo’ calcolare il lavoro e vedere se risulta positivo
o negativo.
L  h02  h01  Q
•
•
In questo caso il calore scambiato e’ nullo in quanto la macchina e’ isolate termicamente (Q=0).
La variazione di entalpia totale si puo’ calcolare come nel caso precedente, calcolando prima la velocita’ in ingresso e
in uscita:
m
m
0.1kg / s
U1 


 46.53m / s
p1 D12 3.04kg / m3  0.000707m 2
1 A1

RT1 4
m
m
0.1kg / s
U2 


 34.56m / s
p2 D22 1.47kg / m3  0.00196m 2
 2 A2

RT2 4
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Pagina 3
A2.
La variazione di entalpia totale puo’ quindi essere calcolata (ed e’ uguale al lavoro):

 

L  h02  h01  c pT2  u22 2  c pT1  u12 2  100.88kJ / kg
Da cui si ricava la potenza:
P  L  m  10.1kW
•
Per calcolare il rendimento adiabatico, basta utilizzare la formula
tt 
(h00  h02 )
1  T02 T00 

(h00  h02ss ) 1   p p  1
02
00
e sostituendo i valori che si possono calcolare in ingress e in uscita della temperatura e pressione di ristagno
tt 
1  T02 T01 
 1

1   p02 p01 

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 h 

  02 



 cp 

1 



h

 01  
 cp 

 

2


u
2
1    p2   2 
2


u12  
 p2  1  
2 

 1

 0.758
Pagina 4
A3.
Una macchina è alimentata da un tubo di diametro 500 mm e opera con aria (R = 287 J/kg K; cp = 1000 J/kg K). Alla
flangia di ingresso si misura una velocità di 50 m/s, una temperatura di 450 K e una pressione di 4 bar. Allo scarico il
fluido di lavoro si trova alla temperatura di 300 K e alla pressione di 1 bar. La sezione di scarico è costituita da un
tubo di diametro uguale a quello di ingresso ed è posto ad una quota di 10 m sopra la flangia di ingresso. Nella
macchina si sviluppano reazioni esotermiche che producono una potenza termica di 1000 kW.
Sulla base dell'applicazione del principio di conservazione dell'energia per un sistema fluente si chiede di
determinare:
• Se la macchina sta operando come motrice o operatrice
• Il lavoro specifico scambiato con il fluido di lavoro
• La potenza scambiata con l'esterno.
Soluzione
Anche in questo caso dall’equazione dell’energia per unita’ di massa si puo’ calcolare il lavoro e vedere se risulta positivo
o negativo.
L  h02  h01  Q
o anche
(h  u 2 / 2  gz) 2  (h  u 2 / 2  gz)1  L  Q
La portata si calcola conoscendo la velocita’ e l’area (dati), e calcolando la densita’ in ingresso.
p1
400000Pa D12
m 1  m 2  1 A1U1 
A1U1 

 50m / s  30.41kg / s
RT1
287  450K 4
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A3.
Dalla conservazione della portata si calcola la velocita’ in uscita
U2 
m 2
30.41kg / s

 133.3m / s
p2 D22
 2 A2

RT2 4
Il calore Q per unità di massa è positivo e vale:
Q
PT
1000kW

 32.9kJ / kg
m 30.41kg / s
Si puo’ quindi calcolare il lavoro specifico

 

L  Q  c pT2  u22 2  gz2  c pT1  u12 2  gz1  175.2kJ / kg
che risulta negative quindi la macchina e’ MOTRICE.
La potenza scambiata con l’esterno risulta:
P  L  m  5.3MW
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A4.
In un impianto di sollevamento acqua si valuti il bilancio energetico fra due sezioni: la sezione (1) di aspirazione, di
diametro D1 = 100 mm e la sezione (2), di mandata di diametro D2 = 80 mm, posta ad una quota di 500 m sopra la
(1). Supponiamo uguali le due pressioni e assumiamo una portata è di 100 l/s. L'acqua all'ingresso della pompa ha
una temperatura di 45°C, e tra le sezioni a monte e a valle della pompa si misura una differenza di temperatura di
0.5°C. Si determini la potenza assorbita dalla pompa e il rendimento idraulico. ( Cal. spec. Acqua = 4186 J/kg K)
Soluzione
Come nei casi precedenti si calcola il lavoro specifico e quindi, moltiplicando per la portata in massa, la potenza.
(h  u 2 / 2  gz) 2  (h  u 2 / 2  gz)1  L  Q
Prima si deve calcolare la velocità in ingresso e un uscita
Q 0.1m3 / s
U1  
 12.7m / s
D12
A1
4
Q 0.1m3 / s
U2 

 19.9m / s
2
D2
A2
4
Il lavoro quindi risulta

L  cT  gz  u
2
2
 19.92  17.7 2  2 2
m / s  7.11kJ / kg
2  u 2  4186J / kgK  0.5K  9.81m / s  500m  
2


2
1

2
(positivo, quindi la macchina risulta operatrice come era da aspettarsi)
La potenza si calcola moltiplicando per la portata in massa dell’acqua (considerando la densita’ pari a 1000kg/m3) :
P  L  m  711.5kW
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Pagina 7
A4.
Il rendimento idraulico è

Hp
L
Con Hp prevalenza della pompa (in kJ/kg).
La prevalenza della pompa di calcola dall’equazione di Bernoulli tra l’aspirazione e la mandata della pompa in
assenza di perdite
u12
p1
u22
p
 gz1 
 Hp 
 gz2  2
2

2

Le pressioni sono uguali quindi si semplificano e z2-z1=500m.
Quindi la prevalenza della pompa Hp = 5.02 kJ/kg
Il rendimento idraulico quindi vale:

H p 5.02kJ / kg

 0.705
L
7.11kJ .kg
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Pagina 8
A5.
Una macchina è alimentata con 10 kg/s di aria (R = 287 J/kg K, cp = 1004 J/kg K) alle condizioni P1= 3 bar e T1 = 800 K
da un condotto di sezione S1 = 0.1 m2 . La macchina fornisce all’esterno una potenza meccanica di 3MW. Nella
sezione di scarico S2 = 0.02 m2 si misura una temperatura di 280 K ed una pressione di 1 bar. In ipotesi di flusso
monodimensionale nelle sezioni di ingresso e di uscita si vuole calcolare il calore disperso dalla macchina.
Soluzione
Dall’equazione di stato dei gas perfetti è possibile ricavare la densità del fluido in ingresso ed uscita dalla macchina. Una
volta note le densità facendo uso della formulazione della portata massica e dell’equazione di continuità è possibile
ricavarsi le velocità del flusso in ingresso ed in uscita dalla macchina.
m
m

 76.9m / s
2
p

D
1 A1
1
 1
RT1 4
m
m
U2 

 403.2m / s
2
p

D
 2 A2
2
 2
RT2 4
U1 
•
Il bilancio energetico, scritto in termini di lavoro specifico risulta:
h02  h01  Q  L
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[ J / kg ]
Pagina 9
A5.
Per passare ad esprimerlo in termini di potenza si moltiplica per la portata in massa :
m (h02  h01 )  m h0  m Q  m L
[W ]
L’entalpia totale e’ data dalla somma dell’entalpia statica e dell’energia cinetica. Per l’aria, sotto l’ipotesi di gas perfetto,
la differenza tra uscita e ingresso risulta:

 
 
 

m (h02  h01 )  m h2  U 22 2  h1  U12 2  m c pT2  U 22 2  c pT1  U12 2  4.44MW
Per calcolare la Potenza termica dispersa dalla macchina si sfrutta il bilancio energetico precedentemente riportato:
Ptermica  m Q  m (h02  h01 )  m L  1.44MW
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Pagina 10
A6.
Una macchina elabora aria (R = 287 J/kg K, cp = 1004 J/kg K) secondo una trasformazione adiabatica isentropica tra
una pressione P1 = 1 bar (ingresso) ed una pressione P2 = 2 bar (uscita). La temperatura dell’aria in ingresso è di 300
K. Le velocità all’ingresso ed all’uscita della macchina sono rispettivamente 100 m/s e 10 m/s. Considerata una
portata di 3 kg/s si calcoli il lavoro massico scambiato e la potenza scambiata, specificando se si tratta di macchina
motrice od operatrice.
Soluzione
Considerando la trasformazione isentropica fra l’ingresso e l’uscita si ottiene la temperature isentropica allo scarico.
T2  T1  p1 
 p2 
(1 )

 365.7 K
Per calcolare il lavoro massico scambiato si utilizza il bilancio energetico:
h02  h01  Q  L
Essendo nullo il calore scambiato, il lavoro risulta uguale alla variazione di entalpia totale

 
 
 

h02  h01  h2  u22 2  h1  u12 2  c pT2  u22 2  c pT1  u12 2  61kJ / kg
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Pagina 11
A6.
Essendo positivo il lavoro si tratta di una macchina operatrice. Per calcolarne la potenza si moltiplica per la portata
in massa:
Pcomp  m L  m h0  183kW
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