grafi planari

GRAFI PLANARI
mercoledì 16 aprile 2014
14:16
Un grafo non orientato si dice planare se lo si può disegnare
sul piano senza intersezioni tra gli spigoli.
Tale disegno viene detto rappresentazione piana del grafo.
Esempio:
Esempio: problema dei pozzi
Come stabilire se un grafo è planare?
Problema polinomiale.
Noi useremo il metodo del cerchio e delle corde.
GRAFI PLANARI Pagina 1
METODO DEL CERCHIO E DELLE CORDE
mercoledì 16 aprile 2014
14:32
Dato un grafo G(V,E) non orientato:
a. trovare, se esiste, un circuito che contenga tutti i vertici
del grafo (lo chiameremo circuito Hamiltoniano);
b. disegnare questo circuito come un grande cerchio;
c. scrivere l'elenco degli spigoli del grafo che non sono
contenuti nel circuito; li chiamiamo corde e li inseriamo
internamente o esternamente al cerchio, cercando di
evitare gli incroci, seguendo i passi successivi;
d. scegliamo una corda e inseriamola, ad esempio,
internamente al cerchio, togliendola dall'elenco;
e. se abbiamo scelto bene la prima corda da inserire, esiste
nell'elenco una corda che a questo punto non può più
essere disegnata internamente, e quindi la disegniamo
esternamente al cerchio e la togliamo dall'elenco;
f. continuiamo scegliendo dall'elenco una corda che abbia
una sola posizione possibile (interna o esterna),
inserendola nel disegno e togliendola dall'elenco.
Se riusciamo ad inserire tutte le corde senza incroci, allora
abbiamo trovato una rappresentazione piana del grafo.
Se invece la procedura si blocca perché una corda non si può
più inserire ne' esternamente ne' internamente, allora il grafo
G non è planare.
Note:
- Attenzione all'ordine con il quale si inseriscono le corde:
non possiamo fare scelte, solo la prima corda può essere
posta internamente o esternamente a nostra scelta.
-
Questa procedura non è sempre applicabile; in
particolare, non è applicabile se il grafo non contiene un
circuito hamiltoniano.
GRAFI PLANARI Pagina 2
ESEMPIO 1
mercoledì 16 aprile 2014
15:23
GRAFI PLANARI Pagina 3
ESEMPIO 2
mercoledì 16 aprile 2014
15:24
GRAFI PLANARI Pagina 4
TEOREMA DI
KURATOWSKI
mercoledì 16 aprile 2014
15:25
K3,3-configurazione = grafo che può essere ottenuto da
K3,3 aggiungendo qualche vertice nel mezzo di qualche
spigolo.
K5-configurazione = grafo che può essere ottenuto da K5
aggiungendo qualche vertice nel mezzo di qualche spigolo.
TEOREMA DI KURATOWSKI (1930)
Un grafo è planare se e solo se non contiene nessun sottografo
che sia una K3,3 o K5-configurazione.
GRAFI PLANARI Pagina 5
ESEMPIO
mercoledì 16 aprile 2014
15:36
Usare il metodo del cerchio e delle corde per mostrare che il
seguente grafo non è planare e per trovare un sottografo che
sia una K3,3-configurazione.
GRAFI PLANARI Pagina 6
DISEGNI EQUIVALENTI
PER GRAFI PLANARI
mercoledì 16 aprile 2014
16:03
Dato un grafo planare, ci sono molte sue rappresentazioni
piane, tutte equivalenti.
Ogni rappresentazione piana divide il piano in regioni.
Indichiamo con r il numero di queste regioni. Il numero r
dipende solo dal grafo, non dalla particolare
rappresentazione piana disegnata.
GRAFI PLANARI Pagina 7