Programmi dei Corsi
Istituzioni di Algebra MAT/02
(6 CFU)
1. Struttura dei campi e teoria di Galois
Estensione algebrica; campo di spezzamento; campi finiti; estensione separabile; estensione di Galois; gruppi
di Galois; indipendenza lineare degli automorfismi; radice n-esima dell’unità; estensioni ciclotomiche; norma e
tracce; corrispondenza di Galois; risolubilità dei polinomi per radicali; equazione generale di grado n.
2. Elementi di algebra commutativa e non-commutativa
Anelli con l’unità; anelli locali, anelli finitamente generati; radicali degl’anelli; Lemma di Nakayama; anelli e
moduli semplici, corpi.
(3 CFU)
3. Gruppi classici e rappresentazioni dei gruppi
Gruppi lineari; gruppi ortogonali e simplettici; algebra semisemplice e teorema di Wedderburn; algebra gruppo;
rappresentazioni e moduli; irriducibilità; carattere; esempi delle rappresentazioni dei gruppi finiti.
Algebra Superiore MAT/02 (6 CFU)
Introduzione alla teoria algebrica dei numeri.
Algebra Computazionale MAT/02 (6 CFU)
Complessità computazionale. Le classi P e NP con esempi specialmente rivolti all'algebra, alla combinatoria e alla
teoria dei numeri.
Il problema dei numeri primi, la sua complessità e il teorema di Pratt.
Approccio elementare alla distribuzione dei numeri primi. Teoremi di Chebyshev, di Bertrand e di Nair.
Ipotesi di Riemann e criteri di primalità condizionati.
Criteri non polinomiali di primalità.
Pseudoprimi e metodi probabilistici.
Il teorema AKS, Prime is in P.
Gruppo delle curve ellittiche, certificati di primalità.
Metodi di fattorizzazione.
Frazioni continue e equazione di Pell.
Irrazionalità quadratiche.
Frazioni continue generalizate e approssimazioni simultanee a irrazionalità di grado superiore.
Algebra Commutativa MAT/02 (6 CFU)
Programma (indicativo):
Richiami su anelli e ideali.
Teoria dei moduli su un anello. Prodotto tensoriale di moduli.
Successioni esatte di moduli e proprietà di esattezza di Hom e del prodotto tensoriale.
Anelli e moduli di frazioni. Anelli locali e localizzazione.
Anelli e moduli noetheriani. Anelli artiniani.
Decomposizione primaria degli ideali in un anello noetheriano.
Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz.
Anelli graduati e moduli graduati. Teoria della dimensione.
Istituzioni di Geometria MAT/03
(Corso di base – Esame finale scritto e orale)
6 crediti (48 ore)
Elementi di algebra commutativa
Varietà algebriche affini e proiettive. Morfismi e mappe razionali.
Varietà differenziabili e loro spazi tangenti. Campi di vettori e loro indici. Forme differenziali, mappa di Gauss e
teorema di Gauss-Bonnet.
3 crediti (24 ore)
Proprietà delle varietà algebriche affini e proiettive: spazio tangente, singolarità e dimensione. Ordine di una varietà
proiettiva, cono tangente e molteplicità.
Geometria Superiore MAT/03
(Corso di secondo livello – Esame non necessariamente scritto, può prevedere anche una parte seminariale)
6 crediti (48 ore)
Varietà analitiche complesse.
Gruppo fondamentale.
Rivestimenti.
3 crediti (24 ore)
Fibrati vettoriali.
Geometria Algebrica MAT/03 (6 CFU)
Richiami su varietà algebriche affini e proiettive.
Spazio tangente e singolarità.
Dimensione di una varietà: equivalenza tra diverse definizioni.
Grado di una varietà proiettiva: cenni al Teorema di Bezout. Esempi.
Esempi.
Curve razionali normali. Immersione di Segre. Immersione di Veronese. Varietà delle coniche di P^2. Proiezioni.
Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali. Grassmanniane G(k,n) e immersione di Plücker. Esempi di
geometria enumerativa: rette su una superficie di P^3.
Fibrati vettoriali.
Definizione. Esempi di fibrati. Sezioni. Fibrati lineari e mappe da varietà negli spazi proiettivi. Rivisitazione di alcune
applicazioni già viste con la teoria dei fibrati lineari.
Coomologia dei fasci coerenti.
Geometria differenziale MAT/03 (6 CFU)
Richiami su algebra tensoriale, campi vettoriali e forme differenziali.
Metriche riemanniane e connessione di Levi-Civita.
Nozioni di base su gruppi ed algebre di Lie
Una scelta tra i seguenti argomenti:
Complementi su gruppi ed algebre di Lie.
Spazi omogenei
Varietà simplettiche ed azioni hamiltoniane
Geometria riemanniana delle varietà e delle sottovarietà
Varieta' Hermitiane e Kaehleriane
Topologia Algebrica MAT/03 (6 CFU)
Complessi simpliciali, diagrammi di Voronoi (e loro applicazioni)
Omologia simpliciale
Omologia singolare
Cenni di algebra omologica
Coomologia, prodotti e dualità.
Algoritmi di calcolo per omologia e coomologia (con uso di software)
Argomenti complementari:
Topologia differenziale.
Basi di teoria di Morse
Successioni spettrali.
Omotopia.
Geometria Computazionale MAT/03 (6 CFU)
Programma (indicativo):
L’anello dei polinomi in una e più indeterminate a coefficienti in un campo e sue proprietà. Algoritmo di divisione
generalizzato. Basi di Groebner di un ideale. Algoritmo di Buchberger per la determinazione di una base di Groebner.
Caratterizzazioni equivalenti delle basi di Groebner. Operazioni sugli ideali e basi di Groebner corrispondenti. Sistemi
di equazioni polinomiali e varietà algebriche, Teoria dell'eliminazione, Decomposizione primaria. Calcolo della
dimensione di una varietà. Varietà toriche.
Applicazioni: problema della colorazione di grafi, problemi di programmazione intera, applicazioni statistiche.
Alle lezioni teoriche saranno affiancate attività al computer con l'utilizzo di software specifico (Cocoa, Singular).
Laboratorio di Geometria per le Applicazioni MAT/03 (3 CFU)
alcuni tra i seguenti argomenti:
Complementi di geometria affine
Complessi simpliciali e diagrammi di Voronoi
Gruppi di matrici
Quaternioni e rotazioni
Problemi di incidenza tra curve e superfici
Complementi sulle superfici
Raccordo tra superfici e ciclidi di Dupin
Esercitazioni al computer usando Maple
Laboratorio di Calcolo Simbolico per l’Algebra e la Geometria (MAT/02-03) (3 CFU)
Uso di programmi di calcolo simbolico quali Maple e MATHEMATICA per
la rappresentazione grafica e il calcolo di enti algebrici e geometrici introdotti
nei corsi di base.
Teoria dei modelli MAT/01 (6 CFU)
Morfismi: immersioni parziali, mappe elementari.
Test di Tarski-Vaught e teorema di L¨owenheim-Skolem all’ingiù (ripasso).
Proprietà di amalgamazione e strutture generiche (omogenee-universali). Esempi.
Teorema di compattezza (ripasso).
Saturazione. Il modello mostro. Esempi di argomenti per saturazione.
Eliminazione dei quantificatori (ripasso).
Strutture ω-categoriche. Teorema di Engler, Ryll-Nardzewski e Svenonius.
Strutture fortemente minimali. Dimensione.
La non finita assiomatizzabilità delle strutture fortemente minimali ω-categoriche.
Modelli atomici e modelli primi. Modelli strettamente primi.
Gli immaginari. Definibilità e Galois-definibilità per i reali e gli immaginari.
Algebricità e Galois-algebricità per i reali e gli immaginari (equivalenze finite).
Eliminazione degli immaginari, eliminazione uniforme.
Rango di Morley.
Teorie stabili, superstabili, ω-stabili (cenni).
Alcuni equivalenti della stabilità (per esempio definibilità dei tipi).
Istituzioni di Logica Matematica MAT/01 (9 CFU)
Nel corso di Istituzioni di Logica Matematica si rivolge a tutti gli studenti della Laurea Specialistica di Matematica e
agli studenti del corso di Laurea in Logica Computazionale.
E’ un corso importante per la preparazione di base di tutti gli studenti di Matematica ed è propedeutico per i corsi più
avanzati di Logica Matematica quali: Teoria degli Insiemi, Teoria dei Modelli, Teoria della Ricorsività. Il corso si
divide in tre parti: insiemi, modelli e ricorsività, in cui verranno trattati i seguenti argomenti:
6 CFU
Teoria degli Insiemi: ordinali, cardinali, algebre di Boole, filtri e ultrafiltri, teorema di Ramsey e sue conseguenze,
cenni di combinatorica infinita.
Teoria dei Modelli: linguaggi e strutture, teorie complete, teoremi di completezza e compattezza, insiemi definibili,
eliminazione dei quantificatori e sue conseguenze in geometria (Tarski-Seidenberg).
3 CFU
Teoria della Ricorsività: modelli di computazione (macchine di Turing, macchine a registri, funzioni ricorsive),
insiemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili, teorema di forma normale e teorema s-m-n, il problema della fermata e
sue applicazioni alle teorie formali, i teoremi di incompletezza.
Libri di testo:
J. Shoenfield, Logica Matematica, Boringhieri 1977
M. Goldstern, H. Judah, The Incompleteness Phenomenon, A.K. Peters 1995
P. Hinman, Mathematical Logic, A.K. Peters 2007
Teoria degli insiemi MAT/01 (6 CFU)
• Aritmetica cardinale: teorema di Konig, ipotesi generalizzata del continuo e teorema di Silver.
• Combinatorica infinita: ∆-sistema, famiglie almost disjoint, alberi di Aronszajin e di Suslin. Applicazioni alla
topologia.
• Insiemi club e stazionari: teorema del pressing-down
• Principio ♦ di Jensen e dimostrazione che ♦ implica l’esistenza di un albero di Suslin.
• Filtri e nozioni di forcing: assioma di Martin.
• Metamatematica della teoria degli insiemi: principio di riflessione, assolutezza, gerarchia di Lévy, modelli della teoria
degli insiemi.
• Costruibilità e consistenza di AC e GCH.
• Forcing: consistenza di non ¬CH.
Libri di testo:
K. Kunen, Set Theory, North Holland, 1980
T. Jech, Set theory, Springer 2003
Fondamenti della matematica MAT/04 (6 CFU)
Prima Parte Principali sviluppi formali del’aritmetica del primo ordine e della teoria elementare degli insiemi. Numeri
e insiemi ereditariamente finiti, equipollenza delle relative teorie. Cenni a teorie aritmetiche ed insiemistiche con forme
ristrette di induzione.
Seconda Parte La filosofia matematica G. Frege e il suo progetto di ricostruzione logica dell’aritmetica e della
matematica pura. Dalle teorie logistiche dell’aritmetica di Frege e Dedekind all’assiomatizzazione di G. Peano. Attuali
prospettive del progetto logicistico di Frege.
Testi Quaderni curati dal Docente
Esame Solo orale
Istituzioni di Matematiche Complementari MAT/04
Il corso è diviso in tre parti:
6 CFU:
- Il programma di Erlangen: le geometrie (affine, delle similitudini, equiareale, euclidea, iperbolica ed ellittica)
come sottogeometrie della geometria proiettiva.
- Applicazione: la geometria proiettiva e la “computer vision”
3 CFU:
- Le trasformazioni di Moebius come linguaggio di alcune trasformazioni geometriche (euclidee, sferiche,
iperboliche nel piano e nello spazio, di Lorentz)
Obiettivo principale del corso è di offrire strumenti che illustrino al laureato in matematica l’unitarietà delle geometrie
elementari e il loro utilizzo in rilevanti applicazioni tecnologiche e offrano al futuro insegnante di matematica la
possibilità concreta per introdurre la geometria nella scuola secondaria superiore in forme culturalmente significative.
Il corso si collega a quelli di Storia della geometria (La geometria della visione da Euclide a Klein), di Metodi numerici
per il CAGD (Computer Aided Geometric Design) nonché al Laboratorio per la grafica computazionale.
Programma di massima:
1. Complementi di Geometria proiettiva (da raccordarsi col corso fatto nella laurea triennale).
2. Le trasformazioni affini, delle similitudini, equiareali, euclidee, iperboliche, ellittiche come sottogruppi del
gruppo delle trasformazioni proiettive e le conseguenti proprietà geometriche.
3. Geometria per la “computer vision” (con uno, due, più punti di vista)
4. (per i 3 CFU)Classificazione delle trasformazioni di Moebius e loro utilizzo come trasformazioni della
Geometria sferica e iperbolica a 2 e 3 dimensioni e come trasformazioni di Lorentz nello spazio-tempo della
Relatività ristretta.
Si useranno i seguenti software: Cabri Géomètre, geogebra e il software professionale Maya
(http://usa.autodesk.com/adsk/servlet/index?id=7635018&siteID=123112 ; Maya è dedicato alle animazioni, agli effetti
visivi e al “rendering”; esso può essere gestito con uno specifico linguaggio (Maya Embedded Language (MEL) o
Python®.).
Testi usati:
Fishback,W.T., 1969, Projective and Euclidean Geometry, Wiley & Sons: New York.
Hartley, R. e Zisserman, A., 2003, Multiple View Geometry in Computer
Vision, Cambridge University Press: Cambridge (UK), Second Edition.
Needham, T., (1997), Visual Complex Analysis, Clarendon Press: Oxford.
Penrose, R. e Rindler, W. (1984), Spinors and Space-Time, Cambridge University Press: Cambridge (UK).
L’esame consterà in esercizi da risolvere durante l’anno, in una prova scritta ed una orale sugli argomenti del corso e
nella valutazione di un lavoro che ciascun studente dovrà preparare usando il software.
Didattica 1 MAT/04 (6 CFU)
Scopi.
Conoscere le principali problematiche in ambito psicologico e didattico relativamente all’insegnamentoapprendimento della matematica
Applicare metodologie di insegnamento della matematica con il supporto delle tecnologie Valutare i limiti degli
strumenti tecnologici nella risoluzione di problemi matematici
Temi: L’apprendimento secondo Piaget. La teoria delle situazioni didattiche secondo Brousseau. L’uso di strumenti
secondo Vygotsky.
La dimostrazione in matematica: nella storia, nella ricerca, nella didattica, nei programmi. La dimostrazione in
geometria euclidea. Problemi di costruzione e di esplorazione-congettura. La mediazione del software Cabri in problemi
di dimostrazione.
Metodologia: Lavoro di gruppo e intergruppo, brevi lezioni frontali, lavoro individuale a casa Strumenti: Computer,
Cabri, Proiettore
Testi consigliati e bibliografia
Vygotsky L.S.(1978), Mind in society, Harvard University Press, Cambridge, MA. Dispense su Piaget e Brousseau.
Paola, D. & Robutti, O. (2001). La dimostrazione alla prova. In: Matematica ed aspetti didattici, Quaderni della
Direzione Classica, Ministero della Pubblica Istruzione.
Didattica 2 (6cfu = 5 cfu MAT/04 + 1 cfu FIS/01)
Obiettivo del corso: introdurre gli allievi ai problemi didattici, cognitivi ed epistemologici riguardanti
l’insegnamento/apprendimento dell’algebra e dell’analisi elementare nella scuola secondaria.
Il corso è orientato a cogliere gli elementi di contenuto e le possibilità didattiche offerte dala cosiddetta “matematica del
cambiamento” e quindi si collega con i problemi di modellizzazione di semplici fenomeni cinematici e dinamici. Per
questo si presenta come un corso affine, avendo in comune elementi di fisica dal Laboratorio di Fisica1.
Argomenti:
Didattica della matematica in generale:
- la matematica del cambiamento (Kaput)
- i segni e l’apprendimento matematico
- analisi di processi e di pratiche (Freudenthal, Chevallard)
- il ruolo delle tecnologie e le infrastrutture comunicazionali (Hegedus)
- esempi
Didattica dell’algebra elementare:
- la nozione di symbol sense (Arcavi)
- concezioni operazionali e strutturali in matematica (Sfard)
- il gap aritmetica-algebra
- competenze in algebra: tradurre, interpretare, anticipare, trasformare, attivare frames
- esempi
Didattica dell’analisi elementare:
- storia ed epistemologia del concetto di funzione: sua natura di processo e oggetto (Sfard); la nozione di
covariazione di variabili (Slavit)
- il gap algebra-analisi
- le radici cognitive di alcuni concetti dell’analisi (Tall)
- esempi (con particolare riferimento alla modellizzazione di fenomeni cinematici e dinamici)
Analisi critica di software didattici per l’apprendimento dell’algebra e dell’analisi.
Il docente fornirà dispense per il corso.
Per l’esame gli studenti dovranno preparare situazioni didattiche per l’insegnamento dell’algebra e dell’analisi nella
scuola secondaria superiore e sostenere una prova orale.
Storia delle Matematiche 1 MAT/04 (6CFU)
Obiettivo: favorire l’acquisizione di una visione storica dello sviluppo della matematica dall’epoca classica a quella
moderna . Il corso si rivolge in particolare a coloro che andranno ad insegnare, mostrando l’evoluzione dei principali
concetti, metodi e teorie.
Finalità: favorire l’acquisizione di conoscenze storiche e di capacità critiche sulla matematica, sul concetto di rigore,
sulle difficoltà e sugli ostacoli incontrati in varie epoche.
Argomenti:
- Le principali ‘rivoluzioni’ nel percorso storico della matematica. Il concetto di dimostrazione. La scoperta
dell’incommensurabilità e la creazione della teoria delle grandezze in Eudosso-Euclide e in Galileo. La teoria dei
numeri reali di R. Dedekind e il confronto con la teoria euclidea delle proporzioni.
- Il metodo di esaustione nelle dimostrazioni di analisi: per il calcolo di lunghezze (Archimede, Spirali prop. 18), per
il calcolo di aree (Archimede: Spirali prop. 24). Confronto fra i metodi greci e l’integrazione di A. L. Cauchy.
- Il metodo meccanico di Archimede nella determinazione del volume della sfera e i contributi di F. Maurolico, B.
Cavalieri e V. Viviani. I metodi degli indivisibili nel Seicento.
- Dall’algebra retorica all’algebra simbolica. Le equazioni dai Greci a Viète e Descartes. La nascita della geometria
analitica. Curve algebriche e curve trascendenti.
- Dal problema della retta tangente alla nascita del calcolo del calcolo differenziale di Leibniz e del calcolo
infinitesimale di Newton (metodo dei primi e ultimi rapporti, metodo delle flussioni, serie).
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli, Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy). Vari metodi di
integrazione nei sec. XVII, XVIII e XIX.
- Le equazioni differenziali nel XVIII e XIX sec. Legami con la fisica matematica e la geometria differenziale.
- I concetti di funzione, limite, continuità, convergenza, convergenza uniforme, …. Mutamenti nell’analisi: Euler,
Lagrange, Cauchy, Weierstrass, Riemann.
- Logica, simbolismo e problematiche fondazionali (Leibniz, Peano, Hilbert).
- La nascita della probabilità e della statistica e le applicazioni della teoria ad ambiti diversi dal XVII al XIX sec.
(giochi d’azzardo: problema di de Meré, problema delle parti, utilizzo del calcolo combinatorio, problemi di
natalità e mortalità, inoculazione del vaiolo, …): Galileo, Pascal, Fermat, Huygens, Jacob Bernoulli, Bayes,
Laplace. Cenni alla nascita delle diverse concezioni probabilistiche.
Testi:
M Kline, Storia del pensiero matematico, vol. 2: Dal Settecento al Novecento, Einaudi, 1996
E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Berlin, Springer 1996.
P. Dugac, Histoire de l’analyse. Autour de la notion de limite et de ses voisinages, Paris, Vuibert 2003
C.S. Roero, Leibniz 84. Il decollo enigmatico del calcolo differenziale, Mediterranean Press, 1992.
C.S. Roero, Ricezione e primi sviluppi del calcolo infinitesimale, vol. V, 2003, p. 274-286, La tradizione leibniziana e i
contributi di Euler e di Lagrange, vol. VI, 2002, p. 388-414, Le Equazioni differenziali nel Settecento, vol. VI, Storia
della scienza, Enc. Ital. Treccani, 2002, p. 418-430.
C.S. Roero, Algebra e aritmetica nel Medioevo islamico, in Un ponte sul Mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza
araba e la rinascita della matematica, Firenze, Polistampa 2002, pp. 7-43.
P. Dupont, C.S. Roero, Il trattato "De ratiociniis in ludo aleae" di Christiaan Huygens con le "Annotationes" di Jacob
Bernoulli presentati in traduzione italiana, con commento storico-critico e risoluzioni moderne, Mem. Accademia
Scienze di Torino, Cl.Scienze FMN, s. V, v. 8, 1984, 258 p.
I. Grattan-Guinness) Landmark Writings in Western Mathematics, Case Studies, 1640-1940, Elsevier Science B. V.,
2005.
Storia delle Matematiche 2 MAT/04 (6 CFU)
Scopo del corso: ripercorrere, partendo dallo studio diretto delle fonti, la storia dei metodi geometrici legati alla
visione, inserendoli nel contesto della storia delle matematiche e evidenziando, quando possibile le connessioni con la
storia dell’arte e della tecnica.
- L’ Ottica di Euclide (ca. 300 a.C.)
- Le Coniche di Apollonio (262-190 a.C. )
- I contributi di Menelao (I sec.) e di Tolomeo (II sec.)
- I contributi dei matematici arabi.
- Il Rinascimento italiano e la nascita della prospettiva:
De Pictura (1453, 1511) di Leon Battista Alberti
De Prospectiva Pingendi (ca. 1482) di Piero della Francesca
I manoscritti di Leonardo da Vinci (1452-1519)
- Le macchine per la prospettiva nel Underweysung der messung… ( 1525) di Albrecht Dürer
- Le anamorfosi
- Girard Desargues e le origini della geometria proiettiva: il Brouillon Projet (1639)
- L’ Essay pour les Coniques (1640) di Blaise Pascal e gli studi sulle coniche di Philippe de La Hire
- Guarino Guarini verso la geometria descrittiva (Euclides Adauctus, 1671, XXVI, XXXII)
- Gaspard Monge (1746-1818) e le origini della geometria descrittiva
- Jean-Victor Poncelet (1788-1867) e il Traité des propriétés projectives des figures (1822): la geometria
proiettiva come branca autonoma della matematica
- I successivi sviluppi: Michel Chasles, Jakob Steiner, Karl G. von Staudt, …
- La creazione delle geometrie non euclidee
- Il Programma di Erlangen di Felix Klein (1872).
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
P. FREGUGLIA, Fondamenti storici della geometria, Milano, Feltrinelli, 1982
L. CATASTINI, GHIONE, Le geometrie della visione. Scienza arte, didattica, Milano, Springer, 2004
Verranno messi a disposizione degli studenti testi e articoli su argomenti specifici del corso, parti scelte dei testi
originali dei vari autori considerati.
Laboratorio di Letteratura Matematica MAT/04 (3 CFU)
ANTOLOGIA MATEMATICA (testi originali con traduzione a fronte)
Vol. 1 Analisi infinitesimale
Papiro Rhind, Probl. N.50(area del cerchio)
Papiro di Mosca, volume del tronco di piramide
Euclide, Elementi X.1, XII.2
Archimede, Quadratura della parabola prop.24
Archimede, Spirali, prop. 18, prop. 24
Archimede, Metodo sui teoremi meccanici (Lettera ad Eratostene, Prop. 1, Prop. 2)
Archimede, Misura del cerchio (approssimazione di π)
Pappo, Collezione matematica (isoperimetri, teorema Pappo-Guldin sui solidi di rotazione, Prop. sulla spirale sulla sup.
sfera che delimita un’area uguale al quadrato del raggio)
Stevin S., Beghinselen der Weegconst (teoremi sul baricentro del triangolo)
Valerio L., De centro gravitatis solidorum 1604, p. 23, p. 83.
Kepler J., Nova stereometria doliorum, (misura delle botti austriache, vol. solidi rotazione) teor. II, XVII, V
Cavalieri B., Geometria indivisibilibus continuorum … prefazione, Lib. I, teorema del valor medio di CavalieriLagrange, Principi indiv., Lib. II,Teor.1, Lib.VII, teor. 1)
Galilei G., Discorsi e dimostrazioni matematiche (sui paradossi dell’infinito)
Torricelli E., Opera geometrica, 1644 (Sulla misura della parabola e del solido iperbolico, Dimostrazione di
Archimede-Spirali, prop. 18; rettificazione parabola-spirale, Appendice sulla misura della cicloide)
Descartes R., Geometrie, lib. I, II (probl. Pappo, metodo tangente)
Fermat P., Methodus ad disquirendam maximam et minimam (metodo max-min)
Fermat P., De tangentibus linearum curvarum (metodo determ. tangente)
Fermat P., De aequationum localium transmutatione (area delle infinite parabole e delleinfinite iperboli)
Roberval G. P., Observations sur la composition des mouvements … (costruzione cinematica delle tangenti)
Pascal B., Traité de sinus du quart de cercle Lemma (triangolo caratteristico, integrazione)
Pascal B., Traité des trilignes rectangles … (volume int. per parti)
Barrow, Lectiones opticae et geometricae, Teor. Fondamentale calc. Int. p. 80-81
Sluse R., metodo per la tangente
Hudde J., metodo per la tangente
Leibniz G. W., lettera a Newton 1676 (teor. trasmutazione)
Newton I., lettere a Leibniz,13.6.1676, 24.10.1676 (teor.binomio, met. Inf.)
Leibniz G. W., Historia et origo calculi differentialis
Leibniz G. W., Nova Methodus pro maximis et min…. (Calc. Diff.)
Leibniz G. W., De geometria recondita (calc. Int.)
Leibniz G. W., Supplementum geometriae dimensoriae (curva quadratrice)
Newton I., De quadratura curvarum
Newton I., Phil.nat. Princ. Math. Lib. I, Lemmi,Lib. II
L’Hospital, Analyse (pref. e regola)
Bernoulli Joh., Lectiones … (integrali, equaz. Diff.)
Bernoulli Joh., De fato novae … Prolusione sui pregi dell’analisi, 1705
Berkeley G., The Analyst, 1734 (critiche al calcolo infinitesimale)
Agnesi M.G., Instituzioni analitiche … 1748 (curva versiera)
Euler L., Introductio in analysin infinitorum, p. 18 (funzione)
Euler L., Institutiones calculi differentialis, 1755 (Introd. su funzione, principi)
d’Alembert, voci dell’Encyclopédie, (Limite, différence, série)
Lagrange J. L., Théorie des fonctions analytiques pp. 1-14
Cauchy A.L., Cours d’analyse p.II-VII; 4, 19-35
Cauchy A.L., Résumé des leçons … (concetti fondamentali del calcolo)
Bolzano B., Rein analytischer Beweis … (continuità, convergenza, …)
Weierstrass (dalle sue lezioni universitarie)
Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrischen Reihe, (integrale) §§ 4-5
Dedekind R. , Stetigkeit und irrationale Zahlen
Peano G., La courbe qui remplit … 1890
Il laboratorio è collegato al corso di Storia delle Matematiche e verterà sui contenuti di quel corso, stabiliti dal docente
che terrà il corso, dunque potrebbe vertere su testi di Geometria, o di Aritmetica, o di Algebra, o di Calcolo delle
probabilità e Statistica, o di Meccanica, ecc. in accordo con i colleghi dell'indirizzo.
Il gruppo di ricerca in Storia delle Matematiche ha in preparazione un paio di volumi di Fonti per la matematica che
spera di portare a termine entro il 2010, distinto per branche: Aritmetica, Algebra, Geometria, Analisi, Calcolo delle
probabilità, Meccanica, Logica, .... destinato esplicitamente agli insegnanti delle Scuole medie superiori.
I libri di testo per la scuola secondaria (XIX-XX sec.) MAT/04 (3 CFU)
Scopo del corso: abituare gli studenti all’esame critico dei libri di testo con attenzione sia al modo con cui gli autori
affrontano i vari problemi di tipo scientifico e didattico, sia agli assunti metodologici da cui partono, facendo anche
riferimento al quadro legislativo ed istituzionale, e al dibattito nazionale e internazionale sull’insegnamento della
matematica. Il laboratorio sarà interdisciplinare fra storia della matematica e didattica.
Geometria:
E. Betti, F. Brioschi, Gli Elementi d'Euclide con note aggiunte ed esercizi ad uso de' ginnasi e de' licei (1868)
A. Sannia, E. D’Ovidio, Elementi di Geometria (1869)
A. Faifofer Elementi di geometria ad uso dei licei (1880)
R. De Paolis, Elementi di geometria, Torino, Loescher 1884
G. Veronese, P. Gazzaniga, Elementi di geometria ad uso dei licei e degli istituti tecnici (1897)
M. de Franchis, Geometria elementare ad uso dei Licei e dei Ginnasi superiori (1909)
F. Enriques, U. Amaldi, Elementi di geometria, ad uso delle scuole secondarie superiori (1903)
F. Severi, Elementi di Geometria (1926)
R. Marcolongo.C. Burali-Forti, Trigonometria e geometria
…
W. Maraschini, M. Palma, Problemi e modelli della matematica (1981)
…
Aritmetica e algebra
C. Arzelà, Trattato di algebra elementare (1880)
G. Peano, Aritmetica generale e algebra elementare (1902)
S. Pincherle, Algebra elementare (1911)
S. Catania, Corso di algebra elementare per i licei classici e moderni secondo i nuovi programmi (1914)
A. Padoa, Aritmetica intuitiva (1923, 1924)
L. Tonelli, Aritmetica e Algebra (1948)
T. Boggio, Algebra (1950-51)
F. Enriques, U. Amaldi, Elementi di Algebra (1954)
…
B. D’Amore, A. De Flora, Algebra: elementi e strutture (1976)
…
Analisi
U. Amaldi, F. Enriques, Nozioni di matematica ad uso dei licei moderni, 1914
G. Ascoli, Lezioni elementari di Analisi Matematica (1924)
F. Enriques , U. Amaldi, Complementi di Algebra e nozioni di Analisi (1955)
…
F. Speranza, A. Rossi Dell’Acqua, Il linguaggio della matematica (1981)
…
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
L. Giacardi (ed.), Da Casati a Gentile. Momenti di storia dell'insegnamento secondario della matematica in Italia,
Agorà Edizioni, La Spezia, 2006
L. Giacardi, Documenti per la storia dell’insegnamento della matematica in Italia
http://www.dm.unito.it/mathesis/documenti.html
http://www.edscuola.it/archivio/norme/programmi/index.html
Indicazioni UMI-CIIM in: Matematica 2001, Matematica 2003 e Matematica 2004
http://umi.dm.unibo.it
Verranno messi a disposizione (su CD-ROM) degli studenti i testi da esaminare e saranno forniti articoli utili per lo
studio dei testi
Laboratorio di didattica della matematica MAT/04 (3 CFU)
Finalità
Il laboratorio è finalizzato alla preparazione di interventi didattici degli studenti di matematica allo stage di matematica
di Pra Catinat.
Gli studenti durante la prima parte del Laboratorio a Torino prepareranno delle lezioni e dei problemi su argomenti vari
di matematica, da presentare e sottoporre agli allievi delle superiori coinvolti negli stage di matematica di Pra Catinat; la
presentazione costituisce la seconda parte del Laboratorio.
Obiettivi
Apprendere come trasporre didatticamente un argomento di matematica.
Imparare a produrre materiali di supporto didattico per la presentazione di argomenti di matematica.
Imparare a trasformare problemi esistenti in nuovi problemi da sottoporre ad allievi della secondaria.
Metodologia didattica
La metodologia didattica impiegata consiste in:
• Lezioni frontali 4 ore
• Lavoro di gruppo in laboratorio a Torino 5 ore.
• Lavoro di gruppo in laboratorio a Pra Catinat 3 ore.
Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Nozioni ed esempi sulla teoria delle situazioni didattiche
Problem solving
Elaborazione di situazioni didattiche e di problemi
Presentazione di situazioni didattiche e di problemi
Totale
Ore
Lez.
2
2
4
Ore
Laboratorio
5
3
8
Totale Ore di
Car. Didattico
2
2
5
3
12
Gli studenti che seguono il corso di Istituzioni di Matematiche Complementari o di Didattica della Matematica potranno
integrare il Laboratorio con appprofondimenti matematici e didattici sviluppati in quei Corsi.
Materiale per lezioni e esercitazioni:
Materiale didattico vario fornito dal docente e costruito insieme con gli studenti.
Materiale didattico
Sono resi disponibili presso il centro stampa:
- alcuni dei materiali prodotti negli anni precedenti
- il CD contenente l’illustrazione delle attività di Pra Catinat
Modalità di verifica/esame
L'esame si svolge, di norma, come segue:
Alla fine del laboratorio di Torino gli studenti presentano la parte matematica e rigorosa dell’argomento scelto.
A Pra Catinat presentano agli studenti delle superiori la parte didattica e i problemi.
Il giudizio per l’esame si basa su entrambi le attività.
Laboratorio Apprendimento della matematica con le tecnologie MAT/04 (3 CFU)
OBIETTIVI
Il laboratorio ha come finalità generale quella esaminare la geometria delle trasformazioni alla luce del quadro euclideo
e di quello cartesiano, utilizzando come tecnologie i principali software di geometria dinamica (Cabri, Geogebra).
Gli obiettivi cognitivi che si vogliono raggiungere sono:
•
la conoscenza delle trasformazioni che caratterizzano la geometria euclidea (isometrie, omotetie, similitudini,
affinità) ed, in particolare, l’abbinamento tra il concetto di isometria e quello di congruenza
•
la comprensione dei concetti di: invariante, trasformato di una figura geometrica, elemento unito,
composizione di trasformazioni e trasformazione inversa
Le competenze da raggiungere al termine del laboratorio sono:
•
utilizzo dei software di geometria dinamica per esplorare situazioni problematiche, fare congetture e produrre
dimostrazioni
•
applicazione delle proprietà delle trasformazioni in problemi di geometria sintetica e analitica
•
risoluzione di problemi di Esame di Stato della scuola superiore
•
analisi della mediazione delle tecnologie nella costruzione di significati matematici
CONTENUTI
Unità didattiche:
- Invarianti ed elementi uniti di una trasformazione piana. - Poligoni e simmetrie; simmetrie e poligoni regolari Isometrie (in particolare i prodotti di due simmetrie assiali), omotetie, similitudini, affinità da un punto di vista sintetico.
- Le trasformazioni in ambiente cartesiano: dalle equazioni generali di affinità alle equazioni di similitudini, omotetie,
isometrie.
- Le trasformazioni applicate alle funzioni.
METODOLOGIA
Attività individuali e di gruppo, lezioni frontali, discussioni.
MATERIALI
Diapositive, libri, articoli.
VALUTAZIONE
La valutazione sarà finalizzata a misurare le conoscenze e le competenze in merito alle trasformazioni piane.
BIBLIOGRAFIA
Cedeberg, J.N., (1989) A course in modern geometries, Berlin: Springer.
Materiale UMI 2003 Matematica per il cittadino.
Libri di testo di: Emma Castelnuovo, Maraschini-Palma, Prodi, Morelli.
Istituzioni di Analisi Matematica MAT/05 (9 CFU)
6 CFU
3 CFU
-
Teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue,
Spazi di Banach e di Hilbert:
Spazi di funzioni continue, teorema Stone-Weierstrass, teorema Ascoli-Arzelà;
Operatori lineari, dualità, topologia debole;
Spazi L^p;
Teoremi fondamentali dell’analisi funzionale (Hahn-Banach, Baire, Mappa Aperta, Grafico Chiuso);
Cenni su autovalori e autovettori, operatori autoaggiunti compatti (Teorema di Hilbert Schmidt).
Gli argomenti delle esercitazioni dovranno permettere allo studenti di sostenere una prova scritta costituita da
esercizi simili a quelli svolti in aula.
Analisi Superiore MAT/05 (6 CFU)
- Introduzione agli Spazi vettoriali topologici e spazi di Fréchet;
- Teoria delle Distribuzioni;
- Trasformata di Fourier (estesa alle distribuzioni S’);
- Funzioni assolutamente continue e derivazione in senso
debole per funzioni di più variabili.
(Gli argomenti devono prevedere esercizi che mettano in grado lo studente di operare concretamente con gli strumenti
acquisiti. A discrezione del docente si può introdurre prova scritta d’esame).
Operatori Lineari e Analisi Micro-locale MAT/05 (6 CFU)
- Operatori alle derivate parziali lineari;
- Spazi di Sobolev H^s;
- Operatori pseudo-differenziali,
- Propagazione delle singolarità delle soluzioni di EDP lineari;
- Fronte d’onda di Hörmander.
Analisi Armonica e di Fourier MAT/05 (6 CFU)
- Algebre di Banach Trasformata di Gelfand;
- Gruppi localmente compatti;
- Duale di un gruppo localmente compatto,
- Trasformata di Fourier su gruppi localmente compatti.
Equazioni Differenziali Ordinarie e Sistemi Dinamici MAT/05 (6 CFU)
- Equazioni periodiche,
- Teorema di Poincaré-Bendixson;
- Soluzioni quasi-periodiche;
- Teoria di Floquet;
- Problemi ai limiti associati a equazioni del secondo ordine. Alternativa di Fredholm;
- Applicazioni del Teorema delle Contrazioni allo studio di un problema di Dirichlet non lineare;
-
Teorema del Punto Fisso di Schauder e applicazioni allo studio di un problema di Dirichlet non lineare;
Calcolo differenziale in spazi di Banach. Teorema della Funzione Implicita in spazi di Banach e applicazioni a
problemi ai limiti non lineari;
Introduzione alla teoria della biforcazione e applicazioni a problemi ai limiti non lineari.
Analisi Non Lineare MAT/05 (6 CFU)
- Spazi di Sobolev W^m,p,
- Convessità, semicontinuità,
- Minimizzazione;
- Applicazioni del calcolo delle variazioni;
- Minimizzazione vincolata;
- Varietà di Nehari;
- Applicazioni a problemi ellittici semilineari;
- Metodi di minimax: lemmi di deformazione, Teorema del Passo di Montagna e del Punto di Sella,
- Applicazioni.
Analisi Funzionale MAT/05 (6 CFU)
- Operatori lineari non limitati e loro aggiunti;
- Operatori simmetrici e operatori autoaggiunti non limitati;
- Operatori unitari,
- Semigruppi;
- Operatori compatti:Teoria di Fredholm;
- Teoria spettrale: decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto, Teorema di Stone.
Equazioni Differenziali Stocastiche MAT/05 (6 CFU)
- Richiami di calcolo delle probabilità.
- Moto Browniano (costruzione con le funzioni di Haar; proprietà di regolarità delle traiettorie; misura di
Wiener).
- Integrale stocastico (principali proprieta' e confronto con l'integrale di Riemann-Stieltjes).
- Formula di Ito e sue applicazioni.
- Equazioni differenziali stocastiche (teoremi di esistenza e unicità).
- Proprietà di Markov delle soluzioni di equazioni stocastiche e legami con le equazioni paraboliche di
Kolmogorov.
- Possibili applicazioni delle equazioni stocastiche alla matematica finanziaria e alla dinamica delle popolazioni.
Analisi su varietà MAT/05 (6 CFU)
- Richiami su varietà e varietà con bordo
- Fibrati (in particolare, fibrati vettoriali);
- Operatori naturali;
- Spazi funzionali e distribuzioni su varietà;
- Simbolo di operatori lineari, ellitticità;
- Problemi ai limiti su varietà con bordo e/o Problema di Cauchy in Relatività Generale
Istituzioni di Calcolo delle Probabilità MAT/06
6CFU:Costruzione di misure di probabilità su R e variabili aleatorie; Integrazione rispetto a misure di probabilità;
Variabili aleatorie indipendenti;Distribuzioni su Rn; Somme di v.a.; Leggi 0-1; Variabili aleatorie Gaussiane
multivariate, Convergenza di v.a.; Convergenza debole e funzioni caratteristiche; Leggi dei grandi numeri e Teorema
del limite Centrale (richiami); Attese Condizionate; Martingale a tempo discreto, optional stopping e scomposizione di
Doob.
3CFU: Martingale a tempo discreto (convergenze), martingale a tempo continuo (cenni). Radon-Nikodyn.
Il corso comprenderà ore di lezione e ore di esercitazioni
L’esame sarà sia scritto che orale.
Testo: Jacod, Protter Essentials in Probabilità
Ulteriori letture: Williams Probabilità with Martingales
Processi Stocastici MAT/06 (6 CFU)
Moto Browniano: caratterizzazione Markoviana, esistenza del moto Browniano; distribuzione del massimo e del tempo
di primo passaggio; legge dell’arcoseno, variazione quadratica del moto Browniano; legge del logaritmo iterato;
relazione del moto Browniano con l’equazione del calore e relativa soluzione; moto Browniano multidimensionale
Processi stazionari. Distanza in media quadratica, modelli autoregressivi e a media mobile; teoria ergodica e processi
stazionari; processi Gaussiani
Processi di diffusione: equazioni differenziali associate a funzionali del processo; equazioni backward e forward;
misure stazionarie; classificazione delle barriere del processo; costruzione di comportamenti sulle barriere; processi di
diffusione condizionati; rappresentazione spettrale della densità di transizione; processi di diffusione e equazioni
differenziali stocastiche; processi di diffusione con salti; problemi di primo passaggio per processi di diffusione
Esame: orale sul programma e un seminario preparato individualmente o a gruppo su argomenti di approfondimento
(che comprenderanno Catene di Markov e Processo di Poisson per quanti non avessero superato CP2 nella LT)
Testi:
1. Karlin, Taylor A first Course in Stochastic Processes Academic Press
2. Karlin, Taylor A second Course in Stochastic Processes Academic Press
3. Orsingher Elementi per il corso di Calcolo delle Probabilità II CISU
Statistica per i processi stocastici MAT/06 (6 CFU)
Programma
Serie storiche (2 CFU) : modelli ARIMA; analisi nel dominio del tempo; analisi nel dominio della frequenza
Inferenza statistica per processi di diffusione (2.5 CFU): stima di parametri per processi di diffusione nel caso di
osservazioni relative a traiettorie continue; stima di parametri per processi di diffusione nel caso di osservazioni ad
intervalli regolari.
Laboratorio SAS (1.5 CFU): introduzione al software; analisi statistica di base; analisi di serie storiche nel dominio del
tempo e della frequenza.
Bibliografia
M.B. Priestley, Spectral analysis and time series, Academic Press, 1981
B.L.S. Prakasa Rao, Statistical Inference for Diffusion Type Processes, Arnold, 1999
Esame: orale sul programma e discussione di una relazione relativa ad un’analisi di una situazione di cui verranno
forniti dati. Il lavoro di analisi potrà venir svolto in gruppo
Ricerca operativa MAT/09 (6 CFU)
Il corso si propone di fornire allo studente le competenze necessarie per (1) sviluppare modelli di programmazione
matematica a partire dall'enunciato di problemi reali, (2) selezionare consapevolmente gli algoritmi risolutivi da
applicare a tali modelli. Nel corso vengono analizzati gli algoritmi fondamentali per la programmazione matematica e le
relative proprietà di convergenza.
Programma di massima (1 punto=circa 1 credito)
1.Problemi di ottimizzazione vincolata e non vincolata. Condizioni di ottimalità nel caso non vincolato e nel caso
vincolato.
2. Il caso lineare. Geometria della regione ammissibile, dualità. Algoritmo del simplesso.
3.Programmazione lineare a variabili intere. Branch and bound, piani di taglio.
4.Programmazione non lineare. Algoritmi per il caso non vincolato. Algoritmi per il caso vincolato.
5.Algoritmi a punto interno per il caso lineare.
5.1Estensioni: programmazione conica
6.Sviluppo di modelli.
Testi (indicativi) di riferimento.
I due seguenti sono dedicati alla programmazione matematica in generale e hanno un respiro molto più ampio di quanto
miri a fare il corso.
J. Nocedal, S. J. Wright, Numerical optimization, Springer, 1999.
D. P. Bertsekas, Nonlinear programming, Athena Scientific, 1999.
Per i punti 2, 5 in particolare:
R. J. Vanderbei, Linear Programming, Kluwer, 2001.
Il punto 4 potrebbe essere esteso --- se si ritiene interessante --- restringendo ad esempio i punti 5 o 6, trattando più in
dettaglio gli algoritmi basati sui cutting planes per la programmazione lineare intera. Sulla programmazione lineare
intera un riferimento standard (di nuovo di respiro molto ampio) è
G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey, Integer and combinatorial optimization, Wiley, 1998.
Istituzioni di Fisica Matematica MAT/07
6 CFU:
• Teoremi di esistenza ed unicità.
• Tensori, forme, metriche, connessioni, calcolo differenziale esterno, calcolo tensoriale.
• Principi variazionali, equazioni di Eulero Lagrange, simmetrie, leggi di conservazione, teorema di Noether.
• Equazioni differenziali classiche della fisica matematica (Laplace, Poisson, d'Alembert, calore, diffusione, ...)
• Teoria dei campi: formulazione variazionale delle teorie del campo scalare, del campo elettromagnetico del
campo gravitazionale, .
3CFU:
Struttura matematica dei principali modelli fisici: sistemi dinamici finito-dimensionali, sistemi continui, teorie di
campo, teorie relativistiche, modelli meccanico-statistici, teorie quantistiche.
Meccanica Analitica MAT/07 (6 CFU)
Elementi di calcolo sulle varietà differenziabili:
Campi vettoriali, sistemi dinamici, flussi.
Forme differenziali.
Varietà simplettiche e di Poisson.
Fibrati cotangenti.
Sistemi differenziali, distribuzioni, teoremi di Frobenius e Chow.
Connessioni.
Varietà riemanniane.
Meccanica lagrangiana:
Equazioni di Lagrange e applicazioni.
Meccanica hamiltoniana:
Equazioni di Hamilton.
Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrali completi. Sistemi integrabili. Teorema di Arnold- Liouville.
Separazione delle variabili.
Applicazioni alla meccanica classica e alla relatività generale.
Meccanica del Continuo MAT/07 (6 CFU)
Elementi di algebra multilineare e calcolo tensoriale
Geometria e cinematica di corpi continui: il tensore di strain
Equazioni di bilancio e costitutive: il tensore di stress
Teoria dell'elasticità
Sistemi dinamici,modelli in biomatematica
Biforcazioni e metodo di Poincaré: applicazioni all'elasticità
Metodi Geometrici per la Fisica Matematica MAT/07 (6 CFU)
Fibrati, fibrati naturali e gauge-naturali.
Formulazione geometrica del calcolo delle variazioni e leggi di conservazione.
Sequenze variazionali.
Relatività generale e teorie di gauge Teorie spinoriali.
Cenni di topologia algebrica e applicazioni alla fisica matematica
Teorie relativistiche MAT/07 (6 CFU)
Fibrati principali e connessioni (richiami)
Formulazione della metrica
Formulazione tetrade-affine della relatività generale
Formulazione autoduale e variabili di Ashtekar
Connessione di Barbero-Immirzi
Gruppi di olonomia e teorema di rappresentazione
Teoria delle rappresentazioni di SU(2) e intertwiners
Spin networks
Operatori di Area e Volume
Sistemi Dinamici e Teoria del Caos MAT/07 (6 CFU)
- Richiami generali sui sistemi dinamici discreti e continui, che si suppone gli studenti abbiano già incontrato nel
corso della LT. Definizione di stabilità (Liapunov) e criteri di stabilità dei punti critici.
- Sistemi discreti: biforcazioni di mappe iterate. Coniugazione topologica di mappe e dinamica simbolica.
Mappe caotiche. Entropia metrica e topologica di una mappa. Insiemi invarianti per mappe iterate. Definizioni
di dimensione frattale.
- Richiami sui sistemi autonomi lineari: classificazione del comportamento attorno all'equilibrio. Analisi
qualitativa di sistemi autonomi nonlineari. Varietà stabile e instabile di un punto a sella. Orbite omocline ed
eterocline. Caso planare: teorema di Poincaré-Bendixson.
- Biforcazioni di mappe continue. Stabilità strutturale. Studio qualitativo di sistemi in più dimensioni dipendenti
da parametri. Applicazioni a modelli reali.
- Aspetti geometrico-differenziali e topologico-differenziali: sistemi dinamici su varietà, campi vettoriali come
sezioni del fibrato tangente. Trasversalità e teoria dell'intersezione, grado topologico di una mappa, numero di
Lefschetz di una mappa e indice di un campo vettoriale.
-
Cenni ai modelli di evoluzione di grandezze distribuite nello spazio: evoluzione di popolazioni, equazione del
traffico, modelli di reazione-diffusione.
Laboratorio Maple MAT/07 (3 CFU)
- Utilizzazione di Maple come foglio di calcolo interattivo.
- Utilizzazione di Maple come come linguaggio di programmazione.
- Gestione grafica 2-D.
- Gestione grafica 3-D e animazioni.
- Cenni a pacchetti ed estensioni varie di Maple.
Multidisciplinary Lab. MAT/05-06-07 (3 CFU)
Il laboratorio intende fornire allo Studente strumenti essenziali per seguire efficacemente conferenze matematiche
specialistiche in lingua inglese (nell’ambito dei SSD indicati).
Istituzioni di Analisi numerica SSD: MAT/08 (6 CFU)
Finalità e Obiettivi
Il corso si propone di illustrare importanti argomenti avanzati di Analisi numerica, completando le nozioni introdotte
nel corso di Analisi numerica II sulle equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali e trattando ampiamente le
equazioni differenziali ordinarie con condizioni agli estremi. La presentazione teorica dei metodi numerici è trattata in
modo approfondito e, contemporaneamente, viene dato tutto lo spazio possibile all’analisi degli algoritmi e alla loro
implementazione su calcolatore.
Gli studenti devono acquisire le conoscenze teoriche e l’esperienza di calcolo per risolvere numericamente problemi
modellati da equazioni differenziali ordinarie. Trovare soluzioni approssimate di tali problemi e fornire stime delle
approssimazioni ottenute è di fondamentale importanza nelle applicazioni della matematica in vari settori scientifici.
Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Complementi sui metodi discreti ad uno o più passi
Stabilità e convergenza
Equazioni stiff
Problemi con condizioni agli estremi
Metodi shooting
Metodi alle differenze
Totale
9
5
4
2
4
4
28
3
2
2
2
1
1
11
Ore
Totale Ore di
Laboratorio
Car.
Didattico
2
14
1
8
2
8
0
4
2
7
2
7
9
48
Materiale per lezioni e esercitazioni:
• Strumentazione Personal computer equipaggiati del software necessario, lavagne luminose, proiettori,
stampanti, situati nelle aule informatizzate. Lavagna luminosa e proiettore nelle aula di lezione. Tutte le aule
sono situate nella sede del Dipartimento di Matematica. Cluster di calcolatori per calcolo parallelo, anch’esso
situato nella sede del Dipartimento.
• Materiale di consumo: dischetti, CD, toner, lucidi, pennarelli.
Materiale didattico
I testi base consigliati per il corso sono:
Burden; R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA, 2004.
Il materiale didattico presentato a lezione, nelle esercitazioni e nel laboratorio è disponibile presso:
La Biblioteca del Dipartimento di Matematica per le lezioni e le esercitazioni teoriche
E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
Quarteroni, A., R. Sacco, e F. Saleri, Matematica numerica, Springer, Milano, 1998.
Davis, J. H., Differential equations with Maple, Birkhäuser, Boston, 2001.
Gautschi, W., Numerical analysis. An introduction, Birkhäuser, Boston, 1997.
Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://archives.math.utk.edu/topics/ordinaryDiffEq.html
Modalità di verifica/esame
L'esame si svolge, di norma, come segue:
Quaderno di esercitazioni e elaborazioni personali :Lo studente è tenuto a presentare al momento della prova orale
un quaderno contenente le esercitazioni svolte in classe e le elaborazioni personali, sia quelle suggerite dal docente sia
quelle lasciate alla libera iniziativa. Il contenuto del quaderno viene commentato dallo studente e discusso con la
commissione esaminatrice. Vengono valutate positivamente la completezza del quaderno riguardo alle esercitazioni
svolte e alla presenza di elaborazioni personali.
Colloquio orale : La prova orale è finalizzata a verificare il livello di apprendimento con particolare riguardo alla parte
teorica del corso.
Istituzioni di Analisi numerica (9 CFU) SSD: MAT08
Finalità e Obiettivi
Il corso si propone di illustrare importanti argomenti avanzati di Analisi numerica, completando le nozioni introdotte
nel corso di Analisi numerica II sulle equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali e trattando ampiamente le
equazioni differenziali ordinarie con condizioni agli estremi. Sono inoltre dati cenni sulle equazioni differenziali alle
derivate parziali. La presentazione teorica dei metodi numerici è trattata in modo approfondito e, contemporaneamente,
viene dato tutto lo spazio possibile all’analisi degli algoritmi e alla loro implementazione su calcolatore.
Gli studenti devono acquisire le conoscenze teoriche e l’esperienza di calcolo per risolvere numericamente problemi
modellati da equazioni differenziali ordinarie. Trovare soluzioni approssimate di tali problemi e fornire stime delle
approssimazioni ottenute è di fondamentale importanza nelle applicazioni della matematica in vari settori scientifici.
Metodologia didattica
La metodologia didattica impiegata consiste in:
• Lezioni frontali (N.ore 40)
• Pratica di laboratorio (N.ore 17):
• Esercitazioni teoriche (N.ore 15):
Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Complementi sui metodi discreti ad uno o più passi
Stabilità e convergenza
Equazioni stiff
Problemi con condizioni agli estremi
Metodi shooting
Metodi alle differenze
Metodi variazionali
Metodi spettrali
Cenni sulle equazioni differenziali alle derivate parziali
Totale
9
5
4
2
4
4
4
4
4
40
3
2
2
2
1
1
2
2
2
17
Ore
Totale Ore di
Laboratorio
Car.
Didattico
2
14
1
8
2
8
0
4
2
7
2
7
2
8
2
8
2
8
15
72
Materiale per lezioni e esercitazioni:
• Strumentazione (indicare anche la localizzazione) Personal computer equipaggiati del software necessario,
lavagne luminose, proiettori, stampanti, situati nelle aule informatizzate. Lavagna luminosa e proiettore nelle
aula di lezione. Tutte le aule sono situate nella sede del Dipartimento di Matematica. Cluster di calcolatori per
calcolo parallelo, anch’esso situato nella sede del Dipartimento.
• Materiale di consumo: dischetti, CD, toner, lucidi, pennarelli.
Materiale didattico
I testi base consigliati per il corso sono:
Burden; R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA, 2004.
Il materiale didattico presentato a lezione, nelle esercitazioni e nel laboratorio è disponibile presso:
La Biblioteca del Dipartimento di Matematica per le lezioni e le esercitazioni teoriche
E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
Quarteroni, A., R. Sacco, e F. Saleri, Matematica numerica, Springer, Milano, 1998.
Davis, J. H., Differential equations with Maple, Birkhäuser, Boston, 2001.
Gautschi, W., Numerical analysis. An introduction, Birkhäuser, Boston, 1997.
Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://archives.math.utk.edu/topics/ordinaryDiffEq.html
Modalità di verifica/esame
L'esame si svolge, di norma, come segue:
Quaderno di esercitazioni e elaborazioni personali :Lo studente è tenuto a presentare al momento della prova orale
un quaderno contenente le esercitazioni svolte in classe e le elaborazioni personali, sia quelle suggerite dal docente sia
quelle lasciate alla libera iniziativa. Il contenuto del quaderno viene commentato dallo studente e discusso con la
commissione esaminatrice. Vengono valutate positivamente la completezza del quaderno riguardo alle esercitazioni
svolte e alla presenza di elaborazioni personali.
Colloquio orale : La prova orale è finalizzata a verificare il livello di apprendimento con particolare riguardo alla parte
teorica del corso.
Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali SSD: MAT08 (6 CFU)
Finalità
Il corso si propone di illustrare il trattamento numerico dei principali tipi di equazioni a derivate parziali, un argomento
di grande importanza nella matematica applicata. La presentazione teorica dei metodi numerici è trattata in modo
approfondito e, contemporaneamente, viene dato ampio spazio possibile all’analisi degli algoritmi e alla loro
implementazione su calcolatore.
Obiettivi
Gli studenti devono acquisire le conoscenze teoriche e l’esperienza di calcolo per risolvere numericamente problemi
modellati da equazioni alle derivate parziali. Trovare soluzioni approssimate di tali problemi e fornire stime delle
approssimazioni ottenute è di fondamentale importanza nelle applicazioni della matematica in vari settori scientifici.
Metodologia didattica
La metodologia didattica impiegata consiste in:
• Lezioni frontali (N.ore 28)
• Pratica di laboratorio (N.ore 12):
• Esercitazioni teoriche (N.ore 8):
Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lez.
Ore
Esercit.
Cenni di teoria delle equazioni a derivate parziali
Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico
Equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico
Equazioni alle derivate parziali di tipo iperbolico
Totale
4
8
8
8
28
1
3
2
2
8
Ore
Totale Ore di
Laboratorio
Car.
Didattico
0
5
4
15
4
14
4
14
12
48
Materiale per lezioni e esercitazioni:
• Strumentazione (indicare anche la localizzazione) Personal computer equipaggiati del software necessario,
lavagne luminose, proiettori, stampanti, situati nelle aule informatizzate. Lavagna luminosa e proiettore nelle
aula di lezione. Tutte le aule sono situate nella sede del Dipartimento di Matematica. Cluster di calcolatori per
calcolo parallelo, anch’esso situato nella sede del Dipartimento. Supercalcolatori del CINECA di Bologna.
• Materiale di consumo: dischetti, CD, toner, lucidi, pennarelli.
Materiale didattico
I testi base consigliati per il corso sono:
Burden; R. S., and J. D. Faires, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, USA, 2004.
Gerald, C. F., and P. O. Wheatley, Applied Numerical Analysis, 5th ed., Addison-Wesley, 1994.
Il materiale didattico presentato a lezione, nelle esercitazioni e nel laboratorio è disponibile presso:
La Biblioteca del Dipartimento di Matematica per le lezioni e le esercitazioni teoriche
E’ fortemente consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
Greespan, D., and V. Casulli, Numerical analysis for Applied Mathematics, Science, and Engineering, Addison-Wesley,
New York, 1988.
Morton, K. W., and D. F. Mayers, , Numerical Solution of Partial Differential Equations: An Introduction, Cambridge
Univ. Press, new York, 1994.
Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://eqworld.ipmnet.ru/en/pde-htm
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex-pde.htm
Modalità di verifica/esame
L'esame si svolge, di norma, come segue:
Quaderno di esercitazioni e elaborazioni personali: Lo studente è tenuto a presentare al momento della prova orale
un quaderno contenente le esercitazioni svolte in classe e le elaborazioni personali, sia quelle suggerite dal docente sia
quelle lasciate alla libera iniziativa. Il contenuto del quaderno viene commentato dallo studente e discusso con la
commissione esaminatrice. Vengono valutate positivamente la completezza del quaderno riguardo alle esercitazioni
svolte e alla presenza di elaborazioni personali.
Colloquio orale : La prova orale è finalizzata a verificare il livello di apprendimento con particolare riguardo alla parte
teorica del corso.
Metodi di approssimazione MAT/08 (6 CFU)
Approssimazione di funzioni in spazi lineari normati.
Esistenza ed unicità di approssimazioni ottime.
Operatori di approssimazione.
Approssimazione minimax. Approssimazione ottima in Lp, p=1,2.
Approssimazione polinomiale minimax.
Polinomi ortogonali ed approssimazione polinomiale ottima in L2.
Interpolazione polinomiale e suoi limiti
Spazi di funzioni polinomiali a tratti di grado assegnato e con prefissati vincoli di regolarità nei punti di raccordo.
Basi di potenze troncate, basi locali di B-spline.
Approssimazione spline.
Spline interpolanti.
Spline quasi-interpolanti.
Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie e loro trattamento numerico.
Metodi di proiezione.
Metodo di Nystrom.
I testi base consigliati per il corso sono:
- M. J. D. POWELL, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press (1981)
- C. de BOOR, A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer (2001)
- K. E. ATKINSON, The Numerical solution of Integral Equations of the second Kind, Cambridge, University Press,
1997
Metodi Numerici per il CAGD MAT/08 (6 CFU)
•Analisi di metodi per la costruzione di:
- curve e superfici polinomiali,
- curve e superfici B-spline,
- curve e superfici B-spline razionali (NURBS).
•Fitting di curve e superfici:
- interpolazione ed approssimazione globale,
- interpolazione ed approssimazione locale.
•Tecniche numeriche avanzate di costruzione di superfici:
- superfici di Coons,
- interpolazione di un network di curve.
•Applicazioni in ambiente Matlab.
Uno dei testi base consigliati per il corso sarà:
L. Piegl, The NURBS Book, Springer, 1997
Biomatematica MAT/08 (6 CFU)
Finalità
Il corso si propone di affrontare lo studio dei principali modelli matematici rilevanti per le applicazioni, con particolare
riguardo al campo della biologia matematica, un'area di ricerca in fase di espansione.
Obiettivi
Gli studenti al termine del corso dovranno aver familiarità con i modelli fondamentali della materia, retti
da equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, da equazioni integrali e da equazioni integro-differenziali.
Lo studente dovrà anche aver acquisito nozioni sul contesto biologico in cui si studiano questi modelli,
principalmente dato dai seguenti argomenti. L'evoluzione temporale di popolazioni singole e interagenti, le popolazioni
strutturate, il chemostato e la cinetica delle reazioni chimiche, i meccanismi di reazione e diffusione,
le onde biologiche, i fenomeni di formazione di pattern, la teoria di trasmissione neurale, i modelli epidemiologici.
Metodologia
Lezioni frontali, esercitazioni guidate (all'inizio) in laboratorio, attivita' indipendente a squadre in laboratorio
Programma
Dinamica di una popolazione
Dinamica di popolazioni interagenti
Dinamica di epidemie
Modelli a compartimento
Dinamica di popolazioni strutturate
Diffusione di popolazioni
Onde biologiche
Equazioni di reazione diffusione
Materiale per lezioni ed esercitazioni:
Le aule informatizzate con pacchetti software Maple e Matlab.
Materiale didattico
Dispense
F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer.
J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer.
J. Cronin, Mathematical Aspects of Hodgkin-Huxley neural theory, Cambridge Univ. Press.
B. Charlesworth, Evolution in age-structured populations, Cambridge Univ. Press.
H. Smith, P. Waltman, The theory of the Chemostat, Cambridge Univ. Press.
E. Renshaw, Modelling Biological Populations in Space and Time, Cambridge Univ. Press.
V. Comincioli, Problemi e Modelli Matematici nelle Scienze Applicate, Ambrosiana.
A. Okubo, S. Levin, Diffusion and Ecological Problems: Modern Perspectives, Springer, 2001.
Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover.
David L. Powers, Boundary value problems, Academic Press.
Jeffery M. Cooper, Introduction to Partial Differential Equations with Matlab, Birkhaeuser.
Tyn Myint-U, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, North Holland.
Ronald B. Guenther, John W. Lee, Partial Differential Equations of Mathematical Physics and Integral Equations,
Prentice Hall.
Gary A. Sod, Numerical Methods in Fluid Dynamics, Initial and Boundary Value Problems, Cambridge Univ. Press.
Esame
In generale è costituito dalla presentazione e discussione in sala informatizzata di un progetto redatto durante il semestre
da squadre di 2 o 3 studenti. La presentazione di questi elaborati viene fatta nelle prime settimane successive alla fine
del corso. Il docente potrà anche alternativamente decidere di sostituire il progetto con un esame scritto con domande di
teoria e di esercizi, a ciascuna delle quali verra' dato un punteggio.
Algoritmi per il Calcolo MAT/08 (3 CFU)
Finalità
Fornire agli studenti conoscenze pratiche e di base di secondo livello in Analisi Numerica e approfondire quelle già
acquisite in precedenza
Obiettivi
Studio di algoritmi semplici per la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.
Classi di metodi affrontati: differenze finite, elementi finiti.
Metodologia didattica
La metodologia didattica impiegata consiste in:
• Lezioni frontali
• Pratica di laboratorio
Programma
Richiami su sistemi di numerazione ed errore, derivazione numerica, metodo coefficienti indeterminati
Metodi di Euler, Runge-Kutta, Multistep per equazioni ordinarie
Equazione di diffusione: discretizzazione con differenze finite, stabilità
Discretizzazione di un problema sul bordo ed equazione di Laplace
Cenni sugli elementi finiti
Materiale per lezioni e esercitazioni:
• Strumentazione (indicare anche la localizzazione): PC dei laboratori didattici
Modalità di verifica/esame
L'esame si svolge, di norma, come segue: Elaborato scritto e presentazione del lavoro svolto individualmente o
a squadre nel corso del semestre.
