Quantità meccaniche

Robotica industriale
Quantità meccaniche
Prof. Paolo Rocco ([email protected])
Centro di massa
Consideriamo un sistema di punti materiali,
ciascuno dei quali abbia massa mi e la cui
posizione sia descritta dal vettore pi rispetto ad
una terna xyz.
Definiamo centro di massa, o baricentro, il
punto individuato dal vettore:
n
∑pm
i
pc =
i =1
m
i
z
pc
V
P2
Pi
Pn
y
O
x
n
, m=
∑m
z
i
i =1
P
Consideriamo ora un corpo rigido, di massa m,
volume V e densità ρ. Il centro di massa è
individuato dal vettore:
∫
=
P1
pρdV
O
dV
y
x
m
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Momento d’inerzia
Consideriamo un punto materiale di massa m ed
un asse r. Sia d la distanza del punto dall’asse.
Definiamo momento d’inerzia del punto rispetto
all’asse la quantità:
z
d
I r = md 2
Analogamente, per un sistema di punti materiali:
n
Ir =
∑
mi d i2
O
r
z
Consideriamo ora un corpo rigido, di massa m,
volume V e densità ρ. Il momento d’inerzia
rispetto all’asse è definito come:
∫
V
y
x
i =1
Ir =
P
d(P)
d 2 ( p )ρdV
O
r
P
dV
y
x
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Tensore d’inerzia
Il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse passante per O
e avente versore r si può esprimere come:
Ir = rT Ior
dove la matrice IO, di dimensioni 3×3 e simmetrica, prende il nome di tensore
d’inerzia del corpo relativo al polo O. Questa matrice assume l’espressione:
 I Oxx

I O =  I Oxy
 I Oxz

I Oxy
I Oyy
I Oyz
I Oxz 

I Oyz 
I Ozz 
Momenti d’inerzia
∫ (p
= ∫ (p
= ∫ (p
I Oxx =
I Oyy
I Ozz
V
V
V
)
)ρdV
)ρdV
Dipende dal polo O e dalla terna di
riferimento.
Prodotti d’inerzia
∫ −p
=∫ −p
=∫ −p
2
y
+ p z2 ρdV
I Oxy =
2
z
+ p x2
I Oxz
2
x
+ p 2y
I Oyz
V
V
V
x p y ρdV
x p z ρdV
y
p z ρdV
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Tensore d’inerzia
Il tensore d’inerzia dipende sia dal polo che dall’orientamento della terna
di riferimento.
Se si considera una nuova terna, ruotata secondo la matrice R rispetto alla
terna originaria, il tensore d’inerzia si trasforma secondo la seguente legge:
I ′ = RIR T
Poiché il tensore d’inerzia è una matrice definita positiva, esiste una terna
per cui esso assume forma diagonale. Gli assi di tale terna prendono il
nome di assi principali d’inerzia.
Se la terna ha origine nel baricentro, gli assi prendono anche il nome di
assi centrali d’inerzia.
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Momento rispetto ad assi paralleli
Sia IC il momento d’inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse
passante per il baricentro.
Consideriamo un asse parallelo al precedente, a distanza ∆ da esso. Il
momento d’inerzia IA rispetto a questo nuovo asse risulta:
I A = I C + m∆2
Sia ora IC il tensore d’inerzia del corpo di massa m rispetto ad una terna
avente come origine il baricentro.
Il tensore d’inerzia, rispetto ad una terna parallela a quella baricentrale e
avente origine in un diverso punto O, è dato da:
I O = I C + mS T ( pC )S ( pC )
dove pC è la posizione del baricentro nella terna avente come origine O e S
è l’operatore anti-simmetrico.
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Alcuni esempi
Cilindro circolare omogeneo
dr
Calcoliamo il momento d’inerzia rispetto all’asse:
r
4
2
R
R
=m
I = ρr 2 dV = ρr 2 2πrhdr = 2πρh
V
4
2
∫
h
∫
0
essendo m=ρπR2h la massa del cilindro.
R
Asta omogenea
Calcoliamo il momento d’inerzia rispetto ad un asse
perpendicolare passante per il baricentro:
l
r
A
R
dr
C
IC = 2
∫
l 2
0
l 2
3

1
r
r 2 ρdr = 2ρ   = ml 2
12
 3  0
2
Rispetto ad un asse passante per A:
1
l
I A = I c + m  = ml 2
3
2
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Energia cinetica
Consideriamo un punto materiale di massa m e la
cui posizione sia descritta dal vettore p rispetto ad
una terna xyz.
Definiamo energia cinetica del punto la quantità:
1
T = mp& T p&
2
Analogamente, per un sistema di punti materiali:
1
T=
2
n
∑
z
P
x
mi p& iT p& i
z
i =1
P
Consideriamo ora un corpo rigido, di massa m,
volume V e densità ρ. L’energia cinetica è
definita come:
T=
1
2
y
O
∫
V
p& T p& ρdV
O
dV
y
x
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Energia cinetica di un corpo rigido
Per il calcolo dell’energia cinetica di un corpo rigido esiste il seguente
risultato notevole (teorema di König):
1
1
mp& C T p& C + ωT I C ω
2
2
dove pC indica la posizione del baricentro, ω la velocità angolare e IC è il
tensore di inerzia rispetto ad una terna con origine il baricentro e parallela alla
terna di riferimento.
T=
Nel caso particolare di rotazione rispetto ad asse fisso, assunto questo
asse coincidente con l’asse z, il risultato si semplifica nel seguente:
1
1
mp& C T p& C + I cz ω2z
2
2
dove Icz è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo
all’asse z, passante per il baricentro e ωz è la proiezione di ω lungo l’asse.
T=
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Energia cinetica di un sistema di corpi
Consideriamo ora un sistema di corpi rigidi soggetto a vincoli di mobilità
(come un manipolatore robotico), per il quale si possa esprimere il moto
in termini di un vettore q di coordinate generalizzate.
L’energia cinetica del sistema si può esprimere per mezzo della seguente
forma quadratica:
T=
1 T
q& B (q )q&
2
La matrice B(q) prende il nome di matrice di inerzia del sistema di corpi
rigidi e generalmente dipende dal vettore di coordinate q.
Poiché l’energia cinetica è una quantità positiva per velocità diverse da
zero, la matrice di inerzia, simmetrica, è sempre definita positiva.
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Energia potenziale
Un sistema di forze posizionali (cioè dipendenti solo dalle posizioni dei
punti d’applicazione) si dice conservativo se il lavoro compiuto da
ciascuna forza non dipende dalla traiettoria seguita dal punto di
applicazione ma solo dalla sua posizione iniziale e finale.
In questo caso il lavoro elementare coincide con il differenziale, cambiato
di segno, di una funzione che prende il nome di energia potenziale:
dW = − dU
Un esempio di sistema di forze conservativo è la forza gravitazionale.
Per un punto materiale avremo l’energia potenziale:
U = − mg T p
dove g è il vettore accelerazione di gravità.
Per un corpo rigido:
U = − g T pρdV = − mg T pC
∫
V
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