sommario - Digilander
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1 SOMMARIO Programma svolto nella classe I sezione A – LM ……………………. pag. 2 Programma svolto nella classe I sezione A – IGEA ……………………. pag. 3 Programma svolto nella classe II sezione B – IGEA ……………………. pag. 4 Programma svolto nella classe III sezione A – LM ……………………. pag. 5 1 2 Programma di Matematica svolto nella classe I sez. A LM dal Prof. Ildo Mattei nell'a.s. 2006 – 2007 • LOGICA E INSIEMI Proposizioni atomiche. Connettivi logici. Proposizioni composte: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva, implicazione materiale, doppia implicazione. Tautologie e contraddizioni. Equivalenze logiche: legge della doppia negazione, leggi di De Morgan, legge di contrapposizione, ecc. Regole di deduzione: modus ponens, modus tollens, regola di sostituzione. Espressioni tipiche del linguaggio matematico: termini primitivi, sistema di assiomi, coerenza, dimostrazione diretta e indiretta di un teorema (dimostrazioni per assurdo), teorema diretto e teorema inverso. Generalità sugli insiemi. Diagrammi di Euler–Venn. Uguaglianza e inclusione di insiemi. Insiemi numerici: dei numeri naturali, degli interi relativi, dei numeri razionali. Proposizioni aperte e proprietà caratteristica di un insieme. L'insieme vuoto. I quantificatori. Leggi di De Morgan per le proposizioni quantificate. Insieme delle parti. Le operazioni con gli insiemi: intersezione, unione, complementazione, differenza, differenza simmetri ca. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, d'assorbimento, d'idempotenza, distributiva, dell'uni verso e dell'insieme vuoto, del complementare, di De Morgan. Principio di dualità. Prodotto cartesiano d'insiemi. Relazioni fra due insiemi e loro rappresentazione grafica. • LE APPLICAZIONI Definizione di applicazione: dominio, codominio, insieme immagine. Uguaglianza di due applicazioni. Applica zioni iniettive, suriettive, bijettive. Applicazione inversa. Applicazione composta. Concetto di equazione. • RELAZIONI DI EQUIVALENZA Definizione di relazione binaria in un insieme. Proprietà di una relazione: riflessiva, simmetrica, antisimmetri ca, transitiva. Grafo di una relazione. Relazioni di equivalenza: uguaglianza in un insieme, congruenza modulo n nell'insieme degli interi relativi, equivalenza di frazioni. Partizione di un insieme. Insieme-quozien te. Principio di contrazione (classi-resto modulo n, insieme dei numeri razionali). • OPERAZIONI BINARIE Definizione di operazione binaria. Esempi fondamentali di operazioni: operazioni aritmetiche, addizione e moltiplicazione modulo n, composizione delle sostituzioni di un insieme, ecc. Tabelle di Cayley. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, esistenza dell'elemento neutro, elementi simmetrizzabili, proprie tà distributiva. • CALCOLO LETTERALE Definizioni di monomio e di polinomio. Operazioni con i polinomi: somma algebrica, moltiplicazione, divisione col resto. Forma normale di un polinomio. Grado di un polinomio. Polinomi omogenei. Polinomi ordinati secondo le potenze crescenti o decrescenti di una variabile. Completi. Prodotti notevoli: potenza di un binomio (triangolo di Tartaglia), differenza di due quadrati, somma e differenza di due cubi. Fattorizzazione: raccoglimento totale e parziale a fattor comune, mediante prodotti notevoli, trinomio caratteristico di secondo grado, regola di Ruffini. 2 3 Programma di Matematica svolto nella classe I sez. A IGEA dal Prof. Ildo Mattei nell'a.s. 2006 – 2007 • LOGICA E INSIEMI Proposizioni atomiche. Connettivi logici. Proposizioni composte: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva, implicazione materiale, doppia implicazione. Tautologie e contraddizioni. Equivalenze logiche: legge della doppia negazione, leggi di De Morgan, legge di contrapposizione, ecc. Regole di deduzione: modus ponens, modus tollens, regola di sostituzione. Espressioni tipiche del linguaggio matematico: termini primitivi, sistema di assiomi, coerenza, dimostrazione diretta e indiretta di un teorema (dimostrazioni per assurdo), teorema diretto e teorema inverso. Generalità sugli insiemi. Diagrammi di Euler–Venn. Uguaglianza e inclusione di insiemi. Insiemi numerici: dei numeri naturali, degli interi relativi, dei numeri razionali. Proposizioni aperte e proprietà caratteristica di un insieme. L'insieme vuoto. I quantificatori. Leggi di De Morgan per le proposizioni quantificate. Insieme delle parti. Le operazioni con gli insiemi: intersezione, unione, complementazione, differenza, differenza simmetri ca. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, d'assorbimento, d'idempotenza, distributiva, dell'uni verso e dell'insieme vuoto, del complementare, di De Morgan. Principio di dualità. Prodotto cartesiano d'insiemi. Relazioni fra due insiemi e loro rappresentazione grafica. • LE APPLICAZIONI Definizione di applicazione: dominio, codominio, insieme immagine. Uguaglianza di due applicazioni. Applica zioni iniettive, suriettive, bijettive. Applicazione inversa. Applicazione composta. Concetto di equazione. • RELAZIONI DI EQUIVALENZA Definizione di relazione binaria in un insieme. Proprietà di una relazione: riflessiva, simmetrica, antisimmetri ca, transitiva. Grafo di una relazione. Relazioni di equivalenza: uguaglianza in un insieme, congruenza modulo n nell'insieme degli interi relativi, equivalenza di frazioni. Partizione di un insieme. Insieme-quozien te. Principio di contrazione (classi-resto modulo n, insieme dei numeri razionali). • OPERAZIONI BINARIE Definizione di operazione binaria. Esempi fondamentali di operazioni: operazioni aritmetiche, addizione e moltiplicazione modulo n, composizione delle sostituzioni di un insieme, ecc. Tabelle di Cayley. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, esistenza dell'elemento neutro, elementi simmetrizzabili, proprie tà distributiva. • CALCOLO LETTERALE Definizioni di monomio e di polinomio. Operazioni con i polinomi: somma algebrica, moltiplicazione, divisione col resto. Forma normale di un polinomio. Grado di un polinomio. Polinomi omogenei. Polinomi ordinati secondo le potenze crescenti o decrescenti di una variabile. Completi. Prodotti notevoli: potenza di un binomio (triangolo di Tartaglia), differenza di due quadrati, somma e differenza di due cubi. Fattorizzazione: raccoglimento totale e parziale a fattor comune, mediante prodotti notevoli, trinomio caratteristico di secondo grado, regola di Ruffini. 3 4 Programma di Matematica svolto nella classe II sez. B IGEA dal Prof. Ildo Mattei nell'a.s. 2006 – 2007 • ANELLI Definizione di anello e proprietà fondamentali. Anelli d'integrità, corpi e campi. Anello dei polinomi: ripasso della terminologia, delle operazioni, della divisione con il resto e della regola di Ruffini. • STRUTTURE ISOMORFE Definizione di morfismo fra due strutture algebriche. Strutture isomorfe: isomorfismo come relazione di equi valenza. Sottostrutture e ampliamenti. Il campo delle frazioni algebriche. • RELAZIONI D'ORDINE Definizione di ordinamento. Ordinamento totale (disuguaglianza nel campo dei numeri razionali) e ordina mento parziale (inclusione nell'insieme delle parti di un universo dato). Diagrammi di Hasse. Maggioranti e minoranti, massimi e minimi. Intervalli. Insiemi densi e insiemi discreti. • IL CAMPO R Il campo dei numeri reali. Assiomi dell'ordine: stabilità e tricotomia. La relazione di disuguaglianza in R e sue principali proprietà. R come ampliamento di Q. Irrazionalità della radice quadrata di 2. Assioma di completezza. Intervalli in R. La retta reale. Rappresentazione decimale dei numeri reali: arrotondamento. Notazione scientifica. • IL PIANO CARTESIANO Il riferimento cartesiano ortogonale. Particolari simmetrie del piano. Distanza fra due punti. • FUNZIONI REALI Definizione di funzione reale di variabile reale. Convenzione del massimo dominio. Rappresentazione grafica. Monotonìa. Parità. Studio di funzioni (solo alcuni esempi di funzioni potenza ad esponente intero relativo: funzione quadrato, funzione cubo, funzione reciproco, ecc.). Grafico dell'inversa di una funzione. Funzioni radice quadrata e cubica. Proprietà fondamentali dei radicali aritmetici. Funzioni particolari: funzione affine, funzione valore assoluto, funzione segno, funzione parte intera (definizioni, proprietà e grafici). • EQUAZIONI Introduzione alle equazioni. Criteri di equivalenza. Equazioni polinomiali: di primo grado e di secondo grado (formula risolutiva generale, ridotta e ridottissima) complete e incomplete (equazione pura, spuria, mono mia). Equazioni intere riducibili a equazioni polinomiali di primo o secondo grado: equazione biquadratica, trinomia, irrazionale, a soluzioni reciproche. Relazioni di Viète e scomposizione del trinomio di secondo grado in fattori. Teorema del resto. Risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo ricorrendo alla fattorizzazione o alla regola di Ruffini. Equazioni fratte, razionali e irrazionali. 4 5 Programma di Matematica svolto nella classe III sez. A - LM dal Prof. Ildo Mattei nell'a.s. 2006 – 2007 • IL PIANO CARTESIANO Ripasso essenziale del campo ordinato e completo dei numeri reali e delle sue proprietà fondamentali. La retta reale. Il riferimento cartesiano ortogonale. Particolari simmetrie del piano. Distanza fra due punti. • FUNZIONI REALI Definizione di funzione reale di variabile reale. Convenzione del massimo dominio. Rappresentazione grafica. Monotonìa. Parità. Studio di funzioni (solo alcuni esempi di funzioni potenza ad esponente intero relativo: funzione quadrato, funzione cubo, funzione reciproco, ecc.). Grafico dell'inversa di una funzione. Funzioni radice quadrata e cubica. Proprietà fondamentali dei radicali aritmetici. Funzioni particolari: funzione affine, funzione valore assoluto, funzione segno, funzione parte intera (definizioni, proprietà e grafici). • EQUAZIONI Introduzione alle equazioni. Criteri di equivalenza. Equazioni polinomiali: di primo grado e di secondo grado (formula risolutiva generale, ridotta e ridottissima) complete e incomplete (equazione pura, spuria, mono mia). Equazioni intere riducibili a equazioni polinomiali di primo o secondo grado: equazione biquadratica, trinomia, irrazionale, a soluzioni reciproche. Relazioni di Viète e scomposizione del trinomio di secondo grado in fattori. Teorema del resto. Risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo ricorrendo alla fattorizzazione o alla regola di Ruffini. Equazioni fratte, razionali e irrazionali. • DISEQUAZIONI Qualche approfondimento sulle funzioni reali strettamente monotòne. Definizione di disequazione e criteri di equivalenza. Disequazioni lineari. Segno di una funzione quadratica. Disequazioni quadratiche. Sistemi di disequazioni. Risoluzione di disequazioni di grado superiore al secondo. Disequazioni fratte. Disequazioni irrazionali (intere e fratte). Disequazioni con valori assoluti (razionali, intere e fratte). 5
