Disposizioni con ripetizione Disposizioni senza ripetizione

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Disposizioni con ripetizione
Ogni ordinamento di k oggetti scelti tra n (es AB, AA)
Dn,k = nk
Disposizioni senza ripetizione
Ogni ordinamento di k oggetti scelti tra n (es. AB, BA)
n!
(n − k)!
Dn,k =
Permutazioni
Disposizioni n = k
Pn = n!
Conbinazioni con ripetizione
Non ha importanza l’ordine
Cn,k =
�
n+k−1
k
�
Combinazioni senza ripetizione
Non ha importanza l’ordine e non si può ripeterte lo stesso elemento
�
�
n!
n
Cn,k =
=
k
(n − k)!k!
Probabilità condizionata
P(F | E) =
P(E ∩ F )
P(E)
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P(A1 )P(A2 | A1 )...P(An | A1 ∩ ... ∩ An )
Formula di Bayes
P(Hi | B) =
Indipendenza
P(Hi )P(B | Hi )
P(Hi )P(B | Hi )
= �n
P(B)
j=1 P(Hi )P(B | Hi )
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
P(A | B)= P(A)
P(B | A)= P(B)
f (x, y) = fX (x)fY (y)
2
Funzioni di densità marginali
fX (x) =
ˆ
+∞
f (x, y)dy
fY (y) =
−∞
ˆ
+∞
f (x, y)dx
−∞
Densità di probabilità
v.a. reali:
f (x) ≥ 0
ˆ
R
v.a. discrete:
f (x)dx = 1
�
pi = 1
i
Distribuzione della somma di due variabili (Z = X + Y )
P(Z ≤ z) =
ˆ ˆ
f (x, y)dydx =
Az
ˆ
∞
0
fZ (z) =
ˆ
z−x
fX (x)fY (Y )dydx
0
z
ˆ
fY (z − x)f (x)
0
Distribuzione del minimo di due variabili (Z = min{X, Y })
FZ (z) = 1 − (1 − FX (z))(1 − FY (z))
Matrice di transizione
(n)
P(Xtn+1 = xj | Xtn = xi ) = pij
 (n)
(n) 
p1,1 ... p1,m
P =  ... ... ... 
(n)
(n)
pm,1 ... pm,m
m
�
(n)
pij = 1
j=1
Probabilità di transizione
Dallo stato xi allo stato xj in n passi
(n)
pij =
r
�
(n−1)
pik
pkj
k=1
�
�
(n)
P (n) = pij = P (n−1) · P = P n−1 · P = P n
3
Equazione Chapman-Kolmogorov
(n+m)
pij
r
�
=
(n) (m)
pik pkj
k=1
Determinazione dello stato del sistema
(n)
πk
π (n)
(n)
πk
=
r
�
j=1
= P(Xn = xk )
�
�
(n)
= π1 , ... , πr(n)
P(Xn = xk | X0 = xj )P(X0 = Xj ) =
π
(n)
=π
(0)
P
r
�
(n) (0)
pjk πj
j=1
n
Matrice di transizione irriducibile
Tutti gli stati comunicano fra loro (se, dati due stati i e j, j è raggiungibile da
i e viceversa)
Catena aperiodica
�
�
Dx = n : p(n)
x,x > 0
dx = M CD {Dx }
Se P è una matrice irriducibile, dx = d è costante per ogni x.
Una catena irriducibile di periodo d = 1 è detta aperiodica
Catena regolare, ergodica
Una catena aperiodica è regolare, quindi ergodica
Media
v.a. discreta
E [X] =
∞
�
x k pk
k=0
v.a. continua
E [X] =
ˆ
∞
xf (x)dx
−∞
Varianza
� �
2
V ar [X] = E X 2 − E [X]
4
Distribuzioni
Binomiale
Geometrica
Poisson
Esponenziale
Normale
Uniforme
Distribuzione
�
� o densità
n
pk =
pk (1 − p)n−k
k
pk = p(1 − p)k
F (k) = 1 − (1 − p)k+1
k
pk = e−λ λk!
f (x) = λe−λx
F (x) = 1 − e−λx
(x−µ)2
2σ 2
√ 1 e−
2πσ
1
f (x) = b−a
f (x) =
E [X]
V ar [X]
np
np(1 − p)
1−p
p
1−p
p2
λ
λ
1
λ
1
λ2
µ
σ2
a+b
2
(b−a)2
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