1970-1971 - Docenti.unina

Anno accademico 1970-1971
Dissertazione: Si descrivano gli esperimenti che hanno permesso di determinare:
(a) la velocità di propagazione della luce;
(b) la natura ondulatoria di tale propagazione;
(c) il fatto che si tratta di onde trasversali.
1) Un ascensore cade liberamente nel campo della gravità terrestre. Al soffitto
dell’ascensore è attaccato un dinamometro formato da una molla a cui è sospesa
una massa 𝑚. Quale forza segna il dinamometro?
I dinamometri sono strumenti usati per misurare le forze. Una variante sono i
cosiddetti dinamometri a molla, chiamati anche bilance dinamometriche o bilance
a molla di tipo meccanico. La struttura dei dinamometri a molla è molto semplice:
è costituito da una molla con una scala graduata, l’unità di misura della forza
indicata sulla scala può essere in grammi, in newton oppure in libbre.
Nel caso in cui l’ascensore sia fermo, le forze agenti sulla massa m sono la gravità
e la reazione della molle, per cui
𝑚𝑔 = 𝑘∆𝑥0 ,
in cui 𝑘 è la costante elastica della molla e ∆𝑥0 la sua elongazione. La forza di
gravità è, in ultima analisi, equilibrata dalla reazione che il tetto dell’ascensore ed
il cavo esercitano sulla massa e sulla molla.
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Quando l’ascensore subisce un’accelerazione, la massa m risente di una forza
fittizia, diretta nel verso opposto al moto. In tal modo, se l’ascensore viene
accelerato, si può scrivere
𝑚𝑎 = 𝑘∆𝑥 − 𝑚𝑔 → 𝑚(𝑎 + 𝑔) = 𝑘∆𝑥 .
Ora, se 𝑎 > 0, allora ∆𝑥 > ∆𝑥0 . In caso contrario, cioè se 𝑎 < 0, allora ∆𝑥 < ∆𝑥0
Il caso dell’ascensore in caduta libera è veramente interessante che si verifica
qualora il cavo dell’ascensore venga improvvisamente reciso. Il dinamometro e
l’ascensore cadono liberamente verso Il suolo con accelerazione 𝑎 = −𝑔 e, quindi,
la risultante delle forze è nulla. Il tetto non esercita più alcuna forza molla ed il
peso apparente della massa 𝑚 è nulla, come l’indicazione del dinamometro.
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2) I freni dell’ascensore precedente entrano in funzione dando luogo ad una
decelerazione costante 𝑎. Cosa segna il dinamometro?
Quando l’ascensore decelera, la massa collegata al dinamometro avverte una
spinta verso l’alto 𝑎 > 0 e, pertanto, la molla, di costante elastica 𝑘, si comprime
di un tratto ∆𝑥, secondo la legge
𝑚(𝑎 + 𝑔) = 𝑘∆𝑥 .
Segue che il dinamometro segnerà un valore
∆𝑥 =
𝑚(𝑎 + 𝑔)
> ∆𝑥0 ,
𝑘
seguendo le notazioni riportate nel precedente esercizio.
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3) Se si inserisce un contatore di energia nel circuito primario di un trasformatore
esso non segna apprezzabile consumo fino a quando, chiudendo il circuito, passa
corrente nel secondario. Perché?
Il trasformatore è una macchina elettrica statica, non contenendo parti in
movimento, e reversibile, che serve per variare, cioè trasformare, i parametri in
ingresso, tensione e corrente, rispetto a quelli in uscita, mantenendo costante la
potenza elettrica istantanea. Michael Faraday scoprì il principio dell’induzione nel
1831 ed eseguì i primi esperimenti di induzione con bobine di filo, compreso
l’assemblaggio di un paio di bobine su un nucleo magnetico toroidale chiuso. Alla
fine di agosto del 1831, Faraday inventò l’anello ad induzione, il primo prototipo
di trasformatore, che utilizzò per dimostrare i principi dell’induzione
elettromagnetica, ma non ne intuì un uso pratico.
Un trasformatore è costituito da un nucleo di materiale ferromagnetico, di solito
di forma rettangolare, sul quale sono avvolti due circuiti elettricamente
indipendenti, detti rispettivamente primario, costituito da 𝑁1 spire, e secondario,
costituito da 𝑁2 spire.
𝑖2 (𝑡)
𝑖1 (𝑡)
𝑣1 (𝑡)
𝑁2
𝑁1
Porta primaria
𝑣2 (𝑡)
Porta secondaria
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Se il trasformatore funziona correttamente, il suo comportamento è assimilabile
a quello di un trasformatore ideale, per cui, con riferimento alle convenzioni
riportate nella figura precedente, si può scrivere
𝑣2 (𝑡) = 𝑎𝑣1 (𝑡) , 𝑖2 (𝑡) =
1
𝑖 (𝑡) ,
𝑎 1
essendo 𝑎 il parametro caratteristico, definito come il rapporto tra il numero di
spire al secondario e quello al primario
𝑎=
𝑁2
.
𝑁1
Si nota immediatamente che la potenza in ingresso alla porta primaria
𝑝1 (𝑡) = 𝑣1 (𝑡)𝑖1 (𝑡)
È uguale a quella in uscita dalla porta secondaria
𝑝2 (𝑡) = 𝑣2 (𝑡)𝑖2 (𝑡) = 𝑎𝑣1 (𝑡)
𝑖1 (𝑡)
= 𝑣1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) = 𝑝1 (𝑡) .
𝑎
Allora, se si inserisce un contatore di energia nel circuito primario di un
trasformatore, esso non segna apprezzabile consumo, finché il secondario è
aperto. In tal caso, essendo 𝑖2 (𝑡) = 0, anche la corrente al primario è nulla e la
potenza assorbita dalla porta primaria è nulla, sicché
𝑝1 (𝑡) = 𝑣1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) = 0 , quando 𝑖2 (𝑡) = 0 .
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Segue che l’energia misurata dal contatore sarà anch’essa nulla. Non appena si
chiude il circuito secondario su un carico, si costata un passaggio di corrente nel
secondario e nel primario ed il contatore misurerà energia.
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I) Due tubi lunghi 𝐴 e 𝐵, posti verticalmente, sono chiusi all’estremità inferiore ed
hanno ciascuno un pistone con un piatto su cui si trovano dei pesi. Uno dei due
tubi contiene aria ed ha un pistone a tenuta d’aria, l’altro contiene una molla e il
pistone non è a tenuta. La distanza fra il fondo dei tubi ed i rispettivi pistoni è di
24 𝑐𝑚. Sui due piatti vengono poi aggiunti di volta in volta due chilogrammi e
viene ogni volta misurata la distanza tra il fondo di ciascun tubo ed il relativo
pistone. I risultati sono i seguenti:
Quale dei due tubi 𝐴 e 𝐵 contiene aria e quale contiene la molla? Se, quando la
distanza è di 24 𝑐𝑚, si tolgono 2 𝑘𝑔 da ciascun piatto, di quanto si solleverà
ciascun pistone?
Se si guarda con attenzione alla tabella 𝐴, si scopre che le diverse distanze
giacciono su una retta e, quindi, questa colonna deve rappresentare i dati del
cilindro con la molla. Infatti, detta ℎ l’altezza della molla, di costante elastica 𝑘, in
assenza di pesi e di tappo, si può scrivere
𝑝0 𝑆 + 𝑀𝑔 + 𝑀𝑛 𝑔 = 𝑘(ℎ − ℎ𝑛 ) , 𝑛 = 0, 1, 2, 3 ,
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in cui 𝑆 rappresenta la superficie del tappo, 𝑝0 è la pressione atmosferica, le masse
𝑀𝑛 = 𝑀0 𝑛, con 𝑀0 = 2 𝑘𝑔, descrivono i diversi pesi, ℎ𝑛 sono le diverse altezze e
𝑀 è la massa del tappo. Elaborando la precedente espressione, si ricava
ℎ𝑛 = ℎ −
𝑝0 𝑆 + 𝑀𝑔 2𝑔
−
𝑛 = 𝑎 − 𝑏𝑛 ,
𝑘
𝑘
dove per semplicità si è posto
𝑎=ℎ−
𝑝0 𝑆 + 𝑀𝑔
𝑀0 𝑔
, 𝑏=
.
𝑘
𝑘
I parametri 𝑎 e 𝑏 vanno determinati interpolando i dati, in modo che
𝑎 = 24 𝑐𝑚 , ℎ1 = 21 𝑐𝑚 = 𝑎 − 𝑏 → 𝑏 = 3 𝑐𝑚 .
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Dunque, le diverse distanze dell’esperimento 𝐴, espresse in centimetri, sono
descritte dalla formula
ℎ𝑛 = 24 − 3𝑛
e si controlla facilmente che
ℎ2 = 18 𝑐𝑚 , ℎ3 = 15 𝑐𝑚 .
Da quanto detto discende che l’esperimento 𝐵 rappresenta il gas chiuso nel
cilindro, che viene compresso in maniera isoterma, descritta dalla Legge di Boyle,
per cui il prodotto della pressione per il volume è costante
𝑝𝑉 = 𝐶 .
Adoperando i simboli già introdotti, si può scrivere
(𝑝0 +
𝑀𝑔 𝑀𝑛 𝑔
𝑀𝑔
+
) ∙ 𝑆ℎ𝑛 = 𝐶 = (𝑝0 +
) ∙ 𝑆ℎ0 ,
𝑆
𝑆
𝑆
da cui si ricava agevolmente che
ℎ𝑛 =
ℎ0
24
=
,
1 + 𝐴𝑛 1 + 𝐴𝑛
dove, per brevità, è stata introdotta la costante adimensionale
𝛼=
𝑀0 𝑔
.
𝑝0 𝑆 + 𝑀𝑔
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Interpolando i dati misurati, si ottiene
ℎ1 = 20 =
24
24
1
=
→ 𝛼= .
1+𝛼 1+𝛼
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Discende che la relazione che modella i dati assegnati è
ℎ𝑛 =
24
120
=
𝑛 5+𝑛,
1+
5
dalla quali si evincono i valori seguenti
ℎ0 = 24 𝑐𝑚 , ℎ1 = 21 𝑐𝑚 , ℎ2 = 18. 6 𝑐𝑚 , ℎ3 = 24 𝑐𝑚 .
La terza misura 18 𝑐𝑚 rappresenta semplicemente un’approssimazione
strumentale, legata al fatto che le misure danno solamente le cifre intere esatte,
senza riportare alcun decimale.
Se, quando la distanza è di 24 𝑐𝑚, si tolgono 𝑀0 = 2 𝑘𝑔 da ciascun piatto, di
quanto si solleverà ciascun pistone?
Mettendo insieme i dati strumentali che si ricavano dai due esperimenti, si può
ricavare dalla definizione di 𝛼 che
𝑝0 𝑆 + 𝑀𝑔 = 5𝑀0 𝑔 .
Discende che il valore della costante della Legge di Boyle è
𝐶 = (𝑝0 +
𝑀𝑔
) ∙ 𝑆ℎ0 = (𝑝0 𝑆 + 𝑀𝑔)ℎ0 = 5𝑀0 𝑔 .
𝑆
Ora, sostituendo 𝑀 con 𝑀 − 𝑀0 , risulta un’altezza ℎ pari a
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[𝑝0 𝑆 + (𝑀 − 𝑀0 )𝑔]ℎ = (5𝑀0 𝑔 − 𝑀0 𝑔)ℎ = 𝑀0 𝑔 → ℎ =
1
𝑚 = 25 𝑐𝑚 .
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Dunque, in presenza di un più leggero tappo del contenitore, il gas si espande fino
a raggiungere la nuova altezza ℎ = 25 𝑐𝑚.
Per l’esperimento con la molla, invece, si può stabilire che l’altezza guadagnata è
pari a
𝑝0 𝑆 + (𝑀 − 𝑀0 )𝑔 = 4𝑀0 𝑔 = 𝑘(ℎ − ℎ) ,
in cui i diversi parametri sono pari a
𝑘=
𝑀0 𝑔
𝑝0 𝑆 + 𝑀𝑔
5𝑀0 𝑔
, ℎ=𝑎+
=𝑎+
= 𝑎 + 5𝑏 = 39 𝑐𝑚 .
𝑏
𝑘
𝑘
In definitiva, si può determinare la nuova altezza
ℎ=ℎ−
4𝑀0 𝑔
= ℎ − 4𝑏 = 27 𝑐𝑚 ,
𝑘
valore che coincide con quello che si sarebbe potuto interpolare dal grafico
presentato all’inizio dell’esercizio.
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II) Il principio su cui funzionano certe pompe è il seguente. Un condensatore piano
è costituito da due armature rettangolari verticali di lati 𝑎 e 𝑏 collegate ad un
generatore di differenza di potenziale 𝑉. Esse sono applicate alle pareti interne di
⃗,
un tubo rettangolare di materiale isolante immerso in un campo magnetico 𝐵
parallelo al lato 𝑎 (vedi figura) e uniforme. Nel tubo c’è un liquido di densità 𝑑 e
resistività 𝑟 finita. Il dispositivo viene fatto funzionare come pompa per sollevare
il liquido tra due recipienti grandi tra i quali c’è un dislivello ℎ costante. Trovare
⃗ perché la pompa funzioni. Trovare la velocità di regime
il valore minimo 𝐵0 di 𝐵
per 𝐵 > 𝐵0 . Cosa succede per 𝐵 < 𝐵0 ?
La pompa magnetica è un dispositivo in grado di sfruttare la forza di Lorentz, che
agisce su una particella in transito attraverso un campo di induzione magnetica
ortogonale al senso del moto. La direzione della forza è allora perpendicolare sia
alla velocità, che alle linee del campo di induzione magnetica. Questo tipo di
pompa è estremamente affidabile per la totale assenza di parti in movimento ed è
esente dagli effetti della cavitazione, che consiste nella formazione di zone di
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vapore all’interno del fluido, e quindi da fenomeni di usura. Il limite è di potere
essere usata solamente per liquidi elettricamente conduttori. Un tipico impiego si
ha nei circuiti di raffreddamento per reattori nucleari a sodio liquido, dove è
richiesta una affidabilità elevata: il sodio, al di sopra della temperatura di fusione,
è infatti elettricamente conduttore.
Un altro impiego, ancora a livello sperimentale, si ha nei sottomarini militari come ad esempio
nella classe Typhoon nel film Caccia ad Ottobre Rosso. In questo caso è apprezzata la totale
silenziosità, che rende il vascello difficilmente individuabile. Lo sviluppo di questa tecnica è
però ostacolato dalla scarsa conducibilità elettrica dell’acqua di mare, che può essere
compensata aumentando l’intensità del campo magnetico, ricorrendo eventualmente a magneti
superconduttori.
Si abbia allora tra le piastre una resistenza
𝑅=𝑟
𝑐
,
𝑎𝑏
dove 𝑐 terzo spigolo del tubo a forma di parallelepipedo. Tra le piastre scorre una
corrente continua di intensità
𝐼=
𝑉 𝑎𝑏𝑉
=
.
𝑅
𝑟𝑐
Questa corrente, tuttavia, resta tutta confinata nel liquido e non chiude il circuito
con la sorgente di forza elettromotrice, dato che il liquido è contenuto in un tubo
isolante, che lo scollega elettricamente dal generatore. All’interno del liquido si
risente soltanto di un campo elettrico, sostenuto dal generatore, che mette in
moto le cariche, quelle positive verso destra, quelle negative verso sinistra, come
mostrato schematicamente nella figura che segue.
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La forza magnetica, che agisce sulla massa di liquido tra le piastre del
condensatore, è diretta verso l’alto e vale
𝐹 = 𝐼𝑐𝐵 =
𝑎𝑏𝐵𝑉
.
𝑟
Questa forza pompa verso l’alto la colonna di liquido e deve fornire una pressione
maggiore di quella causata dal peso della colonna di liquido, che è alta ℎ. Per la
Legge di Stevino si deve verificare che
𝐹
𝑏𝐵𝑉
=
> 𝑑𝑔ℎ ,
𝑎𝑐
𝑐𝑟
da cui si può ricavare il valore minimo di induzione magnetica, capace di sollevare
la massa liquida
𝐵0 =
𝑐𝑟𝑑𝑔ℎ
.
𝑏𝑉
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Si deduce che quanto più largo è il tubo, tanto più intenso è la forza magnetica,
che non dipendente dalla profondità 𝑎 del tubo.
Per la conservazione dell’energia, a regime la potenza elettrica assorbita per
effetto Joule deve essere uguale alla derivata nel tempo dell’energia potenziale
gravitazionale, vale a scrivere
𝑎𝑏𝑉 2
𝐼𝑉 =
= 𝑚𝑔ℎ′(𝑡) = 𝑚𝑔𝑣 = 𝑑𝑎𝑐ℎ𝑔𝑣 ,
𝑐𝑟
da cui si ottiene la velocità di regime 𝑣 = ℎ′(𝑡) delle particelle cariche presenti nel
liquido
𝑏𝑉 2
𝑣= 2
.
𝑟𝑐 𝑑ℎ𝑔
Cosa succede per 𝐵 < 𝐵0 ?
Per comprenderlo, basta osservare che se la forza magnetica non è capace in
questa ipotesi di funzionamento del dispositivo di sollevare il liquido. Ora, a causa
della separazione delle cariche prodotta dal campo elettrico, si accumuleranno
rapidamente delle cariche positive in prossimità della piastra destra e negative
sulla piastra opposta: quando questo accumulo sarà progredito a sufficienza, si
creerà un campo elettrico uguale ed opposto a quello esterno, per cui il moto delle
cariche cesserà e nel dispositivo non circolerà più la corrente.
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