Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Interpretazione relativistica del Campo Magnetico
(adattamento da Bergamaschini-Marazzini-Mazzoni- Fisica 3 Carlo Signorelli Editore)
Obiettivi
Osservare , mediante un esempio, che è possibile che in un riferimento il campo sia puramente
magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservino entrambi.
Applicare le leggi della Relatività speciale
Riconoscere che il Principio di relatività , nell’ambito della Fisica classica, non è rispettato dai
fenomeni elettromagnetici
Una carica positiva q è posta , in quiete, a distanza r da un filo di lunghezza L, su cui è distribuita
uniformemente una carica Q anch’essa positiva (r<<L Densità lineare = Q/L = λ )
Per un osservatore O, solidale con q e con la distribuzione di cariche , sulla carica q agisce una forza
elettrica , dipendente
dalla carica q
dalla distanza r
dalla densità lineare di carica , λ, della distribuzione
a)Si determini
b) Quale sarebbe la risultante delle forze, applicate alla carica q , dal punto di vista di un osservatore O’in
moto rispetto ad O?
(La velocità di O’ è opposta a quella delle cariche, indicata in figura.)
c) Si studi lo stesso fenomeno secondo le leggi della Relatività speciale
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Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Soluzione
a) Supponendo che la fila di cariche abbia lunghezza infinita, la forza repulsiva agente sulla carica q
ha direzione perpendicolare alla distribuzionedi cariche e intensità
Infatti il campo elettrico ha le linee di forza perpendicolari alla direzione della distribuzione di
cariche e la sua intensità dipende dalla distanza r.
Applicando il teorema di Gauss a una superficie cilindrica avente per asse la fila di cariche, di raggio di base
uguale a r e altezza , osservando che il flusso è nullo attraverso le due basi mentre attraverso la
superficie laterale è
si ottiene
=
quindi
b) Secondo l’osservatore O’ la fila di cariche si comporta come una corrente elettrica
di intensità
Poiché la quantità di carica che passa nell’unità di tempo non è altro che il rapporto
si ha
La corrente I genera un campo magnetico . La circonferenza rappresentata in figura è la linea di campo
passante per A, dove è tangente al vettore
.
Sulla carica q , in moto, agisce quindi la forza di Lorentz
=
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Proposta di soluzione di Adriana Lanza
La carica q risente però anche della repulsione colombiana
, come in figura
Il valore di B può essere dedotto dalla legge di Biot-Savart
il modulo della forza di Lorentz è uguale a
Poiché
=
dove c è la velocità della luce, possiamo scrivere
Poiché la forza coulombiana è uguale a
se
, come è ragionevole supporre, possiamo affermare che
e che la risultante delle forze
applicate alla carica q è una forza perpendicolare alla direzione della fila di cariche, diretta verso l’esterno
( repulsiva) ma di intensità
Questo risultato contrasta col principio di relatività in quanto prevede un esperimento , eseguito
all’interno di un riferimento inerziale, che permette di decidere quale dei due osservatori si muove
(l’osservatore che misura la forza magnetica) e quale sta fermo ( l’osservatore che misura solo la forza
elettrica).
c) Secondo le leggi della Relatività speciale i calcoli precedenti devono subire alcune modifiche
La quantità di carica è invariante nei due riferimenti ma non lo è la densità di carica, la quale, poichè
dipende dalla lunghezza , è relativa all’osservatore.
Infatti, ad una lunghezza
misurata da O che è in quiete rispetto alle cariche, corrisponde una lunghezza
,misurata da O’ ,per il quale la fila di cariche è in moto con velocità v.
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La densità di carica è maggiore per O’
La forza misurata da O’ pertanto è F’ =
=
La variazione media della quantità di moto è :
secondo O
SSecondo O’
L’intervallo di tempo in cui agisce la forza sulla carica q è per O il tempo proprio, mentre per O’ è il tempo
improprio
Pertanto
Pertanto
per l’osservatore O si ottiene
per l’osservatore O ‘ si ottiene
I due osservatori misurano, ciascuno nel suo riferimento, un valore diverso per le lunghezze,
per gli intervalli di tempo, per la forza applicata, ma descrivono nello stesso modo la dinamica del
fenomeno .
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Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Gli effetti magnetici sono visti come conseguenza degli effetti relativistici, in coerenza con le leggi della
Relatività speciale.
