Chimica e Fisica generale per Biotecnologie

Chimica e Fisica generale per Biotecnologie
Modulo di Fisica
Docente: Paolo Giannozzi
Stanza L1-4-BE ai Rizzi, Tel.: 0432-558216
e-mail: [email protected]
Ricevimento “ufficiale” Lunedı̀ 16:30-18:30
Orario: Giovedı̀ 10:30-12:30 e 14:30-15:30, Aula 3
Pagina web del corso:
http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisI/fisI.html
– Typeset by FoilTEX –
Introduzione al corso
• Programma. Introduzione: Unità di misura, vettori. Cinematica.
Dinamica del punto materiale. Lavoro, energia cinetica, energia
potenziale. Elementi di statica e dinamica di sistemi di particelle e del
corpo rigido. Oscillazioni. Elementi di statica e dinamica dei fluidi.
Elettrostatica: campo e potenziale elettrico. Circuiti in corrente
continua. Introduzione al campo magnetico.
Nella pagina web del corso è pubblicata una versione continuamente
aggiornata della struttura dettagliata delle lezioni.
• Testo. Serway e Jewett - Principi di Fisica vol. 1, ultima edizione,
EdiSES (acquistabile on line su http://www.edises.it/, a 48Eur).
Qualunque libro di testo di fisica generale va bene, purché contenga
tutto il programma del corso.
Introduzione al corso (2)
• Esami. Prova scritta: esercizi molto semplici, qualche domanda di
teoria. La valutazione finale è congiunta con il modulo di Chimica.
Sono previste due sessioni in febbraio, una o due in luglio, una o due
in settembre.
Sulla pagina web sono disponibili scritti degli anni precedenti.
• Consigli:
–
–
–
–
–
Cercare di capire i concetti, non di imparare a memoria le formule!!
Procurarsi il libro di testo quanto prima
Studiare regolarmente quanto svolto in classe
Svolgere gli esercizi relativi
Dare un’occhiata agli argomenti della lezione successiva
A cosa serve la Fisica?
La fisica studia i fenomeni che avvengono nel nostro mondo e ne fornisce
una comprensione quantitativa
• La fisica si basa su misure ed osservazioni sperimentali e sulla loro
modellizzazione e analisi matematica.
• La misura in fisica ha un ruolo centrale. Richiede una definizione
precisa di
– Cosa si misura
– Come lo si misura
– In che unità lo si misura
• La fisica sviluppa teorie che spiegano i fenomeni sotto studio,
permettono di predirne altri non ancora osservati
Teoria ed Esperimento
• Sono complementari: il fisico è soddisfatto quando la teoria spiega
l’esperimento e l’esperimento conferma la teoria
• Quando c’e’ una discrepanza fra teoria ed esperimento, è di solito
necessario modificare la teoria
La teoria potrebbe essere applicabile solo sotto determinate condizioni, o entro certi
limiti. Esempio: la Meccanica Newtoniana funziona solo per oggetti che viaggiano
a velocità piccole rispetto alla velocità della luce
• Si può allora usare la discrepanza per sviluppare una teoria più
generale
Esempio: la Meccanica Relativistica funziona anche per oggetti che viaggiano a
velocità comparabili con quella della luce
Modelli in Fisica
• Un modello un “sostituto” semplificato del problema reale che ci
consente di risolvere il problema in un modo relativamente semplice
• Un buon modello permette di fare predizioni sul comportamento del
sistema
• Un modello è valido finché le predizioni del modello sono in accordo
con il comportamento reale del sistema
Si possono definire vari tipi di modelli (vedere Cap.1.10):
Geometrici, Semplificati, Analitici, Strutturali
Il modello della Particella (o Punto Materiale)
• Il modello della particella permette di sostituire un oggetto esteso
(di dimensioni non nulle) con una particella che ha massa, ma ha
dimensione nulla
• Le due condizioni che permettono di usare il modello della particella
sono:
– La dimensione effettiva dell’oggetto non ha importanza ai fini
dell’analisi del suo moto
– Qualunque processo avvenga all’interno dell’oggetto non ha
importanza ai fini dell’analisi del suo moto
Grandezze Fisiche Standard:
SI - Système International
• E’ il sistema (quasi) universalmente usato nella scienza e nell’industria
• Consiste in un sistema di definizioni e di standard che descrivono le
quantità fisiche fondamentali
Noto anche come MKSA, dalle unità di misura delle grandezze
fondamentali:
• Lunghezza misurata in Metri
• Massa misurata in Kilogrammi
• Tempo misurato in Secondi
• Corrente elettrica misurata in Ampère
Dell’importanza delle unità di misura...
Tempo: secondo (s)
• Storicamente definito come 1/86400 del giorno solare medio
• Ora definito in termini della frequenza di oscillazione di una riga
dell’atomo di Cesio
• Qualche intervallo di tempo, approssimativo, in s:
Età dell’Universo
Dalla caduta dell’Impero Romano
La vostra età
Un anno
Una lezione
Tempo fra due battiti cardiaci
Periodo tipico delle onde sonore
Periodo tipico delle onde radio
Periodo delle vibrazioni di un atomo in un solido
Periodo delle onde elettromagnetiche nel visibile
5 × 1017
6 × 1010
6 × 108
3 × 107
5 × 103
1
1 × 10−3
1 × 10−6
1 × 10−13
2 × 10−15
Lunghezza: metro (m)
Storicamente definito come 1/10000000 (10−7) della distanza fra il Polo
Nord e l’Equatore, passando per Parigi. Ora definito come la distanza
percorsa dalla luce nel vuoto in un certo tempo.
Massa: Kilogrammo (kg)
• Storicamente definito come
la massa di un particolare
campione, uguale alla massa
di un litro (10−3 m3) di acqua
alla temperatura di densità
massima (4C) e pressione
atmosferica
• Tuttora definito tramite un
campione di massa conservato
a Parigi
NB: massa e peso non sono la
stessa cosa!!!
Quantità Derivate
• Si possono esprimere come combinazione matematica di quantità
fondamentali (in meccanica: Lunghezza, Massa, Tempo)
• La Densità è un esempio di quantità derivata: è definita come massa
per unità di volume
m
ρ=
V
Si misura in kg/m3 (o kg·m−3 se preferite)
• Altri esempi:
Velocità:
Accelerazione:
Forza:
Energia:
m/s
m/s2
kg·m/s2
kg·m2/s2
Analisi Dimensionale
• Tecnica per verificare la correttezza di un’equazione o per assistere
nella derivazione di un’equazione. La dimensione ha un significato
preciso: indica la natura fisica di una quantità
• Le dimensioni sono indicate con parentesi quadre:
Lunghezza – [L], Massa – [M ], Tempo – [T ]
• Le dimensioni sono trattate come quantità algebriche: si possono
moltiplicare e dividere, sommare e sottrarre, se uguali
• Entrambe i lati di un’equazione devono avere le stesse dimensioni
Limitazione: nessuna informazione sui fattori numerici
Esempio di Analisi Dimensionale
• Scriviamo le dimensioni dei due lati dell’equazione:
1 2
x = at
2
⇒
[L]
2
[L] =
·
[T
]
[T ]2
(le costanti numeriche non hanno dimensione)
• I fattori [T ]2 si cancellano, la dimensione è [L] da entrambe i lati
• L’equazione è dimensionalmente corretta
• Equazioni dimensionalmente non corrette sono sicuramente sbagliate
Conversione delle Unità
• Le unità possono essere trattate come quantità algebriche
• Includere sempre le unità per ogni quantità, portarsele dietro per
tutto il calcolo!
• Quando le unità non sono consistenti, può essere necessario convertire
ad unità appropriate. In pratica: moltiplicare il valore originale per
un rapporto (fattore di conversione) che vale 1
• Esempio: 10m/s=?? km/h
1km
10m/s
1000m
3600s
1h
= 36km/h
Notazione dei Numeri
• Separazione fra unità e decimali: punto (.)
• Numeri con molte cifre si scrivono in gruppi di tre cifre con un spazio
in mezzo (niente virgole nè punti: solo spazi)
• Esempi:
25 100
5.123 456 789 12
Notazione scientifica: prefissi
• Corrispondono a potenze di 10
• Ogni prefisso ha un nome specifico
• Ogni prefisso ha un’abbreviazione
specifica
• I prefissi possono essere usati con
qualunque unità di base
• Moltiplicano le unità
Esempi:
1 mm = 10−3 m
1 mg = 10−3 g
di
base.
Ordine di Grandezza
• Approssimazione basata su qualche assunzione
• Può essere necessario modificare le assunzioni se si desiderano risultati
più precisi
• L’ordine di grandezza è la potenza di 10 più vicina
• Nei calcoli di ordini di grandezza, i risultati sono affidabili entro un
fattore 10
Una volta risolto un problema, usate l’ordine di grandezza per verificare
se la risposta trovata sembra ragionevole!
Incertezza sulle Misure
• Tutte le misure hanno un’incertezza, che si trasmette a tutti i calcoli
• Serve una tecnica che tenga conto di tale incertezza
• Useremo le regole per le cifre significative per approssimare
l’incertezza nei risultati dei calcoli
Cifre Significative
• Una cifra è significativa se è nota in modo affidabile
• Gli zeri possono essere o non essere significativi
– Se usati per posizionare il punto decimale, non lo sono
– In caso di ambiguità conviene usare la notazione scientifica
• In una misura, le cifre significative si contano a partire dalla prima
cifra stimata
Cifre Significative (2)
• 0.0075 m ha 2 cifre significative (gli zeri precedenti servono solo a
posizionare il punto decimale)
• 7.5 × 10−3 m ha 2 cifre significative (si può scrivere più chiaramente
in notazione scientifica)
• 10.0 m ha 3 cifre significative (il punto decimale qui dà informazioni
sull’affidabilità della misura)
• 1500 m è ambiguo:
Usate 1.5 × 103 m per 2 cifre significative
Usate 1.50 × 103 m per 3 cifre significative
Usate 1.500 × 103 m per 4 cifre significative
Operazioni con cifre significative
• Se si multiplica o si divide, il numero di cifre significative nel risultato
finale è lo stesso del numero di cifre significative nella quantità che
ne ha il numero minore
• Esempio: 25.57 m× 2.45 m = 62.6 m2
• Il valore 2.45 m limita il vostro risultato a 3 cifre significative
• Se si somma o si sottrae, il numero di posti decimali nel risultato è
uguale al numero più piccolo di posti decimali di ciascun termine
• Esempio: 135 cm + 3.25 cm = 138 cm
• Il valore 135 cm limita il vostro risultato al decimale delle unità
Arrotondamento
• L’ultima cifra a destra che teniamo è incrementata di 1 se la cifra
seguente è 5 o maggiore di 5
• L’ultima cifra a destra che teniamo rimane com’è se la cifra seguente
è minore di 5
• Conviene arrotondare soltanto il risultato finale e non i passaggi
intermedi per evitare accumulazione di errori
Sistemi di coordinate
Servono a descrivere la posizione di una punto nello spazio. Un sistema
di coordinate consiste in
• Un punto fisso di riferimento chiamato origine
• Degli assi specifici con scale ed etichette
• Istruzioni su come individuare un punto rispetto all’origine e agli assi
Sistema di coordinate cartesiane
• Chiamato anche sistema
cordinate rettangolari.
di
• Per il caso a due dimensioni
(l’esempio qui accanto):
– Gli assi x e y si incrociano
nell’origine
– I punti sono individuati da
(x, y)
In tre dimensioni, 3 coordinate (x, y, z) sono sufficienti per definire la
posizione di una particella nello spazio
Sistema di coordinate polari
• Esempio bidimensionale (qui
accanto): prendiamo un’origine
e una linea di riferimento
• Il punto è a distanza r dall’origine
nella direzione dell’angolo θ,
definito in senso antiorario dalla
linea di riferimento
• I punti sono definiti come (r, θ)
Trasformazioni di coordinate
• Da coordinate polari a cartesiane:
Formiamo un triangolo retto con
reθ:
x = r cos θ
y = r sin θ
• Da coordinate cartesiane a polari:
r è l’ipotenusa e θ un angolo
y
tan θ =
x
p
r =
x2 + y 2
Grandezze scalari e vettoriali
• Grandezze scalari: sono completamente specificate da un numero in
unità appropriate.
— Volume, massa, intervalli di tempo, etc., sono scalari.
• Grandezze vettoriali: sono specificate da modulo (o intensità),
direzione, verso.
— Spostamento, velocità, forze, etc., sono vettori.
Esempio: vettore spostamento di un
punto materiale da A a B. Il modulo
è la distanza fra A e B (differisce
dalla distanza percorsa!)
Vettori
~ o anche A o A
• Notazione: A
~ o semplicemente A
• Modulo: |A|
(sempre positivo!)
• I vettori possono essere ”applicati” ad
un punto
• Tutti i vettori sovrapponibili con una
traslazione sono equivalenti allo stesso
vettore ”libero”
Somma di Vettori
Regola del parallelogramma per la somma di vettori
Attenzione: somma vettoriale 6= somma dei moduli!
~ + (B
~ + C)
~ = (A
~ + B)
~ + C:
~
Vale la proprietà associativa A
Somma di Vettori 2
Vettori con segno negativo:
Somma di 4 vettori:
In generale, se a è un numero,
~ = |a|A.
|aA|
Vettori in coordinate cartesiane
~=A
~x + A
~ y ≡ (Ax, Ay ),
A
Notare che Ax = A cos θ, Ay = A sin θ
A2 = A2x + A2y
Somma di vettori in coordinate cartesiane
~+B
~ ≡ (Ax + Bx, Ay + By )
A
Versori (vettori di modulo unitario)
~ = (Ax, Ay , Az ) ≡ Axî + Ay ĵ + Az k̂
A
Prodotto Scalare
~ eB
~ si indica come A
~·B
~ ed è dato
Il prodotto scalare di due vettori A
~ e B.
~ E’ il
~·B
~ = AB cos θ, dove θ è l’angolo fra i due vettori A
da A
prodotto del modulo del primo vettore (A) per la proiezione del secondo
vettore sul primo (B cos θ), o viceversa. Proprietà:
~ B
~ =B
~ · A;
~ (aA)·(b
~
~ = (ab)(B
~ · A);
~
~ B
~ + C)
~ = A·
~ B
~ + A·
~ C
~
• A·
B)
A·(
• Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale al modulo del
~·A
~ = A2
vettore al quadrato: A
• Sfruttiamo A = Axî + Ay ĵ + Az k̂ e B = Bxî + By ĵ + Bz k̂: troviamo
~·B
~ = AxBx + Ay By + Az Bz
A
perché î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1; î · ĵ = î · k̂ = ĵ · k̂ = 0
Prodotto Vettore
Come
Il
possiamo
prodotto
formare
vettore:
un
vettore da altri
~ =A
~×B
~
C
è definito
due
come
vettori?
segue:
~ = AB sin θ, dove θ è l’angolo
• |C|
compreso fra i due vettori;
~ è un vettore perpendicolare al
• C
~ e B;
~
piano formato da A
~ è determinato dalla
• il verso di C
regola della mano destra
~ ×A
~ = −A
~ × B,
~ e che A
~×A
~ = 0. In generale, il
Da notare che B
prodotto vettore di due vettori paralleli è nullo. Il modulo del prodotto
~ e B.
~
vettore è uguale alla superficie del parallelogramma formato da A
Prodotto Vettore in coordinate cartesiane
Sfruttiamo la decomposizione dei vettori come somma sui versori:
~ = Axî + Ay ĵ + Az k̂,
A
~ = Bxî + By ĵ + Bz k̂
B
Troviamo
~×B
~ =
A
Axî + Ay ĵ + Az k̂ × Bxî + By ĵ + Bz k̂
= î(Ay Bz − Az By ) + ĵ(Az Bx − AxBz ) + k̂(AxBy − Ay Bx)
perché
î × î = 0,
ĵ × ĵ = 0,
k̂ · k̂ = 0
î × ĵ = k̂,
ĵ × k̂ = î,
k̂ × î = ĵ
Vettore in sistema di coordinate ruotato
Le coordinate di un vettore dipendono dal sistema di coordinate: se
ruotiamo o trasliamo il sistema di riferimento, le coordinate di tutti i
vettori cambiano seguendo una legge di trasformazione.
Scalari, Vettori, leggi fisiche, sistemi di coordinate
• Le leggi fisiche non possono dipendere dal sistema di coordinate!
• Il prodotto scalare di due vettori non dipende dal sistema di coordinate:
è invariante rispetto a rotazioni del sistema di coordinate.
• Una legge fisica espressa come relazione tra quantità vettoriali è
covariante: per esempio, nella legge di Newton F~ = m~a, entrambe i
membri si trasformano allo stesso modo
Spesso avremo a che fare con funzioni vettoriali: ad esempio, ~r(t),
posizioni di un punto al tempo t, equivalente a una terna di funzioni:
~r(t) = (x(t), y(t), z(t))
Esercizi
1. Dato il vettore (0,2,-1), determinare il vettore parallelo a (1,2,3) tale
che la somma dei due sia (1,4,2).
~ = (1.0m)ĵ − (4.0m)k̂ e
2. Consideriamo due vettori spostamento A
~ = −(3.0m)ĵ + (2.0m)k̂. Calcolare:
B
• il vettore spostamento totale;
• il vettore differenza;
• il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei due vettori.
3. Trovare l’area della superficie del triangolo di vertici A(1, 0, 0),
B(0, 2, 0), C(0, 0, 3).
√
√
4. Determinare l’angolo tra i due vettori (−2, −2 3, 0) e (2, −2 3, 0).
5. Individuare il versore della direzione nello spazio che forma angoli
uguali con gli assi coordinati.
Soluzioni
1. Il vettore generico parallelo a (1, 2, 3) è λ(1, 2, 3) = (λ, 2λ, 3λ). Imponiamo
(0, 2, −1) + λ(1, 2, 3) = (1, 4, 2). Troviamo tre equazioni: λ = 1; 2 + 2λ = 4;
−1 + 3λ = 2, che hanno soluzione per λ = 1. Il vettore cercato è quindi (1, 2, 3).
~ B
~ = −(2.0m)ĵ+(2.0m)k̂. Vettore differenza: A−
~
2. Vettore spostamento totale: A+
~ = (4.0m)ĵ−(6.0m)k̂. Prodotto scalare: A·
~ B
~ = −(3.0m2)−(8.0m2) = −11m2.
B
√
√
2
2
Questo è anche
uguale a |A||B|√cos θ. Dato che |A| = 1.0m + 16.0m√= √
17m
√
e |B| = 9.0m2 + 4.0m2 = 13m, ne consegue che cos θ = −11/ 13/ 17,
ovvero θ = 137.73◦.
~×B
~ = (2.0m2)ĵ × k̂ + (12.0m2)k̂ × ĵ = −10m2î. |A
~ × B|
~ =
Prodotto vettore: A
√
√
10m2 è anche uguale a |A||B| sin θ. Dato che sin θ = 0.6726725 = 10/ 13/ 17,
il valore di θ è consistente con il caso precedente.
3. Si sfrutta una proprietà del prodotto vettore: il suo modulo è uguale all’area del
parallelogramma formato dai due vettori, ovvero il doppio dell’area del triangolo
~ =B
~ −A
~ e Y
~ =C
~ − A:
~ l’area
formato dai due vettori. Considerate i vettori X
~ ×Y
~ |/2. Dato che X
~ = (−1, 2, 0),
della superficie del triangolo ABC è data da |X
~ = (−1, 0, 3), abbiamo X
~ ×Y
~ = (6, 3, 2) il cui modulo vale
Y
da cui il risultato: area del triangolo = 3.5.
√
62 + 32 + 22 = 7,
√
√
−2 3, 0) = −4 + 4 · 3 = 8.
4. I due vettori hanno prodotto scalare (−2,√
−2 3, 0) · (2,√
Quest’ultimo è anche uguale a |(−2,
3, 0)||(2, −2 3, 0)| cos θ. Il modulo dei
√ −2 p
due vettori è lo stesso: |(±2, −2 3, 0)| = (±2)2 + 22 · 3 = 4 da cui cos θ = 1/2
e θ = 60◦.
q
5. Scriviamo il generico versore come n̂ = (nx, ny , nz ), con n2x + n2y + n2z = 1. Il
prodotto scalare con i versori degli assi dà î · n̂ = nx = cos α, ĵ · n̂ = ny = cos β,
k̂ · n̂ = nz = cos γ, dove α, β, γ sono i tre angoli formati con i tre assi (secondo
la notazione tradizionale).
Dato che si richiede cos α = cos β = cos γ, si ha
√
nx = ny = nz = 1/ 3, corrispondente ad angoli α = β = γ = 54.73◦.