Chimica e Fisica generale per Biotecnologie
annuncio pubblicitario
Chimica e Fisica generale per Biotecnologie Modulo di Fisica Docente: Paolo Giannozzi Stanza L1-4-BE ai Rizzi, Tel.: 0432-558216 e-mail: [email protected] Ricevimento “ufficiale” Lunedı̀ 16:30-18:30 Orario: Giovedı̀ 10:30-12:30 e 14:30-15:30, Aula 3 Pagina web del corso: http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisI/fisI.html – Typeset by FoilTEX – Introduzione al corso • Programma. Introduzione: Unità di misura, vettori. Cinematica. Dinamica del punto materiale. Lavoro, energia cinetica, energia potenziale. Elementi di statica e dinamica di sistemi di particelle e del corpo rigido. Oscillazioni. Elementi di statica e dinamica dei fluidi. Elettrostatica: campo e potenziale elettrico. Circuiti in corrente continua. Introduzione al campo magnetico. Nella pagina web del corso è pubblicata una versione continuamente aggiornata della struttura dettagliata delle lezioni. • Testo. Serway e Jewett - Principi di Fisica vol. 1, ultima edizione, EdiSES (acquistabile on line su http://www.edises.it/, a 48Eur). Qualunque libro di testo di fisica generale va bene, purché contenga tutto il programma del corso. Introduzione al corso (2) • Esami. Prova scritta: esercizi molto semplici, qualche domanda di teoria. La valutazione finale è congiunta con il modulo di Chimica. Sono previste due sessioni in febbraio, una o due in luglio, una o due in settembre. Sulla pagina web sono disponibili scritti degli anni precedenti. • Consigli: – – – – – Cercare di capire i concetti, non di imparare a memoria le formule!! Procurarsi il libro di testo quanto prima Studiare regolarmente quanto svolto in classe Svolgere gli esercizi relativi Dare un’occhiata agli argomenti della lezione successiva A cosa serve la Fisica? La fisica studia i fenomeni che avvengono nel nostro mondo e ne fornisce una comprensione quantitativa • La fisica si basa su misure ed osservazioni sperimentali e sulla loro modellizzazione e analisi matematica. • La misura in fisica ha un ruolo centrale. Richiede una definizione precisa di – Cosa si misura – Come lo si misura – In che unità lo si misura • La fisica sviluppa teorie che spiegano i fenomeni sotto studio, permettono di predirne altri non ancora osservati Teoria ed Esperimento • Sono complementari: il fisico è soddisfatto quando la teoria spiega l’esperimento e l’esperimento conferma la teoria • Quando c’e’ una discrepanza fra teoria ed esperimento, è di solito necessario modificare la teoria La teoria potrebbe essere applicabile solo sotto determinate condizioni, o entro certi limiti. Esempio: la Meccanica Newtoniana funziona solo per oggetti che viaggiano a velocità piccole rispetto alla velocità della luce • Si può allora usare la discrepanza per sviluppare una teoria più generale Esempio: la Meccanica Relativistica funziona anche per oggetti che viaggiano a velocità comparabili con quella della luce Modelli in Fisica • Un modello un “sostituto” semplificato del problema reale che ci consente di risolvere il problema in un modo relativamente semplice • Un buon modello permette di fare predizioni sul comportamento del sistema • Un modello è valido finché le predizioni del modello sono in accordo con il comportamento reale del sistema Si possono definire vari tipi di modelli (vedere Cap.1.10): Geometrici, Semplificati, Analitici, Strutturali Il modello della Particella (o Punto Materiale) • Il modello della particella permette di sostituire un oggetto esteso (di dimensioni non nulle) con una particella che ha massa, ma ha dimensione nulla • Le due condizioni che permettono di usare il modello della particella sono: – La dimensione effettiva dell’oggetto non ha importanza ai fini dell’analisi del suo moto – Qualunque processo avvenga all’interno dell’oggetto non ha importanza ai fini dell’analisi del suo moto Grandezze Fisiche Standard: SI - Système International • E’ il sistema (quasi) universalmente usato nella scienza e nell’industria • Consiste in un sistema di definizioni e di standard che descrivono le quantità fisiche fondamentali Noto anche come MKSA, dalle unità di misura delle grandezze fondamentali: • Lunghezza misurata in Metri • Massa misurata in Kilogrammi • Tempo misurato in Secondi • Corrente elettrica misurata in Ampère Dell’importanza delle unità di misura... Tempo: secondo (s) • Storicamente definito come 1/86400 del giorno solare medio • Ora definito in termini della frequenza di oscillazione di una riga dell’atomo di Cesio • Qualche intervallo di tempo, approssimativo, in s: Età dell’Universo Dalla caduta dell’Impero Romano La vostra età Un anno Una lezione Tempo fra due battiti cardiaci Periodo tipico delle onde sonore Periodo tipico delle onde radio Periodo delle vibrazioni di un atomo in un solido Periodo delle onde elettromagnetiche nel visibile 5 × 1017 6 × 1010 6 × 108 3 × 107 5 × 103 1 1 × 10−3 1 × 10−6 1 × 10−13 2 × 10−15 Lunghezza: metro (m) Storicamente definito come 1/10000000 (10−7) della distanza fra il Polo Nord e l’Equatore, passando per Parigi. Ora definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un certo tempo. Massa: Kilogrammo (kg) • Storicamente definito come la massa di un particolare campione, uguale alla massa di un litro (10−3 m3) di acqua alla temperatura di densità massima (4C) e pressione atmosferica • Tuttora definito tramite un campione di massa conservato a Parigi NB: massa e peso non sono la stessa cosa!!! Quantità Derivate • Si possono esprimere come combinazione matematica di quantità fondamentali (in meccanica: Lunghezza, Massa, Tempo) • La Densità è un esempio di quantità derivata: è definita come massa per unità di volume m ρ= V Si misura in kg/m3 (o kg·m−3 se preferite) • Altri esempi: Velocità: Accelerazione: Forza: Energia: m/s m/s2 kg·m/s2 kg·m2/s2 Analisi Dimensionale • Tecnica per verificare la correttezza di un’equazione o per assistere nella derivazione di un’equazione. La dimensione ha un significato preciso: indica la natura fisica di una quantità • Le dimensioni sono indicate con parentesi quadre: Lunghezza – [L], Massa – [M ], Tempo – [T ] • Le dimensioni sono trattate come quantità algebriche: si possono moltiplicare e dividere, sommare e sottrarre, se uguali • Entrambe i lati di un’equazione devono avere le stesse dimensioni Limitazione: nessuna informazione sui fattori numerici Esempio di Analisi Dimensionale • Scriviamo le dimensioni dei due lati dell’equazione: 1 2 x = at 2 ⇒ [L] 2 [L] = · [T ] [T ]2 (le costanti numeriche non hanno dimensione) • I fattori [T ]2 si cancellano, la dimensione è [L] da entrambe i lati • L’equazione è dimensionalmente corretta • Equazioni dimensionalmente non corrette sono sicuramente sbagliate Conversione delle Unità • Le unità possono essere trattate come quantità algebriche • Includere sempre le unità per ogni quantità, portarsele dietro per tutto il calcolo! • Quando le unità non sono consistenti, può essere necessario convertire ad unità appropriate. In pratica: moltiplicare il valore originale per un rapporto (fattore di conversione) che vale 1 • Esempio: 10m/s=?? km/h 1km 10m/s 1000m 3600s 1h = 36km/h Notazione dei Numeri • Separazione fra unità e decimali: punto (.) • Numeri con molte cifre si scrivono in gruppi di tre cifre con un spazio in mezzo (niente virgole nè punti: solo spazi) • Esempi: 25 100 5.123 456 789 12 Notazione scientifica: prefissi • Corrispondono a potenze di 10 • Ogni prefisso ha un nome specifico • Ogni prefisso ha un’abbreviazione specifica • I prefissi possono essere usati con qualunque unità di base • Moltiplicano le unità Esempi: 1 mm = 10−3 m 1 mg = 10−3 g di base. Ordine di Grandezza • Approssimazione basata su qualche assunzione • Può essere necessario modificare le assunzioni se si desiderano risultati più precisi • L’ordine di grandezza è la potenza di 10 più vicina • Nei calcoli di ordini di grandezza, i risultati sono affidabili entro un fattore 10 Una volta risolto un problema, usate l’ordine di grandezza per verificare se la risposta trovata sembra ragionevole! Incertezza sulle Misure • Tutte le misure hanno un’incertezza, che si trasmette a tutti i calcoli • Serve una tecnica che tenga conto di tale incertezza • Useremo le regole per le cifre significative per approssimare l’incertezza nei risultati dei calcoli Cifre Significative • Una cifra è significativa se è nota in modo affidabile • Gli zeri possono essere o non essere significativi – Se usati per posizionare il punto decimale, non lo sono – In caso di ambiguità conviene usare la notazione scientifica • In una misura, le cifre significative si contano a partire dalla prima cifra stimata Cifre Significative (2) • 0.0075 m ha 2 cifre significative (gli zeri precedenti servono solo a posizionare il punto decimale) • 7.5 × 10−3 m ha 2 cifre significative (si può scrivere più chiaramente in notazione scientifica) • 10.0 m ha 3 cifre significative (il punto decimale qui dà informazioni sull’affidabilità della misura) • 1500 m è ambiguo: Usate 1.5 × 103 m per 2 cifre significative Usate 1.50 × 103 m per 3 cifre significative Usate 1.500 × 103 m per 4 cifre significative Operazioni con cifre significative • Se si multiplica o si divide, il numero di cifre significative nel risultato finale è lo stesso del numero di cifre significative nella quantità che ne ha il numero minore • Esempio: 25.57 m× 2.45 m = 62.6 m2 • Il valore 2.45 m limita il vostro risultato a 3 cifre significative • Se si somma o si sottrae, il numero di posti decimali nel risultato è uguale al numero più piccolo di posti decimali di ciascun termine • Esempio: 135 cm + 3.25 cm = 138 cm • Il valore 135 cm limita il vostro risultato al decimale delle unità Arrotondamento • L’ultima cifra a destra che teniamo è incrementata di 1 se la cifra seguente è 5 o maggiore di 5 • L’ultima cifra a destra che teniamo rimane com’è se la cifra seguente è minore di 5 • Conviene arrotondare soltanto il risultato finale e non i passaggi intermedi per evitare accumulazione di errori Sistemi di coordinate Servono a descrivere la posizione di una punto nello spazio. Un sistema di coordinate consiste in • Un punto fisso di riferimento chiamato origine • Degli assi specifici con scale ed etichette • Istruzioni su come individuare un punto rispetto all’origine e agli assi Sistema di coordinate cartesiane • Chiamato anche sistema cordinate rettangolari. di • Per il caso a due dimensioni (l’esempio qui accanto): – Gli assi x e y si incrociano nell’origine – I punti sono individuati da (x, y) In tre dimensioni, 3 coordinate (x, y, z) sono sufficienti per definire la posizione di una particella nello spazio Sistema di coordinate polari • Esempio bidimensionale (qui accanto): prendiamo un’origine e una linea di riferimento • Il punto è a distanza r dall’origine nella direzione dell’angolo θ, definito in senso antiorario dalla linea di riferimento • I punti sono definiti come (r, θ) Trasformazioni di coordinate • Da coordinate polari a cartesiane: Formiamo un triangolo retto con reθ: x = r cos θ y = r sin θ • Da coordinate cartesiane a polari: r è l’ipotenusa e θ un angolo y tan θ = x p r = x2 + y 2 Grandezze scalari e vettoriali • Grandezze scalari: sono completamente specificate da un numero in unità appropriate. — Volume, massa, intervalli di tempo, etc., sono scalari. • Grandezze vettoriali: sono specificate da modulo (o intensità), direzione, verso. — Spostamento, velocità, forze, etc., sono vettori. Esempio: vettore spostamento di un punto materiale da A a B. Il modulo è la distanza fra A e B (differisce dalla distanza percorsa!) Vettori ~ o anche A o A • Notazione: A ~ o semplicemente A • Modulo: |A| (sempre positivo!) • I vettori possono essere ”applicati” ad un punto • Tutti i vettori sovrapponibili con una traslazione sono equivalenti allo stesso vettore ”libero” Somma di Vettori Regola del parallelogramma per la somma di vettori Attenzione: somma vettoriale 6= somma dei moduli! ~ + (B ~ + C) ~ = (A ~ + B) ~ + C: ~ Vale la proprietà associativa A Somma di Vettori 2 Vettori con segno negativo: Somma di 4 vettori: In generale, se a è un numero, ~ = |a|A. |aA| Vettori in coordinate cartesiane ~=A ~x + A ~ y ≡ (Ax, Ay ), A Notare che Ax = A cos θ, Ay = A sin θ A2 = A2x + A2y Somma di vettori in coordinate cartesiane ~+B ~ ≡ (Ax + Bx, Ay + By ) A Versori (vettori di modulo unitario) ~ = (Ax, Ay , Az ) ≡ Axî + Ay ĵ + Az k̂ A Prodotto Scalare ~ eB ~ si indica come A ~·B ~ ed è dato Il prodotto scalare di due vettori A ~ e B. ~ E’ il ~·B ~ = AB cos θ, dove θ è l’angolo fra i due vettori A da A prodotto del modulo del primo vettore (A) per la proiezione del secondo vettore sul primo (B cos θ), o viceversa. Proprietà: ~ B ~ =B ~ · A; ~ (aA)·(b ~ ~ = (ab)(B ~ · A); ~ ~ B ~ + C) ~ = A· ~ B ~ + A· ~ C ~ • A· B) A·( • Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale al modulo del ~·A ~ = A2 vettore al quadrato: A • Sfruttiamo A = Axî + Ay ĵ + Az k̂ e B = Bxî + By ĵ + Bz k̂: troviamo ~·B ~ = AxBx + Ay By + Az Bz A perché î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1; î · ĵ = î · k̂ = ĵ · k̂ = 0 Prodotto Vettore Come Il possiamo prodotto formare vettore: un vettore da altri ~ =A ~×B ~ C è definito due come vettori? segue: ~ = AB sin θ, dove θ è l’angolo • |C| compreso fra i due vettori; ~ è un vettore perpendicolare al • C ~ e B; ~ piano formato da A ~ è determinato dalla • il verso di C regola della mano destra ~ ×A ~ = −A ~ × B, ~ e che A ~×A ~ = 0. In generale, il Da notare che B prodotto vettore di due vettori paralleli è nullo. Il modulo del prodotto ~ e B. ~ vettore è uguale alla superficie del parallelogramma formato da A Prodotto Vettore in coordinate cartesiane Sfruttiamo la decomposizione dei vettori come somma sui versori: ~ = Axî + Ay ĵ + Az k̂, A ~ = Bxî + By ĵ + Bz k̂ B Troviamo ~×B ~ = A Axî + Ay ĵ + Az k̂ × Bxî + By ĵ + Bz k̂ = î(Ay Bz − Az By ) + ĵ(Az Bx − AxBz ) + k̂(AxBy − Ay Bx) perché î × î = 0, ĵ × ĵ = 0, k̂ · k̂ = 0 î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ Vettore in sistema di coordinate ruotato Le coordinate di un vettore dipendono dal sistema di coordinate: se ruotiamo o trasliamo il sistema di riferimento, le coordinate di tutti i vettori cambiano seguendo una legge di trasformazione. Scalari, Vettori, leggi fisiche, sistemi di coordinate • Le leggi fisiche non possono dipendere dal sistema di coordinate! • Il prodotto scalare di due vettori non dipende dal sistema di coordinate: è invariante rispetto a rotazioni del sistema di coordinate. • Una legge fisica espressa come relazione tra quantità vettoriali è covariante: per esempio, nella legge di Newton F~ = m~a, entrambe i membri si trasformano allo stesso modo Spesso avremo a che fare con funzioni vettoriali: ad esempio, ~r(t), posizioni di un punto al tempo t, equivalente a una terna di funzioni: ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) Esercizi 1. Dato il vettore (0,2,-1), determinare il vettore parallelo a (1,2,3) tale che la somma dei due sia (1,4,2). ~ = (1.0m)ĵ − (4.0m)k̂ e 2. Consideriamo due vettori spostamento A ~ = −(3.0m)ĵ + (2.0m)k̂. Calcolare: B • il vettore spostamento totale; • il vettore differenza; • il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei due vettori. 3. Trovare l’area della superficie del triangolo di vertici A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3). √ √ 4. Determinare l’angolo tra i due vettori (−2, −2 3, 0) e (2, −2 3, 0). 5. Individuare il versore della direzione nello spazio che forma angoli uguali con gli assi coordinati. Soluzioni 1. Il vettore generico parallelo a (1, 2, 3) è λ(1, 2, 3) = (λ, 2λ, 3λ). Imponiamo (0, 2, −1) + λ(1, 2, 3) = (1, 4, 2). Troviamo tre equazioni: λ = 1; 2 + 2λ = 4; −1 + 3λ = 2, che hanno soluzione per λ = 1. Il vettore cercato è quindi (1, 2, 3). ~ B ~ = −(2.0m)ĵ+(2.0m)k̂. Vettore differenza: A− ~ 2. Vettore spostamento totale: A+ ~ = (4.0m)ĵ−(6.0m)k̂. Prodotto scalare: A· ~ B ~ = −(3.0m2)−(8.0m2) = −11m2. B √ √ 2 2 Questo è anche uguale a |A||B|√cos θ. Dato che |A| = 1.0m + 16.0m√= √ 17m √ e |B| = 9.0m2 + 4.0m2 = 13m, ne consegue che cos θ = −11/ 13/ 17, ovvero θ = 137.73◦. ~×B ~ = (2.0m2)ĵ × k̂ + (12.0m2)k̂ × ĵ = −10m2î. |A ~ × B| ~ = Prodotto vettore: A √ √ 10m2 è anche uguale a |A||B| sin θ. Dato che sin θ = 0.6726725 = 10/ 13/ 17, il valore di θ è consistente con il caso precedente. 3. Si sfrutta una proprietà del prodotto vettore: il suo modulo è uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori, ovvero il doppio dell’area del triangolo ~ =B ~ −A ~ e Y ~ =C ~ − A: ~ l’area formato dai due vettori. Considerate i vettori X ~ ×Y ~ |/2. Dato che X ~ = (−1, 2, 0), della superficie del triangolo ABC è data da |X ~ = (−1, 0, 3), abbiamo X ~ ×Y ~ = (6, 3, 2) il cui modulo vale Y da cui il risultato: area del triangolo = 3.5. √ 62 + 32 + 22 = 7, √ √ −2 3, 0) = −4 + 4 · 3 = 8. 4. I due vettori hanno prodotto scalare (−2,√ −2 3, 0) · (2,√ Quest’ultimo è anche uguale a |(−2, 3, 0)||(2, −2 3, 0)| cos θ. Il modulo dei √ −2 p due vettori è lo stesso: |(±2, −2 3, 0)| = (±2)2 + 22 · 3 = 4 da cui cos θ = 1/2 e θ = 60◦. q 5. Scriviamo il generico versore come n̂ = (nx, ny , nz ), con n2x + n2y + n2z = 1. Il prodotto scalare con i versori degli assi dà î · n̂ = nx = cos α, ĵ · n̂ = ny = cos β, k̂ · n̂ = nz = cos γ, dove α, β, γ sono i tre angoli formati con i tre assi (secondo la notazione tradizionale). Dato che si richiede cos α = cos β = cos γ, si ha √ nx = ny = nz = 1/ 3, corrispondente ad angoli α = β = γ = 54.73◦.
