05_Lenti

Laboratorio 2B
A.A. 2014/2015
5 – Fondamenti di Ottica
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


Formazione immagini
Superfici rifrangenti
Lenti sottili
Lenti spessi
Punti cardinali
Lab 2B – CdL Fisica
Ottica geometrica
 In ottica geometrica si analizza la formazione di immagini
assumendo che la luce si propaghi in modo rettilineo
(raggio: maniera comoda di descrivere il cammino seguito dall'onda luminosa e
cioè ortogonali ai fronti d'onda e diretti nel verso di propagazione)
 Quando, invece, gli effetti della diffrazione sono rilevanti, siamo
nel dominio dell'ottica fisica (ondulatoria): interferenza e
diffrazione.
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Formazione immagini
 Usando uno specchio o una lente per guardare un oggetto,
osserviamo un’immagine non l’oggetto reale !
 Formazione immagini: determinare il percorso di un raggio
luminoso che incontra specchi e/o lenti, ricorrendo alle leggi di
riflessione e rifrazione.
• Il cervello elabora l’informazione luminosa, ambiente circostante, memoria e costruisce
una «plausibile» immagine dell’oggetto e del contorno: talvolta SBAGLIA!
Esempio
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Miraggio
Superfici rifrangenti sferiche
La distanza dell’immagine i è
legata alla distanza
dell’oggetto o, al raggio di
curvatura r ed ai due indici
di rifrazione n1 e n2.
n1 n2 n2  n1
 
o i
r
Questa equazione, con
opportune convenzioni sui
segni, è in grado di
descrivere la traiettoria dei
raggi che attraversano i
mezzi rifrangenti (valida per
raggi parassiali).
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Derivazione equazione superfici
rifrangenti sferiche
Legge della rifrazione
n1 sin 1  n2 sin 2
Teorema dell’angolo esterno:
1     e   2  
Ipotesi raggi parassiali: n11  n2 2 da cui
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n1  n2   n2  n1  
s
s
s
in radianti   ,   ,  
o
r
i
n1 n2 n2  n1
 
o i
r
 s  arco av 
Convenzioni sui segni
Se la luce convergente che proviene dalla
superficie di separazione deve formare una
immagine reale, questa deve trovarsi dalla
parte opposta rispetto a quella da cui
proviene la luce (regione R). Le immagini
virtuali sono invece prodotte sullo stesso lato
(regione V).
Il raggio di curvatura è considerato positivo se il centro di curvatura C
è situato nella regione R (negativo se è in V). La distanza dall’oggetto
è positiva per oggetti reali (nella regione V) mentre la distanza
immagine è positiva per immagini reali (nella regione R).
Per gli specchi la situazione è diversa:
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Esercizio (dov’e’ il pesce ?)
Si consideri che il pesce, posto in una vasca di
raggio 15 cm, si trova sul piano equatoriale a 10
cm dalla superficie esterna. Essendo l’indice di
rifrazione dell’acqua n1=1.33, si determini la
posizione del pesce per un osservatore esterno
alla vasca (trascurare l’effetto di rifrazione del
vetro, supposto sottile).
Con riferimento alla figura, per la convenzione sui segni o è positivo,
(oggetto nella regione V rispetto alla superficie sferica), r è negativo
(perché C è nella stessa regione di V) quindi dalla relazione:
n2 n2  n1 n1 1  1.33 1.33 0.66  3.99

 


 0.111cm1
i
r
o 15 cm 10 cm
30 cm
i  9 cm
si ha:
Vale a dire che il pesce appare più vicino alla parete della vasca di
quanto non lo sia in realtà.
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Lenti sottili
Lente sottile: lo spessore della lente è piccolo se paragonato alla distanza
dell’oggetto o, a quella dell’immagine i e ai raggi di curvatura r1 e r2 delle
due superfici rifrangenti.
Tipi di lenti
P
Equazione delle lenti sottili (o del fabbricante di lenti)
1 1 1
 
o i f
1 1
1
con
  n  1   
f
 r1 r2 
ingrandimento
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i
m
o
Lenti sottili
La legge delle lenti sottili può essere riscritta in una forma più adatta
all’analisi dati, in presenza di numerose misure della distanza focale
1 1 1
 
p q f
p = distanza oggetto-lente
q = distanza immagine-lente
f = distanza focale
pq
1
pf
pq 
ovvero q 

1 1 p f
f

f p
p2
da cui p  q 
p f
Si può ricavare che in corrispondenza
del minimo pmin = 2f
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Lenti sottili: convenzioni sui segni
•(a)
1. r1 e r2 > 0 : se i corrispondenti centri
di curvatura si trovano nella regione
R (fig. a, r1 > 0 e r2 < 0). Lunghezza
focale f positiva (lente convergente).
2. o > 0 : se l’oggetto è reale e giace
nella regione V della lente (fig. a e
b).
3. i > 0 se l’immagine (reale) giace
nella regione R (fig. a e c).
4. m < 0 : se i ed o > 0 (fig. a immagine
capovolta)
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•(b)
•(c)
Lenti sottili
raggi paralleli
come tracciare i raggi
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Lenti Convergenti e Divergenti
Lenti Convergenti
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Lenti Divergenti
Lente sottile
prima interfaccia
n nL nL  n


s s"
R1
seconda interfaccia
nL n' n'nL
  
s" s '
R2
n n ' nL  n nL  n '
 

s s'
R1
R2
Lente sottile biconvessa: diagramma a raggi -1
Dritta
Virtuale
Ingrandita
I
O
f‘
f
n’
n
R1
R2
s
s’
n n ' nL  n n L  n ' n n '
P  

 
f f'
R1
R2
s s'
Lente sottile biconvessa: diagramma a raggi -2
R1
R2
Invertita
Reale
Ingrandita
O
f
‘
n
I
f
n’
s
n n ' nL  n n L  n ' n n '
P  

 
f f'
R1
R2
s s'
s’
Lente sottile biconcava: diagramma a raggi -3
O
I
Dritta
Virtuale
Ridotta
f‘
f
n’
n
s
R1
s’
R2
n n ' nL  n n L  n ' n n '
P  

 
f f'
R1
R2
s s'
Equazione di Newton per lenti sottili
1 1 1
 

o i f
R1
R2
1
1
1

 da cui
x  f x  f
f
xx '  f 2
m
f
x'

x
f
O
x
f
n
f‘
x’
n’
s
s’
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Sistemi ottici complessi
Lenti spesse, combinazioni di lenti, ...
Consideriamo il caso in cui t non sia trascurabile.
Vorremmo comunque mantenere la
relazione di Gauss tra oggetto e immagine.
n
n n'
P 
s s'
n’
t
nL
• Da dove misurare s, s’, f e f’ ?
• Come determinare la posizione di P ?
• Sviluppare un formalismo che può essere usato per tutti i sistemi
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Punti e Piani Principali
• I raggi incidenti ed emergenti si
incontrano in punti che definiscono
una superficie curva che può anche
non risiedere all’interno della lente.
• Il piano che approssima tale superficie
nella regione parassiale, è detto piano
principale (ne esistono due).
• I punti in cui i due piani principali
intersecano l’asse ottico sono detti
punti principali.
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Punti e Piani Cardinali:
Punti Focali (F) & Piani Principali (PP) – spazio n’
n
n’
nL
F
H2
2
ƒ’
PP2
Obiettivo: mantenere la definizione di punto focale ƒ’
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Punti e Piani Cardinali:
Punti Focali (F) & Piani Principali (PP) – spazio n
n
nL
n’
F1
H1
ƒ
PP1
Obiettivo: mantenere la definizione di punto focale ƒ
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Punti e Piani Cardinali:
Punti e Piani Nodali (N) – spazio n
n’
n
N1
N2
nL
NP1
NP2
Piani e Punti Cardinali
• Per una lente spessa in aria si definiscono quattro punti cardinali:
due punti focali e due punti principali.
• Gli ulteriori due punti cardinali, i punti nodali, coincidono con i
punti principali nel caso in cui l’indice di rifrazione è identico da
entrambi i lati della lente.
Esempi di posizionamento dei piani
principali per vari tipi di lenti
considerate spesse
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Utilità dei piani principali
Supponiamo che s, s’, f, f’ siano tutti misurati da H1 ed H2 …
n
h
nL
n’
F1
F2
H1
H2
ƒ’
ƒ
s
s’
PP1 PP2
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h’
Per una lente spessa, in aria, si definiscono quattro punti cardinali:
due punti focali e due punti principali.
Combinazioni di lenti (sottili)
• Una combinazione di due o più lenti sottili può essere trattata
come una “lente spessa” (purchè spazio immagine e spazio
oggetto abbiano lo stesso indice di rifrazione).
• Cioè il suo comportamento sarà descritto in termini dei punti
focali e dei punti principali della “lente spessa”.
• Rammentare che, ovunque cadano i piani principali (dentro o fuori il sistema di
lenti), le lunghezze focali misurate da essi sono eguali.
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Equazione per una lente spessa
• Per una lente di spessore dl non trascurabile vale
1 1 1
ancora una relazione gaussiana tra i punti coniugati,
 
purchè le distanze “oggetto” e “immagine” siano
so si f
misurate dal primo e dal secondo piano principale.
• La lunghezza focale “effettiva”, sempre rispetto ai piani principali, è
1 1 1
 
data da
s s
f
 1 1  nl  1 dl 
1
  nl  1   

f
R
R
n
R
R
2
l 1 2 
 1
o
i
• I piani principali sono posizionati a distanze V1H1=h1 e V2H2=h2, che sono positive
quando i piani giacciono alla destra dei loro rispettivi vertici.
f  nl  1 dl
h1  
R2 nl
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f  nl  1 dl
h2  
R1nl
Lente spessa - esempio
Calcolare la distanza imagine per un oggetto posizionato a 30 cm dal
vertice di una lente biconvessa avente raggi di curvatura pari a 20 cm
e 40 cm, spessore di 1 cm e indice di rifrazione 1.5.
1  1n1l  1 dl 
La lunghezza focale 1  1.5  11 1 n  11 1 1.5



  l 
  f  26.8 cm
(in cm) è data da
R20
R2 
f 1  1  1 f  20 40 R1.5
40

1
2  n
l R1
s s
f
o
inoltre
i
26.8  0.5 1
26.8  0.5 1
h1  
 0.22 cm h2  
 0.44 cm
40 1.5 
20 1.5 
quindi
so  30  0.22  30.2 cm
1
1
1
 
30.2 si 26.8
si  238 cm da H 2
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