1 PRELIMINARI

1
1.1
PRELIMINARI
NOTAZIONI
• ∅ denota l’insieme vuoto.
• a ∈ A si legge “a appartiene a A” oppure “a è elemento di A”.
• B ⊆ A si legge “B è un sottoinsieme di A” e significa che ogni elemento di B è anche elemento di A;
B ⊆ A include il caso in cui A = B.
• B ⊂ A si legge “B è un sottoinsieme proprio di A” e significa che ogni elemento di B è elemento di A
e inoltre almeno un elemento di A non è elemento di B.
• “:” si legge “tale che”.
• A ∪ B si legge “A unione B”;
A ∪ B = {a : a ∈ A oppure a ∈ B} .
A ∪ B è costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B.
• A ∩ B si legge “A intersezione B”;
A ∩ B = {a : a ∈ A e a ∈ B} .
A ∩ B è costituito dagli elementi che appartengo sia ad A che a B.
• A \ B si legge “A meno B”;
A \ B = {a : a ∈ A e a ∈
/ B} .
L’insieme A \ B è costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.
• Ac è detto “insieme complementare” di A;
Ac = {a : a ∈
/ A} .
L’insieme Ac è costituito da tutti gli elementi che non appartengono ad A.
• A × B è detto “prodotto cartesiano” di A e B;
A × B = {(a, b) : a ∈ A , b ∈ B} .
Se a 6= b, allora (a, b) 6= (b, a): quindi l’insieme A × B è, in generale, diverso dall’insieme B × A.
1
• La freccia “⇒” significa “implica”. Per esempio: se A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
• La freccia “⇔” significa “se e solo se”. Per esempio |x| = 0 ⇔ x = 0
• “∀” significa “per ogni”. Per esempio “x2 ≥ 0 ∀x ∈ R” si legge “x al quadrato è non negativo per ogni
x appartenete ai numeri reali.
1.2
INSIEMI NUMERICI
Utilizzeremo le seguenti notazioni.
N numeri naturali
N = {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . , } .
Z numeri interi
Z = {. . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . ., n, . . . , } .
Q numeri razionali
Q=
nm
n
o
, m, n ∈ Z, n 6= 0 .
Proposizione 1.1 Tra due numeri razionali esiste sempre un altro numero razionale.
Dimostrazione. Siano p, q ∈ Q con p < q. Sia r =
p+q
2 ,
allora r ∈ Q e p < r < q.
⊔
⊓
• Si osservi che dalla proposizione precedente segue che tra due numeri razionali esistono infiniti numeri
razionali.
Proposizione 1.2 I numeri razionali ammettono sempre una rappresentazione decimale finita o periodica.
Esempio 1.3 Per esempio
89
= 57, 8. Infatti:
5
50 + 35 + 4
50 + 35 + 4
4
40
89
=
=
= 5 · 10 + 7 + = 5 · 10 + 7 +
· 10−1 = 5 · 10 + 7 + 8 · 10−1 = 57, 8
5
5
5
5
5
2
Esempio 1.4 Per esempio
29
= 9, 666666666666 · · ·. Infatti:
3
27 + 2
27 2
20
18 + 2
2
29
=
=
+ =9+
· 10−1 = 9 +
· 10−1 = 9 + 6 · 10−1 + · 10−1
3
3
3
3
3
3
3
2
2
= 9 + 6 · 10−1 + 6 · 10−2 + · 10−2 = 9 + 6 · 10−1 + 6 · 10−2 + · 10−2 + · · ·
3
3
∞
X
=9+
6 · 10−k = 9, 666666666666 · · ·
k=1
Si può dimostrare che non esiste alcun numero razionale x tale x2 = 2. Affinchè l’equazione x2 = 2
ammetta soluzione occorre considerare l’insieme dei numeri reali. I numeri reali R sono tutti gli allineamenti
decimali, finiti e infiniti.
Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali. Un numero reale è un qualsiasi allineamento decimale,
finito o infinito, periodico o non periodico.
• Valgono le seguenti inclusioni:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
• Gli elementi di R \ Q sono detti numeri irrazionali.
• Utilizzeremo la notazione R+ = {x ∈ R : x > 0} .
Proposizione 1.5 (Densità di Q in R). Dati a, b ∈ R con a < b, esiste q ∈ Q tale che a < q < b.
• Approssimazione dei numeri reali mediante i numeri razionali. Dalla precedente proposizione
segue che un qualsiasi numero reale può essere approssimato con una successione di numeri razionali.
Nel senso seguente. Sia α ∈ R. Ad ogni numero intero positivo n ∈ N \ {0}, possiamo associare un
razionale qn compreso tra a ed a + n1 , in formule α < qn < α + n1 .
Osserviamo che il numero
1
n
diventa sempre più piccolo al crescere di n, quindi qn si avvicina sempre
più ad α al crescere di di n. Si scrive anche
lim qn = x
n→+∞
e si legge limite per n che tende all’infinito di qn uguale ad α.
√
√
Quando usiamo una calcolatrice per determinare 2 otteniamo 1.4142135 che non è esattamente 2,
√
ma è un numero razionale (infatti ha un numero finito di cifre dopo la virgola) che approssima 2.
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1.3
SOMMA, PRODOTTO E ORDINAMENTO IN R
Indichiamo con + la somma e con · il prodotto tra numeri reali. Allora valgono le seguenti proprietà.
(I) a + b = b + a
∀ a, b ∈ R (proprietà commutativa).
∀ a, b, c ∈ R (proprietà associativa).
(II) (a + b) + c = a + (b + c)
(III) ∃ 0 ∈ R : a + 0 = a
(IV) ∀ a ∈ R
∀ a ∈ R (elemento neutro per la somma).
∃ − a ∈ R : a + (−a) = 0 (elemento inverso per la somma).
(I’) a · b = b · a
∀ a, b ∈ R (proprietà commutativa).
(II’) (a · b) · c = a · (b · c)
∀ a, b, c ∈ R (proprietà associativa).
(III’) ∃ 1 ∈ R
1 6= 0 : a · 1 = a
(IV’) ∀ a ∈ R
∃a−1 ∈ R : a · a−1 = 1 (elemento inverso per il prodotto).
(V) (a + b) · c = a · c + b · c
∀ a ∈ R (elemento neutro per il prodotto).
∀ a, b, c ∈ R (proprietà distributiva).
• In R sottrazione e divisione sono definite rispettivamente mediante
a − b = a + (−b)
e
a
= a · b−1 .
b
• Se ci limitiamo all’insieme dei numeri naturali N, allora non valgono (IV) e (IV’). Se ci limitiamo
all’insieme dei numeri interi relativi Z, allora non vale (IV’). L’insieme dei numeri razionali Q soddisfa
tutte le proprietà sopra elencate.
• Spesso il simbolo “·” utilizzato per indicare il prodotto viene omesso.
Definizione 1.6 Sia A un insieme. Chiamiamo ordinamento in A una relazione “<” sugli elementi di A
tale che
(i) se x, y ∈ A, allora vale una e una sola tra le tre relazioni
x < y,
x = y,
y < x;
(ii) se x, y, z ∈ A, x < y e y < z, allora x < z (proprietà transitiva).
Un insieme munito di un ordinamento è detto insieme ordinato. La relazione < è detta relazione
d’ordine sugli elementi di A.
L’insieme dei numeri reali munito dell’usuale relazione d’ordine “<” è un insieme ordinato.
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• L’insieme dei numeri reali munito dell’usuale relazione d’ordine “<” è un insieme ordinato.
• Retta reale. Consideriamo una retta r e fissiamo un punto indicato con 0 e chiamato origine della
retta. Facciamo corrispondere al punto 0 l’elemento neutro “zero” rispetto alla sommae fissiamo una
unità di misura, cioè a destra di 0 fissiamo la posizione del numero 1. I numeri reali possono essere posti
in corrispondenza biunivoca con i punti della retta r , in modo che ad ogni numero reale corrisponda
un punto di r e viceversa ad ogni punto di r corrisponda un numero reale. Come è consuetudine a
destra di 0 ci sono tutti i numeri reali positivi e a sinistra ci sono tutti i numeri negativi. In questo
modo otteniamo una rappresentazione geometrica dei numeri reali.
Valgono le seguenti proprietà:
(i) se x < y, allora x + z < y + z
∀z ∈ R;
(ii) se 0 < x e 0 < y, allora 0 < x · y;
(iii) se x < y e c > 0, allora c · x < c · y;
(v) se x < y e c < 0, allora c · y < c · x;
(vi) se x < 0 e y < 0, allora x · y > 0;
(vii) se x < 0 e y > 0, allora x · y < 0;
(viii) se x > 0 e y > 0, allora x · y > 0;
Esercizio 1.7 Risolvere la disequazione 5 − 2x < 0 evidenziando le proprietà algebriche utilizzate.
Per (i): 5 − 2x + 2x < 0 + 2x. Per (III) e (IV): 5 < 2x. Per (iii): 2−1 · 5 < 2−1 · 2x. Per (II’), (III’) e
(IV’): 2−1 · 5 < x. Risultato: x > 25 .
• Ovviamente non è necessario scrivere tutti questi passaggi quando si risolve una disequazione, ma è
indispensabile essere consapevoli delle proprietà algebriche implicitamente utilizzate.
5
1.4
INTERVALLI REALI
Definizione 1.8 Siano a, b ∈ R con a < b. I seguenti insiemi si dicono intervalli reali.
(a, b)
= {x ∈ R : a < x < b} ;
[a, b)
= {x ∈ R : a ≤ x < b} ;
(a, b]
= {x ∈ R : a < x ≤ b} ;
[a, b]
= {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ;
(−∞, b)
= {x ∈ R : x < b} ;
(−∞, b]
= {x ∈ R : x ≤ b} ;
(a, +∞)
= {x ∈ R : a < x} ;
[a, +∞)
= {x ∈ R : a ≤ x} ;
(−∞, +∞) = {x ∈ R : −∞ < x < +∞} = R.
• Si dicono aperti i seguenti intervalli: (a, b); (−∞, b); (a, +∞).
• Si dicono chiusi i seguenti intervalli: [a, b]; [a, +∞); (−∞, b].
• L’intervallo (a, b] si dice aperto a sinistra e chiuso a destra.
• L’intervallo [a, b) si dice chiuso a sinistra e aperto a destra.
1.5
POTENZE E RADICI REALI
Proposizione 1.9 (Esistenza della radice reale n-esima) Dati y ∈ R+ e n ∈ N \ {0}, esiste un unico
√
x ∈ R+ tale che xn = y. Tale numero si indica con y 1/n oppure con n y ed è chiamato radice n-esima di y.
• Si osservi che
√
n y è la soluzione non negativa dell’equazione (con incognita x) xn = y.
6
Esempio 1.10 Sia y = 16 e n = 4, allora la radice n-esima di y è x = 2. Infatti 24 = 16. La radice quarta
√
di 16 è 4 16 = 2, mentre le soluzioni reali dell’equazione x4 = 16 sono due: x = 2 e x = −2.
Definizione 1.11 (Potenze con esponente intero). Siano a ∈ R+ e k ∈ Z. La potenza ak è il numero
reale
k volte
a
k
=
a
k
=
ak
=
z }| {
a...a
se
1
a
k>0
se k = 0
−1 −k
se
k < 0.
Definizione 1.12 (Potenze con esponente razionale). Siano a ∈ R+ , q =
m
n,
con m ∈ Z e n ∈ N \ {0}.
Definiamo
aq = (am )1/n .
• La radice quadrata viene usualmente indicata con
√
y.
Nella definizione seguente anticipiamo la nozione di limite che verrà introdotta in seguito.
Definizione 1.13 Potenze con esponente reale. Siano x ∈ R e a ∈ R+ . Sia qn una successione di
numeri razionali tale che
lim qn = x. La potenza ax è il numero reale
n→+∞
ax = lim aqn .
n→+∞
1.6
DISTANZA EUCLIDEA
Definizione 1.14 Sia E un insieme. Una applicazione
d : E × E −→ R+ ∪ {0}
è detta distanza se gode delle seguenti proprietà
(i) d(x, y) = d(y, x)
∀x y ∈ E (proprietà simmetrica);
(ii) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
∀x y z ∈ E (disuguaglianza triangolare).
7
Definizione 1.15 Sia a ∈ R. Si chiama modulo o valore assoluto di a il numero non negativo definito
da:

 a
|a| =
 −a
• Si osservi che |x| =
√
x2
se
a≥0
se
a < 0.
∀x ∈ R.
Proposizione 1.16 Valgono le seguenti proprietà
(1) |a| ≥ 0
∀a ∈ R;
(2) |a| = 0 ⇐⇒ a = 0;
(3) |ab| = |a||b|
∀a, b ∈ R;
(4) |a + b| ≤ |a| + |b|
∀a, b ∈ R (disuguaglianza triangolare).
• Dalla definizione segue che, per a > 0, abbiamo
|x| ≤ a
⇔
−a ≤ x ≤ a
e
|x| ≥ a
⇔
x ≤ −a
oppure x ≥ a.
Esercizio 1.17 Risolvere la disequazione |1 − 2x| ≤ 4. Abbiamo
|1−2x| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ 1−2x ≤ 4 ⇔ −4−1 ≤ 1−2x−1 ≤ 4−1 ⇔ −5 ≤ 2x ≤ 3 ⇔ −
2x
3
5
3
5
≤
≤ ⇔− ≤x≤ .
2
2
2
2
2
Corollario 1.18 L’applicazione
d : E × E −→ R+ ∪ {0}
definita da
d(x, y) = |x − y|
∀x, y ∈ R
è una distanza su R ed è detta distanza euclidea.
Dimostrazione. Per dimostrare il Corollario occorre verificare le proprietà (i), (ii) e (iii) della Definizione 1.14.
La (i) segue dalla (2) della Proposizione 1.16. Per verificare la proprietà simmetrica si osservi che dalla
Definizione 1.15 segue che
|x| = | − x| ∀x ∈ R;
8
in particolare
d(x, y) = |x − y| = |y − x| = d(y, x)
∀x, y ∈ R.
È facile verificare che la (iii) della Definizione 1.14 e la (4) della Proposizione 1.16 sono equivalenti. In
particolare applicando la (iii) della Definizione 1.14, con a = x − z e b = z − y, si ottiene
d(x, y) = |x − y| = |x − z + z − y| ≤ |x − z| + |z − y| = d(x, z) + d(y, z).
⊔
⊓
• Dati due punti A = (a1 , a2 ) e B = (b1 , b2 ) del piano cartesiano R2 = R × R, poniamo
d(A, B) =
q
q
a21 − b21 + a22 − b22 .
È facile verificare che l’applicazione cosı̀ definita gode delle proprietà (i), (ii) e (iii) della Definizione 1.14.
Essa è chiamata distanza euclidea in R2 . Analogamente si definisce la distanza euclidea in Rn .
9