SCIENZE: Compiti delle vacanze – Estate 2013
Classe IIa
Per agevolare lo svolgimento degli esercizi ho realizzato questa breve dispensa che, se ben
utilizzata, ti permetterà di “ripassare” gli argomenti svolti durante l’anno, che qui di seguito riporto:
Grandezze vettoriali e operazioni tra vettori........................................................................................2
L’equilibrio rispetto alla traslazione ..................................................................................................10
Il piano inclinato ................................................................................................................................13
Ogni capitolo inizia con dei cenni di teoria dove vengono anche riportate le principali formule
necessarie per la risoluzione degli esercizi e prosegue con esercizi di esempio che vanno comunque
letti e capiti seguendo attentamente la soluzione proposta.
Infine seguono esercizi da svolgere in autonomia!
Ti auguro di trascorrere una bella vacanza: divertente, riposante e ricca
d’esperienze.
Arrivederci a settembre!
P.A. Bonaiti
1
Grandezze vettoriali e operazioni tra vettori
Alcune grandezze (e tra queste le forze) per essere completamente definite hanno bisogno, oltre che
di un numero che definisce la loro “intensità”, anche di vedere specificate la loro direzione ed il
verso: queste prendono il nome di grandezze vettoriali.
Per descrivere queste grandezze utilizziamo i vettori, cioè dei segmenti orientati la cui lunghezza
fornisce, rispetto ad una scala, l’intensità (o modulo) della grandezza rappresentata.
La lunghezza è il modulo del vettore e viene rappresentata con il simbolo solito, il vettore viene
invece rappresentato sovrapponendo una freccia allo stesso simbolo.
F= modulo
F vettore
Operazioni tra vettori
Le operazioni tra vettori seguono regole particolari; ad esempio fare la somma di due vettori
significa trovare il vettore risultante, cioè quel vettore che rappresenta l’effetto complessivo dei
due vettori di partenza e può quindi essere sostituito ad essi.
Somma di vettori con la stessa direzione
1. Forze uguali e di verso contrario: la risultante è uguale a zero!
2. Forze con lo stesso verso: risultante con lo stesso verso e modulo dato dalla somma dei
moduli.
3. Forze con verso opposto: risultante con lo stesso verso della forza con modulo maggiore e
modulo dato dalla differenza dei moduli.
ESEMPIO 1: Esegui graficamente la somma vettoriale (risultante) delle coppie di vettori
rappresentati in figura; determina il modulo nell’ipotesi che ad un quadratino corrispondano 5 N.
a
a=20 N
b=20 N
R=a-b=0
b
c
c=20 N
e=45 N
R=c+d=65 N
d=15 N
e=30 N
R=e-d=15 N
d
e
R
d
R
Somma di vettori con direzione qualsiasi: regola del parallelogramma e del
poligono
Quando i vettori da sommare hanno direzione qualsiasi, per calcolare l’intensità e la direzione della
risultante dobbiamo utilizzare il metodo grafico del parallelogramma
Si applicano i due vettori allo stesso punto, e dalla punta di ciascuno di essi si traccia la semiretta
parallela all’altro vettore, ottenendo così un parallelogramma. La diagonale di questo che parte
dal punto di applicazione dei vettori rappresenta la risultante.
2
Quando i vettori da sommare sono più di uno
si può utilizzare più volte la regola del
parallelogramma, oppure più semplicemente
la regola del poligono.
Questa consiste nel disegnare i vettori
consecutivamente uno dopo l’altro, facendo
coincidere la punta del primo con il punto
d’applicazione di quello successivo, e così via…. La risultante sarà il vettore con punto
d’applicazione coincidente con quello del primo e punta dell’ultimo!
ESEMPIO 2: Dati i vettori a e b della figura, disegna il loro vettore somma a b e trova il loro
modulo, nell’ipotesi
che ad un quadratino corrispondano 7 N
b
a
R ab
R a b
a=42 N
b=56 N
R a 2 b 2 42 2 56 2 1764 3136
4900 70 N
L’intensità (o modulo) del vettore risultante è pari a 70 N.
Prodotto di un vettore per un numero
La risultante è un vettore che ha modulo dato dal prodotto del numero per il modulo del vettore,
stessa direzione e verso se il numero è positivo; stessa direzione e verso opposto se il numero è
negativo.
ESEMPIO 3: Partendo dal vettore a rappresentato in figura, disegnare i vettori: a ; 3a ;
a
a
3a
Vettore opposto e differenza di vettori
Il vettore opposto ad un vettore a è un vettore che ha lo stesso modulo, stessa direzione, ma verso
opposto, e viene indicato con a , e per definizione, sommato con a dà un vettore nullo.
Quindi:
3
a (a ) a a 0
L’uguaglianza, letta da destra verso sinistra, costituisce la definizione di differenza di vettori:
la differenza di due vettori a e b è uguale alla somma del primo con l’inverso del secondo.
a b a ( b )
ESEMPIO 4: Esegui graficamente la differenza della coppia di vettori a - b , e la differenza della
coppia c - d rappresentati in figura:
b
d
d
b
a
c d
a b
c
Componenti di un vettore lungo 2 direzioni perpendicolari
Scomporre il vettore lungo due direzioni significa trovarne le 2
componenti lungo le direzioni assegnate. Il solo caso utile si ha
quando le due direzioni sono perpendicolari: in questo caso la
somma delle componenti fornisce il vettore iniziale.
Le due componenti costituiscono il lato di un triangolo
rettangolo; se ne deduce che conoscendole si può determinare
l’intensità della risultante applicando il teorema di Pitagora.
F Fx Fy
F Fx2 Fy2
Un vettore può essere espresso in forma analitica attraverso la
“scomposizione” nelle sue due componenti lungo gli assi x ed
y. La punta del vettore individua un punto le cui coordinate
rispetto al punto di applicazione corrispondono alle
componenti x ed y del vettore stesso.
Una coordinata positiva indica una componente diretta nel
verso dell’asse; una negativa nel verso opposto.
analitica:
a 7u x 3u y
x
Ad esempio il vettore rappresentato in figura espresso in forma
4
ESEMPIO 5: Esprimere in forma analitica i 3 vettori rappresentati in figura.
y
c
a 2u x 4u y
b 6u x 3u y
c 7u x 2u y
b
a
x
Ciò facilita le operazioni con i vettori, ad esempio, per quanto riguarda la somma di due vettori,
conoscendone le componenti, si nota che la risultante ha per componenti la somma delle
componenti lungo le due direzioni, cioè:
la somma di due o più vettori è un vettore le cui componenti x e y sono rispettivamente date dalla
somma delle componenti x e y dei vettori iniziali; la differenza di due o più vettori è un vettore le
cui componenti x e y sono rispettivamente date dalla differenza delle componenti x e y dei vettori
iniziali.
Ad esempio, se voglio eseguire in forma analitica la somma dei due vettori
a 4u x 6u y
b 12u x 2u y
c a b (4 12)u x (6 2)u y 16u x 8u y
ESEMPIO 6: Esegui in forma grafica (dopo averli disegnati) ed analitica la somma dei due vettori
a 4u x 5u y b 3u x 3u y
y
a 4u x 5u y
b 3u x 3u y
a b ( 4 3)u x (5 3)u y
7u x 2u y
a
a b
b
2u y
7u x
x
5
ESERCIZI DA SVOLGERE:
1)
Per ogni coppia di vettori rappresentati in figura disegna la risultante (somma vettoriale) e
determina il modulo nell’ipotesi che ad un quadratino corrispondano 5 N.
b
a
d
N.B.: I due
vettori
hanno lo
stesso punto
d’applicazio
ne!!
2)
e
c
d
a
b
s
Dati i vettori e della figura, disegna il vettore somma a b e trovane il modulo,
assumendo come unità di misura la lunghezza di un quadretto, pari a 2 N.
b
a
3)
Partendo dal vettore a rappresentato in figura, disegna i vettori: a ; 3a e determinane il
modulo nell’ipotesi che 1 cm = 10 N
a
a
3a
6
4)
Disegna la somma delle due coppie di vettori rappresentati in figura:
b
d
a
c
5)
Disegna la differenza delle coppie di vettori a b e c d rappresentati in figura:
b
d
a
c
6)
Scrivi in forma analitica i 3 vettori rappresentati in figura.
y
c
b
a
7)
8)
x
Disegna i due vettori a 4u x 5u y
b 6u x 2u y partendo dallo stesso punto di
applicazione. Disegna poi il vettore risultante s a b e scrivilo in forma analitica.
Determina la risultante di 3 forze, rispettivamente di 12 N orizzontale e rivolta verso destra, di
5 N verticale e rivolta verso l’alto, e di 8 N orizzontale e rivolta verso sinistra.
7
9)
Utilizzando il metodo del “poligono funicolare”, disegna la risultante dei vettori a 6u x 2u y
b 2u x 4u y
c 6u x
d 2u x 3u y
e 7u y
f 12u x 3u y
Esegui poi la somma vettoriale (risultante) in modo analitico e confronta i risultati ottenuti.
10) Determina analiticamente e disegna la somma dei due vettori a b , dove a 6u x 2u y ;
b 2u x 5u y . Calcola poi il modulo (o intensità) del vettore risultante.
8
9
L’equilibrio rispetto alla traslazione
Per studiare l’equilibrio di un corpo rispetto alla traslazione è utile identificarlo con un punto
materiale, che coincide con il baricentro del corpo, cioè il punto in cui si può immaginare
concentrata tuta la massa del corpo.
Tutti i corpi che ci circondano sono sottoposti a vincoli che ne limitano la libertà di movimento,
come le rotaie per un treno, i cardini per una porta (può ruotare ma non traslare), il pavimento per
una pallina (può rotolare ma non cadere di sotto).
I vincoli producono delle forze, dette reazioni vincolari, che, insieme alla forza di gravità (peso) e
ad eventuali forze “esterne” applicate al corpo, determinano l’equilibrio dei corpi.
Ricapitolando, ad un corpo in equilibrio sono applicate le seguenti forze:
forza di gravità (forza peso)
reazioni vincolari
forze “esterne” (eventuali)
La condizione affinché un punto materiale rimanga in equilibrio statico (cioè sia fermo e continui a
restare fermo) rispetto alla traslazione è che la somma vettoriale delle forze ad esso applicate sia
uguale a zero.
F1 F2 F3 ..... Fn 0
Approfondiamo il meccanismo con il quale i vincoli generano le forze di reazione, chiamate come
detto reazioni vincolari.
Innanzitutto va detto che la reazione sviluppata da un vincolo non ha sempre la stessa intensità, ma
varia in relazione a quanto è sollecitato; tale reazione aumenta con la forza che lo sollecita, fino a
un valore massimo oltre il quale c’è la rottura.
Ciò è dovuto al fato che ogni corpo (vincolo), quando è sollecitato, cerca d riportarsi nel suo stato
normale, sviluppando delle forze che si oppongono alla deformazione, sono quindi dirette in
direzione opposta alla deformazione; queste forze sono appunto le reazioni vincolari.
Esempio:. Libri appoggiati ad uno scaffale.
ESEMPIO 1: I cilindretti della figura sono in equilibrio sotto l’azione di due dinamometri, inclinati
l’uno rispetto all’altro di 120°, e che indicano la stessa forza di 1,2 N. Qual è il peso complessivo
dei cilindretti?
Soluzione:
Il sistema peso – dinamometri si trova per
ipotesi in equilibrio statico; in particolare il
nodo centrale al quale sono appesi i cilindretti si
trova in equilibrio. Questo è sottoposto alle
seguenti forze:
1. Peso dei cilindretti (incognita)
2. Forze sviluppate dai dinamometri
(uguali tra loro ed in direzione opposta
10
all’allungamento del dinamometro)
Per essere in equilibrio il sistema, la risultante delle forze sviluppate dai dinamometri deve essere
equilibrata dalla forza peso dei cilindretti.
Le due forze F1 ed F2, essendo inclinate di 60°, formano tra loro un angolo di 120°, quindi la
diagonale del parallelogramma che ha per lati le due forze lo divide in due triangoli equilateri, e la
risultante delle due forze coincide con uno dei lati, quindi ha la stessa lunghezza, cioè la stessa
intensità.
P = F = 1,2 N
ESEMPIO 2: Il dinamometro indica una forza di 1,8 N, ed il cilindro pesa 3,1 N. Che forza deve
sviluppare la cordicella, tendendosi, per mantenere il cilindro nella posizione di equilibrio?
Soluzione:
La cordicella, sottoposta alla forza peso del cilindro e
alla forza di richiamo dei dinamometri, si deforma
allungandosi, e produce quindi a sua volta una forza di
richiamo che cerca di riportarla nella situazione iniziale,
quindi diretta verso il gancio che la vincola a terra.
Indicando con T la tensione della corda, affinché il sistema permanga in equilibrio, questa deve
essere equilibrata dalla risultante delle forze F e P . Queste due sono ortogonali tra di loro, quindi
il modulo della loro risultante può essere trovato applicando il teorema di Pitagora.
T R F 2 P 2 1,8 2 3,12 12,85 N 2 3,6 N
ESERCIZI DA SVOLGERE:
11) Le due persone di destra esercitano un “tiro” nella fune rispettivamente di 30 N (b) e 40 N (c).
Se l’angolo = 90°, quale forza deve esercitare l’uomo di sinistra (a) per contrastare i due di
destra e mantenere così il sistema in equilibrio?
(b)
(a))
(
(c)
11
12) Due cavi, che formano con la direzione orizzontale un angolo di 45° sono tesi con una forza di
49,5 N ciascuno e sostengono un’insegna pubblicitaria. Determinare il peso dell’insegna.
13) I cilindretti della figura sono in equilibrio sotto l’azione di due dinamometri, inclinati l’uno
rispetto all’altro di 120°, e che indicano la stessa forza di 35 N. Qual è il peso complessivo dei
cilindretti?
14) Il dinamometro indica una forza di 60 N, ed il cilindro pesa 80 N. Che forza deve sviluppare il
cavo, tendendosi, per mantenere il cilindro nella posizione di equilibrio?
12
Il piano inclinato
Spingere un oggetto su un
piano inclinato è meno
faticoso che sollevarlo
direttamente, e la fatica
diminuisce al diminuire
dell’inclinazione del piano,
vediamo il perché
analizzando le forze che
sono in gioco.
Come sappiamo la forza peso dell’oggetto, cioè il suo peso P , è diretto verticalmente verso il basso
(cioè perpendicolarmente alla superficie terrestre); scomponiamola in due componenti P1 diretta
perpendicolarmente al piano e P2 diretta parallelamente al piano. La componente P1 è neutralizzata
dalla reazione vincolare del piano (vincolo di appoggio) R , altrimenti l’oggetto sprofonderebbe nel
piano inclinato! La componente P2 invece resta attiva, ed è quella che tende a fare scivolare
l’oggetto lungo il piano verso il basso. Per evitare ciò bisogna applicare una forza F uguale e
contraria a P2 , che risulta minore del peso P , e che diminuisce al diminuire dell’inclinazione del
piano.
Per valutare l’intensità delle componenti P1 e P2 si deve analizzare la geometria del piano inclinato.
Ph
Attraverso la similitudine dei triangoli ABC ed A’B’C’, si può ricavare: P2
che rappresenta
l
la componente della forza peso parallela al piano. Per mantenere in equilibrio il corpo bisogna
applicare una forza uguale e contraria a P2 .
Quindi la forza che mantiene in equilibrio un oggetto su un piano inclinato si ottiene moltiplicando
il suo peso per h/l, ed è sempre minore di P, in quanto h/l è sempre minore di uno!.
ESEMPIO 1: Un’automobile la cui massa è di 1000 kg è ferma su una strada di montagna che ha
una pendenza del 12%. Quale forza di attrito deve agire sulle ruote per tenerla ferma?
Soluzione:
Innanzitutto calcoliamo il peso dell’automobile:
N
P m g 1000kg 9,8 9800 N
kg
Avendo la strada una pendenza del 12%, corrisponde ad un piano
inclinato con base 100 m ed altezza 12 m, quindi lunghezza l
determinabile con il teorema di Pitagora: l 100 2 12 2 10000 144 10144 100,7 m
La forza di attrito deve uguagliare la componente del peso parallela al piano, ricavabile con la
Ph
9800 N 12m
1168 N
formula P2
, quindi F P2
l
100,7 m
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ESERCIZI DA SVOLGERE:
15) Un corpo, del peso di 20 N è posto su un piano inclinato liscio alto 20 cm e con base 40 cm.
Dire quale forza, parallela al piano e diretta verso l’alto è necessario applicare perché il corpo
rimanga in equilibrio.
16) La massa m = 5 kg è trattenuta da una fune su un piano senza attrito e inclinato di 30° rispetto
all’orizzontale. Calcolare la tensione della fune e la forza perpendicolare esercitata dal piano
inclinato sulla massa m.
14
