363
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La meccanica quantistica dell'atomo
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UNITÀ 35
La doppia personalità della luce e della materia
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Per mettere in evidenza la natura duale della luce e delle particelle materiali, lo statunitense Richard Phillips Feynman (1918-1988), premio Nobel nel
1965 per avere sviluppato un nuovo formalismo per la meccanica quantistica, suggerì di riconsiderare l'esperimento di Young.
Immaginiamo di porre, davanti a uno schermo dotato di due fenditure,
indifferentemente una sorgente monocromatica di fotoni o di elettroni
(una sorgente di elettroni è monocromatica se da essa le particelle fuoriescono tutte alla stessa velocità) che, regolata opportunamente, emetta una
sola particella alla volta. Dall'altra parte delle fenditure, a grande distanza,
supponiamo poi di sistemare uno schermo sensibile che permetta di rilevare il numero e la posizione d~lle particelle che lo colpiscono.
Se aspettiamo un tempo sufficientemente lungo, le particelle (fotoni o
elettroni), arrivando sullo schermo in successione dopo avere interagito singolarmente con le fenditure, si addensano su delle strisce, producendo la
stessa figura di interferenza che si formerebbe se l'esperimento fosse svolto
con la radiazione luminosa nelle condizioni ordinarie.
Ripetendo l'esperimento dopo avere chiuso una delle due fenditure, in
modo da essere sicuri che il fotone o l'elettrone passino attraverso l'altra, la
figura di interferenza scompare. Sullo schermo si osserva solo una piccola
macchia allineata con l'asse della fenditura rimasta aperta (figura 4).
Quale conclùsione possiamo trarre da questo esperimento, che è stato
eseguito più volte da diversi ricercatori fornendo effettivamente i risultati
descritti?
·
Poiché l'interferenza è prodotta da una successione di fotoni o di elettroni che arrivano uno alla volta sulle fenditure, dobbiamo pensare che il carattere ondulatorio sia una proprietà intrinseca della singola particella. Ciascuna interagisce simultaneamente con entrambe le fenditure, che in tal
m odo sono indotte a comportarsi, per il principio di Huygens, come due
sorgenti coerenti di onde.
Quando però si cerca di stabilire da quale fenditura i fotoni o gli elettroni siano passati, cioè a rilevare il loro percorso, essi tornano a mostrare il loro aspetto corpuscolare.
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i-
fotone o
elettrone
figura 4
fotone di
interferenza
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M -·~
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3..-
Attraversando un
interferometro di Young ogni
fotone o elettrone interferisce
con se stesso.
Il
Ul figura di interferenza si forma anche
se le particelle giungono sulle fenditure
na alla volta .
<
La figura di interferenza scompare nel
caso in cui l'una o l'altra delle due
fenditure venga otturata.
~-
re
principio di complementarità
.-\ livello microscopico le nostre osservazioni sono sempre indirette, mediate
dagli esperimenti appositamente progettati per indagare particolari fenomeni. La "realtà" del mondo microscopico risiede, in definitiva, nelle interazioni che possiamo stabilire con esso, cioè nei risultati dei nostri esperimenti.
SEZIONE G ~
Fi~si~ca~q~ua~n~t=is~ti~c~a--------------------- ~ ---------------------------------------
Questi esperimenti rivelano che il modello di onda e il modello di particella, che sono costruzioni concettuali formate in base all'osservazione del
mondo macroscopico, sono complementari. Il primo è adeguato a descrivere certi risultati, il secondo a descriverne altri.
Se uno sperimentatore vuole valutare la posizione di un elettrone, un'opportuna apparecchiatura gli permette di localizzare la particella nello spazio. Se invece vuole valutare la lunghezza d'onda dell'elettrone, utilizzando
un diverso dispositivo può trovare anche in questo caso una risposta. Ciò lo
induce a pensare, però, che l'elettrone non sia una particella, ma un'onda.
Nella logica quantistica si assume che il fotone, l'elettrone, ecc. abbiano
una forma indefinita fino all'istante in cui, per effetto di ' un rilievo strumentale, vengono evidenziati o come onde o come corpuscoli.
La complementarità fra onde e corpuscoli fu assunta da Bohr come prinClpto.
n principio di complementarità nella forma enunciata da
Bohr
Se un esperimento permette di osservare un ,aspetto di un fenomeno fisico, esso impedisce al tempo stesso di osservare l'aspetto complementare
dello stesso fenomeno .
Secondo Bohr i concetti di corpuscolo e di onda non sono incompatibili:
per indagare il mondo microscopico occorrono entrambe le descrizioni, che
singolarmente si escludono, ma che insieme si completano.
La particella quantistica
figura 5
Particella quantistica libera rappresentata da un
pacchetto di onde. In un dato istante la particella,
in moto lungo una direzione x, è localizzata entro
un breve segmento di lunghezza !!.x.
L'ipotesi di de Broglie permette di definire un'entità, che
chiameremo particella quantistica, in grado di manifestare, in
circostanze diverse, proprietà corpuscolari od on4ulatorie.
Mediante una sovrapposizione di onde armoniche è possibile costruire, infatti, un "pacchetto di onde" di estensione limitata che si propaghi con una prefissata velocità. Esso
esprime la forma di una perturbazione dello spazio che, essendo localizzata e viaggiante, è adeguata a rappresentare
una particella libera in movimento (f igura 5).
x
Così de Broglie, in un suo scritto, parlava della particella
quantistica: "Quando l'onda unita a un corpuscolo si propaga liberamente in una regione di grandi dimensioni rispetto alla lunghezza d'onda, la nuova meccanica attribui;.------------ ~x -----------.;
sce al corpuscolo associato all'onda il movimento che era
previsto dalle leggi della meccanica classica ... Ma ci sono dei
casi in cui le leggi classiche della meccanica non arrivano più a descrivere il
movimento dei corpuscoli. Il primo caso è quello in cui la propagazione
dell'onda è ristretta in una regione dello spazio le cui dimensioni sono le
stesse della lunghezza d'onda. È quello che accade per gli elettroni all'interno dell'atomo".
Le onde di de Broglie e il modello atomico di Bohr
Per diversi anni il modello di Bohr dell'atomo di idrogeno era stato una
sorgente di ispirazione per ricerche teoriche e sperimentali nel campo delli
fisica atomica. Aveva tuttavia lasciato spazio a molte perplessità, per le sue
Jifdt•Wifl Fisica quantistica
366
Il principio di corrispondenza
aa
Spiegalo tu _ _
1. Secondo la logica quantistica, ha senso aspettarsi che le
palle da tennis lanciate a ripetizione da un cannoncino
vengano diffratte dalla racchetta del tennista? Giustifica la tua risposta alla luce
dell'ipotesi di de Broglie e del
principio di corrispondenza .
Come la fisica relativistica, nata dalla revisione dei concetti di spazio e di
tempo, contiene la meccanica classica come caso limite, così, da una sistematica revisione del modello di Bohr, i fisici quantistici intendevano costruire una nuova meccanica che potesse fornire risultati conformi all'esperienza nelle applicazioni ai sistemi microscopici e, nello stesso tempo, tendesse alla fisica classica per i fenomeni in cui le discontinuità quantistiche
diventano trascurabili. Questa ipotesi di lavoro, formulata da Bohr, fu chiamata principio di corrispondenza.
In termini generali, il principio afferma che le previsioni della meccanica
quantistica devono concordare con quelle della meccanica classica man ma_no che il sistema quantistico si ingrandisce verso dimensioni macroscopiche.
2. La meccanica ondulatoria
di Schrodinger
Le idee di de Broglie sulla natura ondulatoria della materia acquistarono un
soddisfacente formalismo matematico nel1926 per opera del viennese Erwin
Schrodinger, in quel tempo professore di fisica teorica all'Università di Zurigo.
Funzione d'onda e densità di probabilità
Schrodinger sviluppò la sua teoria, la meccanica ondulatoria, da un'equazione differenziale simile a quelle che descrivono la propagazione delle onde meccaniche o elettromagnetiche.
L'equazione di Schrodinger permette di calcolare la distribuzjone nello spazio
e l'evolversi nel tempo di una particella o di un sistema di particelle soggette
a forze conservative, nel limite in cui gli effetti relativistici siano trascm:abili.
Perché distribuzione nello spazio e non, piuttosto, posizione?
La particella quantistica non è il punto materiale della fisica classica: essendo rappresentata da un pacchetto di onde che, per quanto limitato nello spazio, ha sempre una certa estensione, non possiede una posizione precisamente definita.
L'equazione di Schrodinger ha come soluzione una funzione a valori
complessi delle coordinate spaziali e temporali della particella quantistica.
Tale soluzione, nota come funzione d'onda e generalmente indicata con il
simbolo 'l' (lettera greca "psi"), contiene tutta l'informazione circa l'evoluzione dell'onda-particella nello spazio e nel tempo.
Per mettere in relazione la funzione d'onda con le grandezze misurabili e
stabilire un obiettivo contatto fra la meccanica ondulatoria e la realtà sperimentale, il tedesco Max Born (1882-1970) ricorse al concetto di probabilità.
Egli chiarì che, se si tenta di rivelare sperimentalmente in un certo istante la posizione di un corpuscolo, la probabilità di trovare l'oggetto microscopico in una piccola regione di volume Ll V contenente un punto di coordinate x,y, e z e in un piccolo intervallo di tempo Llt centrato intorno all'istante t considerato è direttamente proporzionale a:
l
'l'(x,y, z, t) 1 2 Ll V Llt
Il quadrato del modulo della funzione d'onda, chiamato densità di probabilità (a indicare la probabilità per unità di volume e per unità di tempo)
acquistò così un ben definito significato fisico.
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La meccanica quantistica dell'atomo
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(Vienna, 1887 - 1961) Favorito dalla
sensibilità culturale paterna, si dedicò
fin dai primi anni allo studio delle discipline umanistiche e scientifiche. Dopo
essersi laureato all'Università di Vienna
intraprese una brillante carriera accademica che da Vienna lo portò a Stoccarda, a Zurigo e a Berlino. Per awersione al nazismo lasciò Berlino dopo
l'ascesa al potere di Hitler, per continuare l'opera di docente a Oxford e a
Dublino.
Bohr lo definì un "uomo universale".
Fu infatti uno scienziato dai molteplici interessi: dalla filosofia alla fisica,
dalla storia alla politica, dalla biologia
alla cultura greca. Con disprezzo per
la moralità convenzionale, Schrodinger univa a un profondo pessimismo
una voluttuosa indulgenza verso i piaceri della vita. Sintetizzando le sue
virtù e le sue debolezze Einstein lo definì uno "scienziato libertino troppo
intelligente". Fra i maggiori fisici teo-
rici del Novecento, formulò l'equazione fondamentale della meccanica
ondulatoria, considerata, per energie
non relativistiche, lo strumento più
importante per la descrizione di molecole, atomi e nuclei. La corrispondente equazione relativistica fu determinata da Dirac, con cui Schrodinger condivise il premio
Nobel nel 1933.
Schrodinger deve essere anche ricordato
per il suo contributo
alle scienze biologiche. Le sue lezioni tenute a Dublino e raccolte in un volume dal
titolo What is fife, pubblicato nel 1944, furono
la principale fonte di
ispirazione per i
fondatori della
biologia molecolare.
Il collasso della funzione d'onda
La meccanica quantistica rinuncia al rigoroso determinismo della fisica
classica e si limita, invece, a stabilire la probabilità con cui una particella o
un sistema si evolvono verso gli stati possibili. La densità di probabilità non
dice dove una particella quantistica è in un dato istante, ma solamente dove è probabile che sia.
D'altra parte, l'intervento di uno sperimentatore, che con un opportuno
strumento riveli una particella in un dato luogo, perturba l'evoluzione della funzione d'onda della particella. Istantaneamente, infatti, tutte le possibilità (tutti i luoghi in cui la particella avrebbe potuto trovarsi) si riducono
a una sola (il luogo in cui è stata effettivamente catturata). Si parla, in questo caso, di "collasso della funzione d'onda".
Immaginiamo, per esempio, che in un certo istante un atomo errante
nello spazio interstellare assorba un fotone, in modo che, in qualsiasi istante successivo, lo stesso atomo possa emettere un altro fotone .
Secondo la teoria di Schrodinger il fotone emesso, "sparso" nello spazio intorno alla sorgente e "distribuito" nel tempo che segue l'evento iniziale, è rappresentato da un'onda sferica che si propaga alla velocità della
luce. Dopo un anno, l'onda copre una regione di un anno luce di raggio
(1 a.l. = 9,46 · 10 15 m), cioè un volume dell'ordine di 10 48 m 3 .
Se in ogni metro cubo di questa immensa regione fosse posto un rivelatore, ciascuno di essi avrebbe, in quell'anno, la stessa probabilità di catturare il fotone. Nel caso in cui, però, uno dei tanti rivelatori registrasse effettivamente l'arrivo del fotone, l'onda che descrive la particella quantistica collasserebbe, cioè scomparirebbe. Nessun altro rivelatore, successivamente,
potrebbe più captare lo stesso fotone.
...,.
ii!Wijlfj
figura 7
Gli stati quantici atomici
L'orbitale dello stato
fondamentale dell'atomo di
idrogeno.
Oltre a fornire la probabilità con cui un oggetto microscopico può essere presente in un volume dello spazio e in un intervallo di tempo dati, l'equazione
di Schrodinger contiene un'informazione energetica. Applicata, per esempio,
agli elettroni atomici, permette di determinare sia le funzioni d'onda associate agli stati quantici sia i corrispondenti livelli energetici. Per l'atomo di idrogeno, i livelli così calcolati coincidono con quelli indicati da Bohr.
L'equazione di Schrodinger risolve inoltre un problema che il modello di
Bohr aveva lasciato senza risposta, cioè spiega perché le righe spettrali
emesse dagli atomi eccitati abbiano ognuna una caratteristica intensità.
Come cambia, con la meccanica ondulatoria, la descrizione_degli stati
quantici atomici?
Abbandonato il concetto classico di traiettoria, gli stati quantici non sono più pensati come un insieme discreto di orbite circolari percorse da un
elettrone puntiforme, ma sono caratterizzati da funzioni d'onda stazionarie (soluzioni dell'equazione di Schrodinger indipendenti dal tempo) che
definiscono, tramite il loro modulo quadrato, la densità volumica di probabilità, cioè la probabilità per unità di volume di trovare l'elettrone in un determinato punto intorno al nucleo.
A ogni stato è dunque assegnata una distribuzione elettronica, spesso
chiamata orbitale, ch-e può essere visualizzata mediante una "nuvola", più
densa nei punti dove è più facile rivelare l'elettrone, più rarefatta dove l'elettrone py.ò trovarsi con minore probabilità.
In figura 7 è rappresentato il primo orbitale dell'atomo di idrogeno, corrispondente allo stato fondamentale: la distribuzione elettronica ha simmetria sferica, con un massimo a una distanza dal nucleo uguale al raggio della prima orbita di Bohr. Un altro modo per raffigurare la stessa distribuzione è tracciare, come in figura 8, il grafico del modulo quadrato lW(r) f 2 della funzione d'onda al variare della distanza r dal nucleo. ·
figura 8
Distribuzione dell'elettrone
dell'idrogeno nello stato
fondamentale. Con la massima
densità di probabilità, l'elettrone
si trova a una distanza dal nudeo
uguale al raggio di Bohr r 1•
Un paradossale dilemma: il gatto quantistico
di Schrodinger
figura 9
Il gatto di Schròdinger.
Nel1935 Schrodinger propose un famoso esperimento mentale, subito definito il paradosso del gatto di Schrodinger: se un gatto viene rinchiuso in una
stanza isolata insieme a un congegno che, innescato da un evento casuale
(come l'emissione di una particella nucleare da parte di una sostanza radioattiva), possa rompere una fiala di cianuro, qual è, dopo un prestabilito
intervallo di tempo, lo stato del gatto?
Secondo il consueto modo di ragionare il gatto o è vivo o è morto. La logica quantistica, invece, porta a concludere che le due condizioni coesistano.
Poiché, in un istante fissato, la probabilità che il meccanismo letale sia già stato azionato è pari al 50%, così come
del 50% è la probabilità che la fiala di veleno sia ancora integra, il gatto si trova in una simultanea combinazione di
vita e di morte. In altri termini, fino a quando non viene osservato, il gatto è metà vivo e metà morto (figura 9).
Per decidere fra i due destini possibili occorre osservare
e misurare. La buona o cattiva sorte del gatto è determinata solo nell'istante in cui l'osservatore decide di aprire la
stanza, perché è allora che o l'uno o l'altro dei due stati, prima entrambi potenzialmente presenti al 50%, è reso reale.
Riguardo al comportamento di un elettrone, di un atomo, o
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DCI.a-
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La meccanica quantistica dell'atomo
di un'altra particella, la meccanica quantistica non fornisce tutte le informazioni che eravamo soliti ottenere applicando a un punto materiale le leggi
della meccanica classica. Per esempio, non permette di stabilire con certezza
la posizione della particella in ogni istante.
Il paradosso del gatto mostra come questa indeterminazione possa produrre effetti sconcertanti se estrapolata da una realtà macroscopica.
La spesso citata frase di Einstein, "Non credo che Dio giochi a dadi con
l'universo", esprime il disagio che comporta la rinuncia alla logica deterministica. Einstein rimase sempre convinto che la sorte del gatto non dipendesse dall'osservatore, ma fosse predeterminata, e che. l'incapacità di scegliere
fra vita e morte testimoniasse che la teoria quantistica era incompleta.
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3. Il principio di indeterminazione
di Heisenberg
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La fisica classica ammetteva erroneamente che fosse possibile eseguire la
misura, anche simultanea, di tutte le grandezze fisiche di un dato sistema
con precisione sempre maggiore a condizione di utilizzare procedure e strumenti sempre più raffinati.
In realtà misurare significa perturbare, cioè alterare le grandezze che caratterizzano uri sistema.
Nel caso in cui vogliamo determinare, per esempio, la posizione e la velocità di un oggetto in movimento, dobbiamo in primo luogo "vedere" l'oggetto, cioè stabilire con esso un'interazione. Immaginiamo di illuminarlo, a
questo scopo, con un fascio di luce.
Se l'oggetto in questione è una palla da biliardo, gli urti dei fotoni non
influenzano apprezzabilmente il suo moto. Se invece è un elettrone in volo
attraverso un tubo a vuoto, gli stessi urti ne modificano posizione e velocità
in modo non trascurabile.
Le grandezze coniugate e la loro determinazione
simultanea
Nel1927 Werner Heisenberg postulò l'impossibilità concettuale di valutare
senza alcun limite di precisione la posizione e, simultaneamente, 1~ quantità
di moto di un oggetto, oppure di determinare con esattezza l'istante di
tempo in cui un sistema si trova in un particolare stato e l'energia del sistema nello stesso stato.
Indichiamo queste due coppie di grandezze, la posizione insieme alla
quantità di moto e l'energia insieme al tempo, come grandezze coniugate.
Le leggi della meccanica classica da cui si calcolano, per esempio, la
traiettoria e le trasformazioni energetiche di un corpo presuppongono che
si possano perfettamente conoscere, almeno in linea di principio, eliminati
gli errori sperimentali, la quantità di moto del corpo in una ben determinata posizione e la sua energia in un preciso istante.
La meccanica quantistica introduce invece, con l'enunciato di Heisenberg, un'indeterminazione intrinseca nelle coppie di grandezze coniugate, o
meglio, una correlazione fra le incertezze con cui i valori di tali grandezze
possono essere determinati.
II!Wl!lfj:J
a a a Spiegalo tu
__
2. Quali informazioni contiene la
funzione d'onda di una particella quantistica circa le proprietà dinamiche della particella?
3. Come cambia, con la meccanica ondulatoria di Schròdinger, la descrizione degli stati
stazionari dell'atomo di idrogeno?
~ J1fduWifl Fisica quantistica
370
Principio di indeterminazione
Quando la coordinata di una particella lungo una direzione x e la componente della quantità di moto della particella lungo la stessa direzione
sono misurate simultaneamente, le incertezze ~x e ~Px sui risultati delle
due misure soddisfano la condizione:
incertezza su·11a ~
quantità
di moto (kg . mis)
·
ax a . > }!____
incertezza sulla posizione (m)
Px - 2'ii"
J
.
~ costante d1 Planck
(kg . m2/s)
(3)
Similmente, se l'energia di una particella viene misurata con un procedimento di durata !:it, l'incertezza !:iE sul suo valore è tale che:
incertezza sul tempo (s) ~
_ \
incertezza sull'energia (J)
J
r
~ costante di Planck
aB at > }!____
- z'ii"
(J . s)
(4)
Quello di Heisenberg è un principio fondamentale della meccanica quantistica, che ha rivoluzionato la teoria della misura e il modo di interpretare le
leggi della fisica.
Esso riflette la dualità-onda corpuscolo della radiazione elettromagnetica e della materia. Una particella quantistica si trova, infatti, in ogni punto
dell'onda a essa associata, essendo distribuita con differente probabilità locale in tutto lo spazio in cui l'onda è presente. D'altra parte la particella
possiede una ben determinata quantità di moto solo quando questa grandezza viene misurata. Prima della misura la quantità di moto assume potenzialmente tutto un insieme di valori.
La localizzazione di un elettrone
Numerosi sono gli esperimenti, reali o mentali, che consentono di controllare la validità del principio di indeterminazione.
Immaginiamo di disporre di una radiazione elettromagnetica di lunghezza d'onda À. abbastanza piccola affinché possa interagire con un elettrone libero secondo le modalità note dallo studio dell'effetto Compton, e
di un microscopio capace di raccogliere e focalizzare la radiazione diffusa
dall'elettrone.
Lungo una direzione x fissata il microscopio rivela, idealmente, la posizione dell'elettrone con una indeterminazione ~circa uguale alla lunghezza d'onda della radiazione:
L'elettrone viene però localizzato solo dopo che ha diffuso la radiazione,
cioè ha compiuto un urto con un fotone. Poiché l'urto fa variare imprevedibilmente la componente x della quantità di moto dell'elettrone di un valore ~Px compreso fra zero e il modulo hj À. della quantità di moto trasportata dal fotone, possiamo porre:
......._,==~=~~;;;;=;c-c---- ------ - - -
371
La meccanica quantistica dell'atomo
lllmftlfj
Il prodotto fra le incertezze delle due variabili è dunque:
b..x D..px "" h
"e
e
~,)
Questo risultato è compatibile con la relazione (3).
La figura 10 illustra un'altra situazione fisica ideale dalla cui analisi si trae la stessa conclusione.
L'indeterminazione sulla quantità di moto D..px è tanto maggiore quanto più precisa è la
misura della posizione D..x e viceversa. Al limite, se potessimo conoscere perfettamente la
posizione della particella, la quantità di moto sarebbe completamente indeterminata.
figura 10
DIFFRAZIONE DI UNA PARTICELLA
(4)
Se una particella passa per una fenditura di larghezza d paragonabile alla sua lunghezza d'onda di de
Broglie )\, essa si diffrange. Nell'istante in cui attraversa la fenditura, la sua posizione lungo l'asse x
perpendicolare alla direzione di incidenza viene individuata con un ' incertezza tlx = d. D'altra parte, la
componente x della sua quantità di moto p diventa indeterminata di una quantità t:..px ~ p sin a, dove
a è la semiapertura angolare della frangia centrale della figura di diffrazione. Ricordando, dallo studio
della diffrazione, che è sin a = )1./ d, ed essendo p = hl)\, si trova:
t:,x
. a
t:,.px ~ d p Sin
l· ·-
=
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X;il = h
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ESEMPIO 2
L'indeterminazione di un livello atomico eccitato
n
La vita media di uno stato atomico eccitato, cioè
l'intervallo di tempo che trascorre in media prima
che l'atomo decada verso un altro stato a energia
minore, è pari a 2,0 · 10- 8 s. Qual è la minima indeterminazione del corrispondente livello energetico?
éiom-
Dati e incognite
M = 2,o . 1o-s s
lo di tempo M durante il quale l'atomo permane
nello stato considerato. Utilizzando la relazione (4),
che lega l'incertezza sul valore ricavato da una misura di energia con la durata della misura stessa, si
trova che la minima indeterminazione del livello
energetico è:
A.E = ?
Soluzione
L'energia di uno stato atom ico eccitato può essere
misurata per una durata non più lunga dell'interval-
h
6 626 . 1o-34 J. s
A.E - - - - '
- 2TIM - 2TI(2,0 · 10- 8
=
s) -
5,3 · 10- 27 J = 3,3 · 10-8 eV
372
La meccanica delle matrici
Le idee di de Broglie sulla dualità onda-corpuscolo, rese concrete dagli esperimenti che avevano rivelato il comportamento ondulatorio delle particelle,
indussero i fisici a riflettere sul concetto di "oggetto fisico".
Born, professore di Heisenberg a Gottingen, suggerì che si dovessero
considerare come autentiche proprietà del reale solo gli osservabili, cioè le
grandezze che possano essere sottoposte a un'operazione di misura: questa,
che può sembrare una considerazione ovvia, divenne uno dei capisaldi della nuova ~eccanica.
Secondo Born, i fisici erano a torto ostinati nel voler attribuire un senso,
anche avendo a che fare con atomi e particelle subatomiche, a tutte le grandezze di cui la meccanica classica si era servita per descrivere la realtà macroscopica. Alcune, invece, come la posizione, l'istante e la velocità, erano
inadatte a descrivere una particella quantistica, perché la classificavano come un corpuscolo escludendo la possibilità di identificarla con un pacchetto di onde, cioè con una perturbazione dello spazio di estensione e durata
non nulle.
Condividendo la logica di Born, e convinto che qualsiasi tentativo di
strutturare il mondo microscopico in analogia con quello macroscopico
fosse destinato a fallire, Heisenberg rinunciò ad affrontare il problema delle orbite e dei moti elettronici intorno ai nuclei. Egli spostò la sua attenzione sulle grandezze atomiche operativamente valutabili: la frequenza e l'intensità delle radiazioni emesse dagli atomi nelle transizioni da uno stato
quantico a un altro.
Già prima che Schrodinger pubblicasse la sua equazione, Heisenberg aveva descritto le transizioni atomiche mediante tavole di numeri, o matrici.
Ogni casella di queste tavole corrisponde al passaggio da uno stato iniziale a uno stato finale e il numero in essa collocato è legato alla probabilità che si verifichi la transizione.
·
La meccanica delle matrici, come è chiamato il formalismo sviluppato
da Heisenberg, e la meccanica ondulatoria di Schrodinger sono due "linguaggi" alternativi ed equivalenti con cui esprimere la teoria quantistica. Il
primo utilizza uno strumento matematico, l'algebra matriciale, già da tempo noto, ma mai adoperato nella fisica classica. Il secondo fa uso, invece,
del più consueto calcolo differenziale.
~
(Wurzburg, 1901 -Monaco di Baviera, 1976) Formatosi all'università di Monaco, perfezionò i suoi studi a
Gottingen e a Copenaghen . Dal suo incontro con
Niels Bohr, nel 1922, iniziò una lunga amicizia e
una fruttuosa collaqorazione.
Nel1925 Heisenberg elaborò, ispirato da Max
Born, la meccanica delle
matrici. Due anni più tardi formulò in un articolo
il suo principio di indeterminazione. Prese parte ai dibattiti sulle que-
stioni epistemologiche sollevate dalle nuove idee quan-l
tistiche e sostenne con Bohr la corrente di pensiero,
nota come interpretazione di Copenaghen, che ridefinì in termini probabilistici i concetti di realtà fisica e
di misura. Ricevette il Premio Nobel per la fisica nel
1932.
Rimase in Germania durante la seconda guerra mondiale, collaborando al programma nucleare tedesco
sotto il regime nazista. La sua posizione nei confronti del nazismo è controversa, ma le vicende della
guerra gli costarono la rottura dell'amicizia con
Bohr, oltre all'arresto, nel 1945, e alla detenzione in
Inghilterra.
Facendo successivamente ritorno in Germania, si impegnò a ricostituire la scuola di fisica tedesca.
373
La meccanica quantistica dell'atomo
L'effetto tunnel
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li comportamento degli oggetti microscopici è in certi casi sorprendente, come dimostra l'effetto tunnel, secondo cui una particella, senza alcuna azione esterna, riesce a creare un "canale" per superare una barriera di potenziale.
Se lanciamo una palla su per un pendio con un'energia cinetica iniziale
insufficiente affinché raggiunga la cima, la palla sale fino a una certa altezza, poi torna indietro. Resta confinata, cioè, al di qua dell'ostacolo.
In generale, per una particella soggetta a una forza conservativa, una barriera di potenziale è una regione in cui l'energia potenziale associata alla
forza supera l'energia totale della particella.
Secondo la fisica classica, per il principio di conservazione dell'energia,
una barriera di potenziale è impenetrabile. Secondo la meccanica quantistica, invece, una particella ha una probabilità non nulla di superare la barriera-ostacolo, se questa ha una larghezza e un'altezza finite.
L'effetto tunnel, certamente non osservabile con una palla attraverso un
pendio o una parete, riguarda gli elettroni e le altre particelle quantistiche.
Esso può essere spiegato sia da un punto di vista ondulatorio, ricorrendo
all'equazione di Schrodinger, sia in base al principio di indeterminazione . .
Dalla relazione (4) si deduce che, in un intervallo di tempo f:.t molto breve l'energia di una particella può compiere una fluttuazione ilE talmente
grande da raggiungere un valore istantaneo ancora più alto dell'energia potenziale massima della barriera. Ciò significa che, quanto più M è piccolo,
tanto più facilmente la legge di conservazione dell'energia può essere violata, in qnanto l'energia diventa sempre più indeterminata.
Applicando la stessa logica, un bancario disonesto potrebbe sentirsi autorizzato a prelevare di nascosto dalla cassa una certa quantità di denaro e
utilizzarla a proprio vantaggio, affrettandosi a restituirla prima che qualcuno possa accorgersi dell'ammanco!
Dell'effetto tunnel si possono elencare numerose applicazioni tecnologiche, nei campi della microscopia e dell'elettronica. Il diodo tunnel, per esempio, è un dispositivo semiconduttore che consente, regolando la tensione
a pplicata, di variare l'altezza di una barriera di potenziale e controllare così
il segnale elettrico generato dal passaggio di elettroni attraverso di essa.
L'effetto tunnel permette inoltre di spiegare un certo tipo di emissioni
radioattive. Il nucleo atomico, infatti, può essere immaginato come un
"pozzo" di potenziale attraverso le cui pareti, di tanto in tanto, determinate particelle riescono a fuggire.
È stata anche avanzata l'ipotesi che lo stesso effetto possa giustificare il
controverso fenomeno della "fusione fredda": due nuclei atomici darebbero
spontaneamente origine a un processo di fusione nucleare, senza bisogno di
reattori "a caldo", ma in una semplice provetta, oltrepassando, grazie a una
fluttuazione quantistica, la barriera energetica prodotta dalle forze nucleari.
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J Spiegalo tu -~---------------
4. Immagina di determinare, con un errore di misura percentuale dell'l%, la quantità di moto di una palla di 600 g lanciata alla velocità di 10,0 m/s. Qual è la minima indeterminazione quantistica della posizione della palla? Potrai mai accorgerti di tale indeterminazione? Perché?
5. Servendoti del principio di indeterminazione di Heisenberg, cerca di giustificare la
seguente affermazione :
"La probabilità che si verifichi l'effetto tunnel aumenta al diminuire dell'altezza e
dello spessore della barriera di potenziale" .
II!Wi!Jfj:J
