Il momento angolare in meccanica classica ed in

Indice dei temi svolti di fisica:
Autore: Antonio Pierro
Giochi matematici
Il momento angolare in meccanica classica ed in meccanica
quantistica: analogie e differenze
Definizione del momento angolare in fisica classica
momento angolare polare o momento della quantità di moto o impulso angolare rispetto ad una
determinata origine (detta anche polo) è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione
(rispetto alla stessa origine) e il vettore quantità di moto:
Il modulo di
è quindi definito da:
La direzione di è perpendicolare al piano definito da
che vede ruotare in senso antiorario. La grandezza
retta su cui giace è detto braccio di .
e da ; il verso è quello di un osservatore
, distanza dell'asse di rotazione dalla
Se ed sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando
sinθ = 1. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se
è parallelo ad , in tal caso infatti sinθ = 0.
Si definisce momento angolare assiale il momento angolare proiettato sul un asse passante per il
polo.
Il momento angolare nel SI si misura in kg·m²/s.
Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una
caratteristica fondamentale del moto. Infatti se un punto materiale P si muove con quantità di moto:
, il momento angolare del punto rispetto ad un polo O è dato da:
se il polo O è in moto con velocità
, allora il momento angolare varia nel tempo:
rappresenta la velocità relativa del punto P rispetto alla velocità di O, mentre
per il
dove
secondo principio della dinamica rappresenta la forza totale risultante. Allora da questa equazione si
ottiene la seconda equazione cardinale dei sistemi, infatti dalla:
si ottiene:
dove
è il momento meccanico polare della forza
.
Nel caso il polo sia fermo (cosa che si può sempre fare scegliendo un sistema di riferimento
opportuno), allora ci si riconduce alla più familiare:
Conservazione del momento angolare ed esempi
Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che rigurdano variabili
angolari.
Inoltre resta fondamentale perché nei sistemi isolati, cioè non soggetti a forze esterne, vale la legge
di conservazione del momento angolare. La conservazione del momento angolare è fondamentale
nello studio dei moti in campi di forze centrali, poiché è legata alla costanza della velocità areolare,
come nello studio dei moti dei pianeti e dalle leggi di Keplero, ed ancora allo studio del moto del
pendolo.
Definizione del momento angolare in meccanica quantistica
La quantizzazione del momento angolare rappresenta uno dei risultati fondamentali della
meccanica quantistica e ha una enorme portata nella trattazione dei principali problemi di fisica
delle particelle, oltre che condurre alla predizione dell'esistenza dello spin.
In meccanica quantistica il momento angolare è un' osservabile, quindi è rappresentato da un
operatore hermitiano che chiamiamo .
In meccanica classica la definizione di momento angolare è la seguente:
dove e sono rispettivamente il vettore posizione e impulso. Attraverso il principio di
corrispondenza è possibile definire il momento angolare in meccanica quantistica come:
da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:
sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni
Osserviamo immediatamente che
lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (N.B. posizione e impulso riferiti a coordinate
diverse, ad esempio e
, commutano!).