Esercitazione 5 - Benvenuti nell`area statistica

Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
Esercitazione 5
Statistica
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Università degli studi di Cassino
A. Iodice ()
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Statistica
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Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
1
La concentrazione
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La concentrazione
Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di
vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità
detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione
indica quanto il collettivo osservato sia ’lontano/vicino’ rispetto
all’equidistribuzione. Da cui,
la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso
ammontare del carattere
la concentrazione è massima se l’intero ammontare del carattere
à detenuto da una sola osservazione
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La concentrazione
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A. Iodice
La concentrazione
In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di
vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità
detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione
indica quanto il collettivo osservato sia ’lontano/vicino’ rispetto
all’equidistribuzione. Da cui,
la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso
ammontare del carattere
la concentrazione è massima se l’intero ammontare del carattere
à detenuto da una sola osservazione
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Indice di concentrazione
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A. Iodice
La concentrazione
Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito
tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente:
pi =
Pi
i
n
j=1
qi = Pn
xj
j=1 xj
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Indice di concentrazione
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A. Iodice
La concentrazione
Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito
tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente:
pi =
Pi
i
n
j=1
qi = Pn
xj
j=1 xj
pi è la frazione cumulata dei primi i redditieri
qi , ammontare del reddito detenuto dai primi i redditieri
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Indice di concentrazione
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La concentrazione
Le differenze (pi - qi ) ≥ 0, sono misure dirette della
concentrazione. La media aritmetica della versione
normalizzata di tali differenze rappresenta il rapporto di
concentrazione di Gini.
Pn−1 pi −qi
Pn−1
(pi − qi )
i=1 ( pi )pi
= i=1
Pn−1
Pn−1
i=1 pi
i=1 pi
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Esempio di calcolo concentrazione
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Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende
produttrici di componenti per auto.
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La concentrazione
i
xi
xi,(ord.)
1
2
3
4
5
6
7
8
154
14
16
8
164
12
20
46
8
12
14
16
20
46
154
164
434
Pi
j=1
xj
8
20
34
50
70
116
270
434
pi =
i
n
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.875
1
qi =
Pi
xj
Pj=1
n
j=1 xj
0.018
0.046
0.078
0.115
0.161
0.267
0.622
1
pi − qi
0.107
0.204
0.297
0.385
0.464
0.483
0.253
0
NOTA: le modalità xi devono preventivamente essere ordinate in modo crescente
Pn−1
(pi − qi )
0.107 + 0.204 + 0.297 + 0.385 + 0.464 + 0.483 + 0.253
=
=
Pn−1
0.125 + 0.25 + 0.375 + 0.5 + 0.625 + 0.75 + 0.875
p
i
i=1
2.193
=
= 0.627
3.5
i=1
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Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
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5
A. Iodice
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
La concentrazione
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Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
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Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
La concentrazione
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Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
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Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
La concentrazione
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Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
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Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
La concentrazione
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Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
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A. Iodice
z
}|
{
area di concentrazione
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
area del triangolo OAB
La concentrazione
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Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
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A. Iodice
La concentrazione
area di concentrazione
z
}|
{
area di concentrazione
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
area del triangolo OAB
OB×BA
= 1×1
2
2
(B+b)×h
di un generico trapezio :
2
B = base maggiore = qi+1
area del triangolo OAB:
area
=
1
2
b = base minore = qi
h = altezza = pi+1 − pi
h
B
b
}|
{
z }| { z}|{ z
Pn−1 (qi+1 + qi )×(pi+1 − pi )
somma delle aree dei trapezi : i=1
2
sostituendo quanto trovato, si ha
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
P
(qi+1 +qi )×(pi+1 −pi )
1
− n−1
i=1
2
= 2
1
2
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Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
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A. Iodice
La concentrazione
con qualche passaggio algebrico si ottiene
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
P
(qi+1 +qi )×(pi+1 −pi )
1
− n−1
i=1
2
= 2
=
1
2
|
6
=
{z
mettere 1/2 in evidenza
1
2
}
“
”
P
1 − n−1
i=1 (qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi )
=1−
6
n−1
X
1
2
=
(qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi )
i=1
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Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
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A. Iodice
con qualche altro passaggio algebrico si ottiene
R=1−
La concentrazione
n−1
X
(qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi ) =
i=1
=1−
n−1
X
(qi+1 pi+1 − qi+1 pi + qi pi+1 − qi pi )
i=1
|
=1−
{z
}
effettuando i prodotti
n−1
X
qi+1 pi+1 −
i=1
n−1
X
qi+1 pi +
i=1
n−1
X
qi pi+1 −
i=1
n−1
X
!
qi pi
i=1
poichè:
n−1
X
qi+1 pi+1 −
i=1
n−1
X
qi pi = qn pn
i=1
ed essendo qn = 1 e pn = 1 allora qn pn = 1, da cui
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Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
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La concentrazione
con qualche altro passaggio algebrico si ottiene
0
1
qn pn =1
}|
{
z
Bn−1
C
n−1
n−1
n−1
BX
C
X
X
X
B
C
R=1−B
qi+1 pi+1 −
qi pi −
qi+1 pi +
qi pi+1 C
B
C
i=1
i=1
i=1
@ i=1
A
=1−
1−
n−1
X
qi+1 pi +
i=1
=1−1+
n−1
X
n−1
X
qi+1 pi −
i=1
=
n−1
X
pi qi+1 −
!
qi pi+1
i=1
n−1
X
i=1
=
n−1
X
qi pi+1 =
i=1
n−1
X
pi+1 qi
i=1
(pi qi+1 − pi+1 qi )
i=1
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La concentrazione in dati raggruppati
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A. Iodice
Si consideri di voler studiare la concentrazione di addetti rispetto alle imprese avendo a disposizione
informazioni riguardanti le classi di addetti per impresa, il numero di imprese per ciascuna classe ni , il
numero di addetti impiegati xi ni .
In questo caso si deve tenere conto delle fatto che i dati sono organizzati in frequenze.
La concentrazione
i.i
0-2
3-9
10-19
20-49
50-99
100-499
500-999
ni
2043
636
103.2
43.4
11.8
8.3
0.8
P
ni
2043
2679
2782.2
2825.6
2837.4
2845.7
2846.5
x i ni
2718.3
2845.6
1352
1281.2
808.7
1588.3
529.4
Table:
P
xi
2718.3
5563.9
6915.9
8197.1
9005.8
10594.1
11123.5
pi
0.7177
0.9412
0.9774
0.9927
0.9968
0.9997
1
qi
0.2444
0.5002
0.6217
0.7369
0.8096
0.9524
1
a
0.3590
0.5852
0.7203
0.8037
0.9494
0.9997
b
0.2300
0.4889
0.6172
0.7346
0.8094
0.9524
a−b
0.1290
0.0963
0.1031
0.0691
0.1400
0.0473
I dati sono espressi in migliaia.
a = pi qi+1
b = pi+1 qi
R̃ =
n−1
X
(pi qi+1 − pi+1 qi ) = 0.5848
i=1
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