Laboratorio di Calcolo
Numerico
M.R. Russo
Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata
A.A. 2009/2010
Equazioni non lineari
Data una funzione
consideriamo il
problema di determinare i valori di x tali che
Tali valori sono chiamati zeri o radici della funzione f.
Equazioni non lineari
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In generale non sono disponibili formule esplicite
per la determinazione delle radici di una funzione,
per esempio funzioni algebriche n>5.
Si ricorre ai Metodi Iterativi, tecniche che
consentono di approssimare la soluzione con un
prestabilito grado di precisione.
A partire da una approssimazione iniziale x0 si
costruisce una successione x1, x2 ,..... che sotto
opportune ipotesi, risulta convergere alla radice
cercata.
Equazioni non lineari
Ordine di convergenza:
Si dice che una successione {xi}, generata da un
metodo numerico, converge ad un limite α con
ordine p se esiste C>0 tale che
Se p=1 la convergenza si dice lineare
●
Se p=2 la convergenza si dice quadratica
●
C prende il nome di fattore di convergenza
●
Nel caso p=1 si deve necessariamente avere C<1
●
Metodi iterativi
Criteri di arresto
Non essendo possibile generare infinite iterate della
successione, il procedimento dovrebbe arrestarsi per
Non disponendo della soluzione si usa una stima di ei,
si possono usare i due seguenti criteri
Criterio di arresto assoluto
Criterio di arresto relativo
Metodo di bisezione
Algoritmo bisezione
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●
Il metodo di bisezione costruisce una successione
convergente ad
Se f x n =0 allora = xn , altrimenti
Criterio d'arresto
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Il numero di iterazioni può essere impostato a-priori,
in base alla tolleranza d’errore ammessa, infatti al
passo k-esimo si ha:
Imponendo che sia
Si ottiene il valore minimo di iterazioni per
Metodo di bisezione
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●
Il metodo di bisezione converge globalmente alla
soluzione con la sola ipotesi che f sia continua
nell'intervallo [a, b].
La convergenza è però lenta e questo costituisce il
limite del metodo: ad ogni passo si riduce l'errore di
1/2, per ridurlo di 1/10 (1 cifra decimale) occorrono
circa 3.3 passi.
Una spiegazione può essere ricercata nel fatto che
non si tiene conto dei valori della funzione ma
soltanto dei segni.
Metodo di Newton
●
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●
Un metodo completamente diverso che sfrutta più
informazioni sulla funzione f è il Metodo di Newton
L'idea di base e di approssimare la funzione f data
con la sua retta tangente.
Dato un punto xk, si definisce il punto xk+1 come
l'intersezione della retta tangente alla funzione f nel
punto (xk,f(xk)) con l'asse x.
Metodo di Newton
●
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●
L'equazione della retta tangente è
Se scegliamo xk+1 come quel valore di x tale per cui
y(xk+1)=0, che equivale ad approssimare f(x)
localmente con la retta tangente in xk ed a trovare lo
zero di questa , otteniamo la formula seguente per
xk+1 :
Ovviamente deve essere
Metodo di Newton: costruzione
grafica
Graficamente si procede nel seguente modo:
●
Dato un punto P(x,f(x)), si considera la tangente
al grafico della funzione nel punto P e la si
prolunga fino ad incontrare l’asse delle ascisse, il
punto di intersezione della tangente con l’asse x
rappresenta la nuova stima della soluzione.
Metodo di Newton: costruzione
grafica
y
1
f(x1)
2
f(x2)
3
f(x3)
f(x4)
f(x5)
4
5
x5 x4 x3 x2 x1
x
Metodo di Newton
●
●
Bisogna fornire un valore iniziale x0, la convergenza è
garantita se x0 è abbastanza vicino alla radice, si ha
convergenza locale e non globale.
Alla k esima iterazione il metodo richiede due
valutazioni funzionali, la funzione e la sua derivata,
ma
l'aumento
del
costo
computazionale
è
compensato dal fatto che la convergenza (locale) è di
ordine superiore al primo. In generale è quadratica
per radici semplici.
Metodo di Newton: casi
problematici
La procedura del metodo può fallire quando:
●
●
in una iterazione si incontra un punto stazionario di f(x),
in questo caso la tangente alla curva è orizzontale ed il
valore di x determinato nell’iterazione successiva è
infinito.
Una iterazione riconduce al punto della iterazione
precedete, in tal caso si entra in un ciclo infinito.
y
2
y
1
1
x
x
2
