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4.1.1 Definizioni e criteri di congruenza e similitudine
Mappa dell'Unità
L'elenco che segue non può essere esaustivo perché Euclide fa uso dei triangoli anche in proposizioni che non trattano
esplicitamente di essi.
I criterio di congruenza dei triangoli. ( Libro Primo degli Elementi, proposizione 4)
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo compreso tra essi allora i due triangoli sono
congruenti.
Proprietà dei triangoli isosceli. (Libro Primo degli Elementi, proposizioni 5 e 6)
Un triangolo è isoscele se e solo se gli angoli alla base sono congruenti.
III criterio di congruenza dei triangoli. (Libro Primo degli Elementi, proposizioni 7 e 8)
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati allora i due triangoli sono congruenti.
Teorema dell'angolo esterno. (Libro Primo degli Elementi, Proposizione 16)
In ogni triangolo l'angolo esterno è maggiore di ognuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.
Libro primo degli Elementi, Proposizione 17
In ogni triangolo la somma di due angoli interni è minore di un angolo piatto.
Libro primo degli Elementi, Proposizioni 18 e 19
In ogni triangolo l'angolo opposto al maggiore dei lati è il maggiore degli angoli e viceversa. (Questo è oggi un
corollario del teorema dei seni, che esprime la proporzionalità tra un lato e il seno dell'angolo opposto).
Disuguaglianza triangolare. (Libro primo degli Elementi, Proposizione 20)
Dato un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
Libro primo degli Elementi, Proposizione 21
Dato un punto interno a un triangolo la somma dei segmenti da tale punto ai due estremi di un lato è minore della
somma degli altri due lati.
Costruzione di un triangolo dati i suoi tre lati. (Libro primo degli Elementi, Proposizione 22)
Libro primo degli Elementi, Proposizioni 24 e 25
Se due triangoli hanno due lati congruenti e l'angolo compreso differente allora
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- il triangolo che ha maggiore l'angolo compreso avrà maggiore anche il terzo lato.
- il triangolo che ha maggiore il terzo lato avrà maggiore anche l'angolo compreso.
II criterio di congruenza dei triangoli. (Libro Primo degli Elementi, proposizione 26)
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato compreso tra essi allora i due triangoli sono
congruenti.
Teorema dell'angolo esterno. (Libro Primo degli Elementi, Proposizione 32)
In ogni triangolo l'angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso.
Libro primo degli Elementi, Proposizioni 37 e 39
Due triangoli aventi la stessa base e il terzo vertice su una retta parallela alla base hanno la stessa area. Viceversa se
due triangoli hanno la stessa base e la stessa area allora il terzo vertice di entrambi si trova sulla stessa retta parallela
alla base.
Libro primo degli Elementi, Proposizioni 38 e 40
Due triangoli aventi basi congruenti e sulla stessa retta e il terzo vertice su una retta parallela alle basi hanno la stessa
area. Viceversa se due triangoli hanno le basi congruenti e sulla stessa retta e hanno inoltre la stessa area allora il terzo
vertice di entrambi si trova sulla stessa retta parallela alla base.
Teorema di Pitagora. (Libro Primo degli Elementi, Proposizioni 47 e 48)
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa.
Se la somma dei quadrati costruiti su due lati di un triangolo è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato allora
l'angolo opposto al terzo lato è retto.
Nel secondo libro degli Elementi (L'algebra geometrica) sono presenti due proposizioni che riguardano i triangoli, la
proposizione 12 e la proposizione 13. Tali proposizioni non sono altro che il teorema dei coseni (o di Carnot) che viene
oggi affrontato utilizzando la trigonometria. La proposizione 12 tratta il caso del triangolo ottusangolo mentre la 13 il
caso del triangolo acutangolo.
Libro secondo degli Elementi, Proposizioni 12 e 13 (Teorema di Carnot)
Dato un triangolo qualunque di lati AB, BC e AC il quadrato costruito su un lato AC è uguale alla somma degli altri due
quadrati costruiti sui lati AB e BC a cui va sottratta l'area dei rettangoli BHMN e BKLE, dove BP, CM e AK sono le
altezze relative ai tre lati.
La dimostrazione, ingegnosa, sfrutta l'equivalenza delle aree dei seguenti rettangoli: `BHMN~=BKLE`,
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`CKLD~=CPQG`, `APQF~=AMNI`. Tale teorema viene oggi espresso nella forma
`AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos(AhatBC)`
Nel libro IV, che è dedicato alle figure inscritte e circoscritte, si trovano le seguenti proposizioni riguardanti i triangoli.
Libro quarto degli Elementi, Proposizione 2
Determinare un triangolo inscritto in una circonferenza equiangolo a un triangolo dato.
Libro quarto degli Elementi, Proposizione 3
Determinare un triangolo circoscritto ad una circonferenza equiangolo a un triangolo dato.
Libro quarto degli Elementi, Proposizione 4
Dato un triangolo trovare il centro della circonferenza inscritta al triangolo.
Libro quarto degli Elementi, Proposizione 5
Dato un triangolo trovare il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. (In realtà una costruzione alternativa si
trova nella proposizione 1 del Libro III)
Libro quarto degli Elementi, Proposizione 10 (Rapporto Aureo)
Determinare un triangolo isoscele che abbia gli angoli alla base doppi dell'angolo al vertice.
Il libro quinto è dedicato alle proporzioni, necessarie per affrontare la similitudine, argomento del sesto libro. In tale
libro si conclude la trattazione dei triangoli negli Elementi di Euclide, anche se si fa un consistente utilizzo dei risultati sui
triangoli specialmente nel libro tredicesimo che tratta dei solidi regolari.
Il risultato principale del sesto libro è la proposizione 8, che è oggi nota come I e II teorema di Euclide. Si ricorda che
due triangoli sono detti simili se hanno tutti gli angoli ordinatamente congruenti e i lati in proporzione.
Libro sesto degli Elementi, Proposizione 1
L'area di triangolo e di un parallelogramma aventi la stessa altezza sono in proporzione con le rispettive basi.
Libro sesto degli Elementi, Proposizione 2
Una retta parallela a un lato del triangolo taglia gli altri due lati in parti proporzionali tra loro. Viceversa se una retta
taglia due lati di un triangolo in parti proporzionali tra loro allora essa è parallela al terzo lato.
Libro sesto degli Elementi, Proposizione 3
La bisettrice di un angolo di un triangolo taglia il lato opposto all'angolo in parti proporzionali agli altri due lati.
I criterio di similitudine dei triangoli. (Libro sesto degli Elementi, Proposizioni 4 e 5)
Due triangoli con gli angoli congruenti hanno i lati in proporzione. Viceversa se due triangoli hanno i lati in proporzione
allora essi hanno gli angoli congruenti.
II criterio di similitudine dei triangoli. (Libro sesto degli Elementi, Proposizione 6)
Due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente compreso tra lati in proporzione.
Libro sesto degli Elementi, Proposizione 7
Due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente e i lati adiacenti a un altro angolo in proporzione.
I e II Teorema di Euclide. (Libro sesto degli Elementi, Proposizione 8 e suo corollario)
Se in un triangolo rettangolo si traccia l'altezza relativa all'ipotenusa, questa lo divide in due triangoli simili al primo
triangolo, che sono anche dunque simili tra loro.
Da ciò segue che se in un triangolo rettangolo si traccia l'altezza relativa all'ipotenusa, essa risulta media proporzionale
tra le due parti in cui l'ipotenusa risulta divisa dal suo piede.
Un cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stesso.
Euclide, sorprendentemente, non trattò i punti notevoli dei triangoli, di cui parleremo in un paragrafo successivo.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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